阮士濤， 鄭恩讓

(陜西科技大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院， 陜西 西安　710021)

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大時(shí)滯對象分?jǐn)?shù)階PIλ控制

阮士濤， 鄭恩讓*

(陜西科技大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院， 陜西 西安710021)

摘要：針對一階大時(shí)滯對象，提出了一種分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計(jì)方法，利用相位裕度指標(biāo)設(shè)計(jì)控制器，并通過優(yōu)化分?jǐn)?shù)階次λ來增強(qiáng)系統(tǒng)對控制對象參數(shù)變化的魯棒性.為了與常規(guī)的控制方法進(jìn)行公平的比較，采用同樣的相位裕度指標(biāo)設(shè)計(jì)了整數(shù)階PI控制器，并采用直接綜合方法設(shè)計(jì)了Smith預(yù)估控制器.仿真結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階PIλ控制和Smith預(yù)估控制的魯棒性明顯優(yōu)越于整數(shù)階PI控制.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階控制器； 一階時(shí)滯對象； Smith預(yù)估控制； 魯棒性

0引言

PID控制結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好，在工業(yè)過程控

制領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛.然而隨著工業(yè)的發(fā)展以及對控制系統(tǒng)性能和魯棒性要求的提高，常規(guī)PID控制器由于其結(jié)構(gòu)上的限制，已經(jīng)很難有效應(yīng)用于某些場合.

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器[1]通過引入積分階次λ和微分階次μ實(shí)現(xiàn)了對常規(guī)PID控制器的一般化，它比常規(guī)PID控制器多了兩個(gè)自由度，從而為系統(tǒng)性能和魯棒性的進(jìn)一步改善提供了可能.而根據(jù)參數(shù)λ和μ的不同取值，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器又可以細(xì)分為分?jǐn)?shù)階PIλ控制器[2-7]、分?jǐn)?shù)階PDμ控制器[8,9]、分?jǐn)?shù)階IλDμ控制器[10]等多種形式.

時(shí)滯對象的分?jǐn)?shù)階控制研究是一個(gè)新的研究課題，文獻(xiàn)[2]針對一階時(shí)滯對象，基于相位裕度和平坦相位指標(biāo)設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，使得系統(tǒng)對控制對象增益變化具有較強(qiáng)的魯棒性.文獻(xiàn)[3]指出，分?jǐn)?shù)階PIλ控制實(shí)際上是一種積分項(xiàng)加權(quán)控制.文獻(xiàn)[4]采用增益裕度和相位裕度指標(biāo)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器來增強(qiáng)系統(tǒng)對時(shí)間常數(shù)變化的魯棒性.文獻(xiàn)[5]分析了分?jǐn)?shù)階PIλ控制系統(tǒng)和整數(shù)階PID控制系統(tǒng)的穩(wěn)定域，并說明了分?jǐn)?shù)階PIλ控制的優(yōu)越性.

文獻(xiàn)[6]通過限制靈敏度函數(shù)和互補(bǔ)靈敏度函數(shù)的最大值來優(yōu)化系統(tǒng)的負(fù)載擾動(dòng)抑制性能，從而得到分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的參數(shù)，并根據(jù)相對時(shí)滯給出了積分階次λ的經(jīng)驗(yàn)值，該方法主要應(yīng)用于過程控制領(lǐng)域，具有普遍的適用性.文獻(xiàn)[7]針對一類用分?jǐn)?shù)階模型更精確描述的系統(tǒng)設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PIλ控制器.目前分?jǐn)?shù)階控制已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，如伺服系統(tǒng)[8,9]和農(nóng)田自動(dòng)灌溉系統(tǒng)[10]等.

然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)并沒有專門考慮大時(shí)滯對象的分?jǐn)?shù)階控制[2,6]，事實(shí)上，當(dāng)相對時(shí)滯較小時(shí)，PID控制也能取得較好的效果.

