周　欣，　趙　彬

(陜西師范大學　數(shù)學與信息科學學院，　陜西　西安　710119)

?

格中粗糙集的若干性質(zhì)

周欣，趙彬*

(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，陜西西安710119)

摘要：利用粗糙集的理論方法,對格的粗糙集和S-模糊粗糙集的一些性質(zhì)進行研究。證明了上近似算子在分配格的理想(濾子)之集上的不動點之集關(guān)于包含序構(gòu)成一個凝聚的Frame,給出了下近似算子在有限格的理想(濾子)之集上不動點的刻畫。最后,研究了格的S-模糊粗糙子格(理想、濾子)的一些性質(zhì)。

關(guān)鍵詞:粗糙集;S-模糊粗糙集;上(下)近似算子;理想;濾子;不動點

MRsubjectclassification:06B35

粗糙集理論是由Pawlak[1]首次提出的，旨在解決信息系統(tǒng)中的不確定性問題。事實證明,粗糙集理論在人工智能、數(shù)據(jù)分析和認知科學中非常重要。隨著粗糙集理論的發(fā)展,許多學者開始考慮將粗糙集理論及其研究方法應用到多種代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中[2-5]。Biswas和Nanda首次引入粗子群的概念后[6],Kuroki定義了半群的粗糙理想并關(guān)于半群的同余給出了上、下近似集的一些性質(zhì)[7]。接著,Davvaz將粗糙集理論與環(huán)論結(jié)合起來,給出了關(guān)于一個環(huán)理想的粗糙理想和粗糙子環(huán)的概念[8]。另外,Davvaz等人又相繼研究了模[9]、超結(jié)構(gòu)[10]和MV-代數(shù)[11]上粗糙集的性質(zhì)。文獻[12-13]將粗糙集理論與格論聯(lián)系起來,其中文獻[12]給出了格的上、下粗糙理想(濾子)的定義并研究了它們的一些性質(zhì),文獻[13]研究了格的粗糙模糊集。本文在文獻[12]的基礎(chǔ)上進一步研究格中粗糙集的性質(zhì),證明上近似算子在分配格的理想(濾子)集上的不動點之集關(guān)于包含序構(gòu)成一個凝聚的Frame,并給出下近似算子在有限格的理想(濾子)之集上不動點的刻畫。最后,本文結(jié)合文獻[14]提出的模糊粗糙集的定義和文獻[8]的研究方法,研究格的S-模糊粗糙集。

1預備知識

本節(jié)給出格論與粗糙集理論的一些基本概念與結(jié)論,未提及的概念和結(jié)論請參閱文獻[15]。

設L是非空偏序集,若?a、b∈L，a∨b與a∧b都存在,則稱(L,≤)為格。設M是格L的非空子集,若a、b∈M?a∨b∈M且a∧b∈M,則稱M是L的子格。

設θ是格L上的等價關(guān)系。如果θ與L的有限交和有限并相容，即?(a,b)、(c,d)∈θ?(a∨c,b∨d)、(a∧c,b∧d)∈θ,則稱θ是L上的同余關(guān)系。用[a]θ標記a的θ-同余類，用Con(L)標記格L上的同余之集。

定義1[12]設θ是格L上的同余。若?a、b∈L,[a∨b]θ={x∨y:x∈[a]θ,y∈[b]θ},則稱θ是∨-完備的。類似地，如果?a、b∈L,[a∧b]θ={x∧y:x∈[a]θ,y∈[b]θ}，則稱θ是∧-完備的。

命題1[1]設θ是非空集合X上的等價關(guān)系，則?A、B?X，

(4)θ(A∩B)=θ(A)∩θ(B);

2上、下近似算子的不動點

本節(jié)在文獻[12]的基礎(chǔ)上進一步研究上、下近似算子在格的理想(濾子)集上的不動點集的性質(zhì)。

命題2[12]設θ是格L上的同余,則下列結(jié)論成立:

(2)設I和J是L的理想,則

(4)設θ是L上的∧-完備同余,I?L且θ(I)≠?。若I∈Id(L)，則θ(I)∈Id(L)。若I是L的素理想,則θ(I)是L的素理想。

命題3設I和J是L的子集,

(1)若θ(I)=I,則θ(I∩θ(J))=I∩θ(J);