文獻(xiàn)[11]指出，對于大時(shí)滯對象，往往不適合對測量信號(hào)進(jìn)行微分，可以采用整數(shù)階PI控制.而分?jǐn)?shù)階PIλ控制是對整數(shù)階PI(λ=1)控制的一般化，它比整數(shù)階PI控制多一個(gè)自由度，因此可以進(jìn)一步改善系統(tǒng)的性能和魯棒性.

本文針對一階大時(shí)滯對象，提出了一種分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計(jì)方法，基于相位裕度指標(biāo)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，通過優(yōu)化分?jǐn)?shù)階次λ來增強(qiáng)對控制對象參數(shù)變化的魯棒性.并通過仿真與常規(guī)的PI控制和Smith預(yù)估控制進(jìn)行了比較，說明了本文方法的優(yōu)越性.

1設(shè)計(jì)指標(biāo)的選擇和控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)對象的模型為

(1)

式中，K、T和L分別為對象增益、時(shí)間常數(shù)和時(shí)滯，該模型可以較精確地描述對象階躍響應(yīng)為單調(diào)變化的過程.

由于相位裕度φm可以表征期望的阻尼以及系統(tǒng)對時(shí)滯變化的魯棒性，而增益穿越頻率ωc可以表征期望的閉環(huán)響應(yīng)速度，本文利用這兩種指標(biāo)來分別設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和整數(shù)階PI控制器.以C(s)表示控制器，以G(s)表示開環(huán)傳遞函數(shù)，具體設(shè)計(jì)指標(biāo)如下：

(i)相位裕度指標(biāo)

Arg[G(jωc)]=Arg[C(jωc)P(jωc)]=-π+φm

(ii)增益穿越頻率

|G(jωc)|=|C(jωc)P(jωc)|=1

1.1　分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的傳遞函數(shù)的具體形式如下：

(2)

式中，Kp、Ti和λ分別表示比例系數(shù)、積分時(shí)間和積分階次.

根據(jù)式(1)得到對象的頻率響應(yīng)為

其相位和增益分別為

Arg[P(jω)]=-arctan(ωT)-Lω

(3)

(4)

根據(jù)式(2)得到控制器C1(s)的頻率響應(yīng)為

其相位和增益分別為

(5)

|C1(jω)|=

(6)

則開環(huán)頻率響應(yīng)G1(jω)的相位和增益分別為

arctan(ωT)-Lω

(7)

(8)

根據(jù)指標(biāo)(i)結(jié)合式(7)可得

arg(G1(jωc))=

-π+φm

將上式化簡可得

(9)

式中

根據(jù)指標(biāo)(ii)結(jié)合式(8)可得

(10)

本文假設(shè)λ的取值范圍為λ∈(0,2).當(dāng)參數(shù)λ給定，就可以通過式(9)和式(10)分別求出參數(shù)Ti和Kp的值.

1.2　整數(shù)階PI控制器設(shè)計(jì)

整數(shù)階PI控制器的傳遞函數(shù)如下：

(11)

假設(shè)由對象P(s)和控制器C2(s)組成的開環(huán)傳遞函數(shù)為G2(s)，即G2(s)=C2(s)P(s).為了與分?jǐn)?shù)階PIλ控制進(jìn)行公平的比較，本文仍采用指標(biāo)(i)和(ii)來設(shè)計(jì)整數(shù)階PI控制器.

根據(jù)式(11)得到控制器C2(s)的頻率響應(yīng)為

其相位和增益分別為

(12)

(13)

則開環(huán)頻率響應(yīng)G2(jω)的相位和增益分別為

(14)

(15)

根據(jù)指標(biāo)(i)結(jié)合式(14)可得

Lωc=-π+φm

將上式化簡可得

(16)

根據(jù)指標(biāo)(ii)結(jié)合式(15)可得

(17)

通過式(16)和式(17)可分別求出參數(shù)Ti和Kp的值，從而完成整數(shù)階PI控制器參數(shù)的整定.