(2)若F1、F2∈Filt(L)，則

證明由命題1和2容易驗證。

命題4Iθ(L)(Fθ(L))對Id(L)(Filt(L))的任意非空并封閉。

引理2在格L上,下列結(jié)論成立：

證明證明過程與文獻[12]中引理3.17、命題3.18和3.20的證明類似。

命題6設L有限格且θ是L上的同余，則下列結(jié)論成立：

(1)若θ是∨-完備同余，則

Iθ(L)={↓∨[x]θ:x∈L};

(2)若θ是∧-完備同余，則

Fθ(L)={↑∧[x]θ:x∈L}。

反過來，?x∈L，顯然有↓∨[x]θ∈Id(L)且θ(↓∨[x]θ)?↓∨[x]θ。?a∈↓∨[x]θ,b∈[a]θ，因為(a,b)∈θ且a≤∨[x]θ，所以

(∨[x]θ,b∨(∨[x]θ))=

(a∨(∨[x]θ),b∨(∨[x]θ))∈θ，

從而b∨(∨[x]θ)∈[∨[x]θ]θ=[x]θ，因此∨[x]θ≤b∨(∨[x]θ)≤∨[x]θ，故b∨(∨[x]θ)=∨[x]θ。由此可得b≤∨[x]θ，即b∈↓∨[x]θ。由b的任意性知[a]θ?↓∨[x]θ，所以a∈θ(↓∨[x]θ)。又由a的任意性知↓∨[x]θ?θ(↓∨[x]θ)。因此，↓∨[x]θ=θ(↓∨[x]θ),即↓∨[x]θ∈Iθ(L)。由x的任意性知{↓∨[x]θ:x∈L}?Iθ(L)。因此，Iθ(L)={↓∨[x]θ:x∈L}。

上述命題說明，若L是有限格且θ是L上的∨-完備同余(∧-完備同余)，則下近似算子θ在Id(L)(Filt(L))上的不動點恰是↓∨[x]θ(↑∧[x]θ),x∈L。下面給出例子來說明命題6的逆命題一般不成立。

圖1　L的哈塞圖Fig.1　Hasse　graph　of　L

3S-模糊粗糙理想和S-模糊粗糙濾子

本節(jié)給出S-模糊粗糙子格和S-模糊粗糙理想(濾子)的概念并研究它們的相關(guān)性質(zhì)。

由文獻[13]知若L的模糊子集A滿足?x、y∈L，μA(x∧y)∧μA(x∨y)≥μA(x)∧μA(y),則稱A是L的模糊子格。如果模糊子集A滿足?x、y∈L，μA(x∨y)=μA(x)∧μA(y)，則稱A是L的模糊理想。如果模糊子集A滿足?x、y∈L,μA(x∧y)=μA(x)∧μA(y)，則稱A是L的模糊濾子。容易驗證模糊理想和模糊濾子一定是模糊子格。

Dubois和Prade在文獻[16]中將粗糙集模糊化并給出了模糊粗糙集的定義,而Nanda和Majumdar在文獻[14]中又引入并分析了另一種模糊粗糙集。為了區(qū)分這兩種模糊粗糙集的概念,稱文獻[14]中提出的模糊粗糙集為S-模糊粗糙集,并在本節(jié)重點研究格上S-模糊粗糙集的性質(zhì)。

回顧文獻[14]引入的S-模糊粗糙集的概念。

(2)θ(C)=θ(A)θ(B)當且僅當?x∈θ(X),μθ(C)(x)=min{μθ(A)(x),μθ(B)(x)},且?。

參考文獻關(guān)于θ(A)=θ(B)和θ(A)θ(B)的定義可[14]。容易看出，θ(A)θ(B)和θ(A)θ(B)分別是S-模糊粗糙集θ(A)和θ(B)在粗糙集θ(X)的所有S-模糊粗糙集所組成集族中的下、上確界。

定義4[8]設D1=[a1,b1],D2=[a2,b2]是D([0,1])中的兩個元素。定義max(D1,D2)=[a1∨a2,b1∨b2],min(D1,D2)=[a1∧a2,b1∧b2]。若a1≤a2且b1≤b2，則稱D1≤D2。

下面給出S-模糊粗糙子格(理想、濾子)的定義。

則稱θ(A)是θ(X)上的一個S-模糊粗糙子格。

證明令θ(C)=θ(A)θ(B)，設x、y是中的任意兩元素。因為是L的子格，所以?，F(xiàn)證明(y)}。因為θ(A)和θ(B)是θ(X)的兩個S-模糊粗糙子格，