1.3　Smith預(yù)估器設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[11]指出，對于大時(shí)滯對象，當(dāng)時(shí)滯L大于時(shí)間常數(shù)T時(shí)，Smith預(yù)估控制的效果將好于整數(shù)階PI控制，Smith預(yù)估控制的原理框圖如圖1所示.

圖1　Smith預(yù)估控制原理框圖

圖中，Gc、P、Pm和Pm0分別表示主控制器、對象、模型和模型的最小相位部分.

由圖1可得

Y(s)=

當(dāng)模型精確(P(s)=Pm(s))時(shí)，上式可以化簡為

(18)

為了便于和整數(shù)階PI控制以及分?jǐn)?shù)階PIλ控制進(jìn)行比較，本文采用直接綜合方法設(shè)計(jì)Smith預(yù)估器的主控制器.假設(shè)主控制器采用PI控制結(jié)構(gòu)：

(19)

規(guī)定期望的設(shè)定值跟蹤響應(yīng)為

(20)

當(dāng)式(18)和式(20)左右兩端相等，并結(jié)合式(1)和式(19)可得

(21)

即，Kp=T/Kλ，Ti=T，可調(diào)參數(shù)λ用于折中系統(tǒng)性能和魯棒性，隨著λ的增大，系統(tǒng)的跟蹤性能變慢，魯棒性變好.

2仿真研究與分析

例1考慮以下形式的一階大時(shí)滯對象：

首先設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，給定相位裕度φm=65 °，增益穿越頻率ωc=0.025 rad/s.在(0，2)范圍內(nèi)選取參數(shù)λ的值，由式(9)和式(10)可知，每給定一個(gè)參數(shù)λ的值，就有一組參數(shù)值Ti和Kp與之對應(yīng).經(jīng)過大量的仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ在1.1附近取值時(shí)，系統(tǒng)具有較好的性能和魯棒性，這和文獻(xiàn)[6]的結(jié)論是一致的.這里相對時(shí)滯τ=L/(L+T)=0.8，文獻(xiàn)[6]指出，當(dāng)τ≥0.6時(shí)，λ建議取為1.1.

在1.1附近，分別取λ=1.02，λ=1.05，λ=1.1和λ=1.15，分?jǐn)?shù)階微積分算子采用Oustaloup有理近似[12]，并采用同樣的指標(biāo)設(shè)計(jì)整數(shù)階PI控制器，整定參數(shù)如表1所示，當(dāng)模型精確時(shí)，仿真結(jié)果如圖2所示.

表1　控制器的整定參數(shù)

為了研究不同分?jǐn)?shù)階次λ對控制對象參數(shù)變化的魯棒性，假設(shè)對象參數(shù)K、T和L同時(shí)變化+50%，仿真結(jié)果如圖3所示.

圖2　例1不同分?jǐn)?shù)階次的閉環(huán)標(biāo)稱響應(yīng)

圖3　例1不同分?jǐn)?shù)階次對參數(shù)變化的魯棒性

圖2表明，整數(shù)階PI控制具有最好的標(biāo)稱性能，隨著分?jǐn)?shù)階次λ的增加，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量逐漸增大.圖3表明，閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性隨著λ的增加而增加，整數(shù)階PI控制魯棒性最差.

由式(21)可知，Smith預(yù)估控制的主控制器只有一個(gè)可調(diào)參數(shù)λ，選擇λ=28，以使Smith預(yù)估控制和分?jǐn)?shù)階PIλ控制(以下取λ=1.15)以及整數(shù)階PI控制有著相近的標(biāo)稱響應(yīng)速度，整定參數(shù)如表1所示，閉環(huán)系統(tǒng)的標(biāo)稱階躍響應(yīng)如圖4所示.

圖4　例1三種控制方法閉環(huán)標(biāo)稱響應(yīng)比較

為了比較這三種控制方法的魯棒性，假設(shè)對象參數(shù)K、T和L同時(shí)變化+50%，仿真結(jié)果如圖5所示.