所以

因此，

min{μθ(A)(x),μθ(A)(y)}≤μθ(A)(x∨y)且

min{μθ(B)(x),μθ(B)(y)}≤μθ(B)(x∨y)。

因此，

min{μθ(C)(x),μθ(C)(y)}=

min{min{μθ(A)(x),μθ(B)(x)},

min{μθ(A)(y),μθ(B)(y)}}=

min{min{μθ(A)(x),μθ(A)(y)},

min{μθ(B)(x),μθ(B)(y)}}≤

min{μθ(A)(x∨y),μθ(B)(x∨y)}=

若x?θ(X)或y?θ(X),則

所以，

證明證明過程與命題7的證明類似。

At={x∈θ(X):μθ(A)(x)≥t},

綜上可知，

因此，θ(A)是θ(X)的S-模糊粗糙子格。

從而

現(xiàn)在給命題10舉一個例子。

例2設格L和L上的哈塞圖如例1中所示。

下面舉例說明注1。

則θ*(B)是θ*(X)的S-模糊粗糙集，且

因此，θ*(B)不是θ*(X)的S-模糊粗糙子格。

另一種情況可以類似地證明。

[1]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationSciences,1982,11:341-356.

[2]JunYB.RoughnessofΓ-subsemigroups/idealsinΓ-semigroups[J].BulletinoftheKoreanMathematicalSociety,2003,40(3):531-536.

[3]QiGL,LiuWR.RoughoperationsonBooleanalgebras[J].InformationSciences,2005,173:49-63.

[4]XiaoQM,ZhangZL.Roughprimeidealsandroughfuzzyprimeidealsinsemigroups[J].InformationSciences,2006,176:725-733.

[5]KazanciO,DavvazB.Onthestructureofroughprime(primary)idealsandroughfuzzyprime(primary)idealsincommutativerings[J].InformationSciences,2008,178:1343-1354.

[6]BiswasR,NandaS.Roughgroupsandroughsubgroups[J].BulletinofthePolishAcademyofSciencesMathematics,1994,42:251-254.

[7]KurokiN.Roughidealsinsemigroups[J].InformationSciences,1997,100:139-163.

[8]DavvazB.Roughnessinrings[J].InformationSciences,2004,164:147-163.

[9]DavvazB,MahdavipourM.Roughnessinmodules[J].InformationSciences,2006,176:3658-3674.

[10]DavvazB.Approximationsinhyperrings[J].JournalofMultiple-ValuedLogicandSoftComputing,2009,15:471-488.

[11]RasouliS,DavvazB.RoughnessinMV-algebras[J].InformationSciences,2010,180:737-747.

[12]EstajiAA,HooshmandaslMR,DavvazB.Roughsettheoryappliedtolatticetheory[J].InformationSciences,2012,200:108-122.

[13]EstajiAA,KhodaiiS,BahramiS.Onroughsetandfuzzysublattice[J].InformationSciences,2011,181:3981-3994.

[14]NandaS,MajumdarS.Fuzzyroughsets[J].FuzzySetsandSystems,1992,45:157-160.

[15]DaveyBA,PriestleyHA.Introductiontolatticesandorder[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,1990.

[16]DuboisD,PradeH.Roughfuzzysetsandfuzzyroughsets[J].InternationalJournalofGeneralSystems,1990,17(2/3):191-209.

〔責任編輯宋軼文〕

第一作者：李師，女，碩士研究生，研究方向為反應擴散方程理論及應用。E-mail:ashi2013@snnu.edu.cn

Somepropertiesofroughsetsinlattices

ZHOUXin,ZHAOBin*

(SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,

Xi′an710119,Shaanxi,China)

Abstract:RoughsettheoryisusedindiscussingsomepropertiesofroughsetsandS-fuzzyroughsetsinlattices.Itisprovedthatthesetofallfixedpointsunderanupperapproximationoperatoronthesetofallideals(filters)ofadistributivelatticeisacoherentframe.Acharacterizationforfixedpointsunderalowerapproximationoperatoronthesetofallideals(filters)ofafinitelatticeisgiven.FinallysomepropertiesofS-fuzzyroughsublattices(ideals,filters)ofalatticeareinvestigated.

Keywords:roughset;S-fuzzyroughset;upper(lower)approximationoperator;ideal;filter;fixedpoint

通信作者：*李艷玲，女，教授，博士。E-mail:yanlingl@snnu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11271236);教育部高等學校博士學科點專項科研 (100807180004)

收稿日期：2014-07-22

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.02.122

文章編號：1672-4291(2015)02-0008-07

中圖分類號：O153.1

文獻標志碼：A