圖5　例1三種控制方法對參數(shù)變化的魯棒性

圖4表明，這三種控制方法具有相近的響應(yīng)速度，整數(shù)階PI控制響應(yīng)速度最快.圖5表明，分?jǐn)?shù)階PIλ控制對控制對象參數(shù)變化具有最強(qiáng)的魯棒性，閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間最短.而整數(shù)階PI控制的魯棒性最差.文獻(xiàn)[11]指出，當(dāng)對象參數(shù)L>T時(shí)，Smith預(yù)估控制效果好于整數(shù)階PI控制，這和本文的結(jié)論是一致的.

例2考慮以下形式的一階大時(shí)滯對象：

給定相位裕度φm=65 °，增益穿越頻率ωc=0.02 rad/s.取λ=1.15，結(jié)合式(9)和式(10)可得Kp=0.400 9，Ti=34.793 5.采用同樣的指標(biāo)設(shè)計(jì)整數(shù)階PI控制器，結(jié)合式(16)和式(17)可得Kp=0.159 0，Ti=34.793 5.選取λ=28來設(shè)計(jì)Smith預(yù)估控制器.閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖6所示.為了比較這三種控制方法的魯棒性，假設(shè)對象參數(shù)K、T和L同時(shí)變化+50%，仿真結(jié)果如圖7所示.

圖6　例2三種控制方法閉環(huán)標(biāo)稱響應(yīng)比較

圖7　例2三種控制方法對參數(shù)變化的魯棒性

圖6表明，這三種控制方法具有相近的目標(biāo)值跟蹤性能；圖7表明，分?jǐn)?shù)階PIλ控制對系統(tǒng)參數(shù)變化具有最強(qiáng)的魯棒性.

3結(jié)論

本文針對一階大時(shí)滯對象，提出了一種分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計(jì)方法，基于相位裕度指標(biāo)設(shè)計(jì)控制器，并通過優(yōu)化分?jǐn)?shù)階次λ來增強(qiáng)系統(tǒng)對控制對象參數(shù)變化的魯棒性.本文同時(shí)設(shè)計(jì)了整數(shù)階PI控制和Smith預(yù)估控制，并基于相近的標(biāo)稱性能，比較了這三種控制方法對控制對象參數(shù)變化的魯棒性.仿真結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階PIλ控制對系統(tǒng)參數(shù)變化具有最好的魯棒性.

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Tuning of fractional PIλcontroller for long time delay system

RUAN Shi-tao， ZHENG En-rang*

(College of Electrical and Information Engineering, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

Abstract:A tuning method of fractional order proportional integral controller is proposed for the first order plus long time delay system.The specification of phase margin is utilized to design the controller, and an optimization is conducted to choose a proper parameterλto enhance the robustness of the system to the variation of the plant′s parameters. In order to have a fair comparison with conventional control methods,the same specification of phase margin is used in this paper to design the integer order proportional integral controller and the direct synthesis method is utilized to design the Smith predictor controller.Simulation results show that the robustness of fractional order proportional integral controller and Smith predictor controller is superior to integer order proportional integral controller.

Key words:fractional order controller； first order plus time delay (FOPTD) system； Smith predictor control； robustness

通訊作者:鄭恩讓(1962-)，男，陜西鳳翔人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：工業(yè)過程控制系統(tǒng)建模與優(yōu)化、智能控制與系統(tǒng)仿真，zhenger@sust.edu.cn

作者簡介:阮士濤(1989-)，男，陜西白河人，在讀碩士研究生，研究方向：工業(yè)過程控制、分?jǐn)?shù)階PID

基金項(xiàng)目：陜西省科技廳科技計(jì)劃項(xiàng)目(2012K09-13)

*收稿日期:2015-09-10

中圖分類號(hào)：TP 27

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

*文章編號(hào)：1000-5811(2015)06-0167-05