張艷宏,　許超群,　原三領(lǐng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上?！?00093)

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一類接觸率受到噪聲干擾的隨機(jī)SIS流行病模型研究

張艷宏,許超群,原三領(lǐng)

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

1問題的提出

流行病動力學(xué)是對流行病的流形規(guī)律進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法.與傳統(tǒng)的生物統(tǒng)計學(xué)方法相比,動力學(xué)方法能更好地從疾病的傳播機(jī)理方面來反映流行規(guī)律,能使人們了解疾病流行過程中的一些全局性態(tài)[1].因此,針對某類疾病建立數(shù)學(xué)模型并分析其動力學(xué)行為受到了許多研究者的關(guān)注[2-4].

對于某些以細(xì)菌為媒介的傳染病(如淋病、腦炎、白喉、霍亂等),染病者康復(fù)后不會產(chǎn)生免疫力,可能再次被感染.針對此類流行病,Kermack等[5]在1932年提出了如下形式的SIS模型

(1)

許多學(xué)者基于模型(1)做了進(jìn)一步的研究工作[6-10].如文獻(xiàn)[6]考慮了一類具有季節(jié)變化和脈沖接種控制的流行病模型,得到了無病平衡點穩(wěn)定和疾病持續(xù)存在的條件; 對于含有時滯的SIS流行病模型,文獻(xiàn)[7]證明了地方病平衡點的全局穩(wěn)定性和疾病的持續(xù)性; 袁艷燕等[8]建立了一類含染病期時滯且考慮因病死亡的SIS流行病模型,證明了無病平衡點的全局穩(wěn)定性和地方病平衡點的局部穩(wěn)定性.

注意到以上的研究工作均考慮的是確定性模型,而現(xiàn)實環(huán)境中存在各種各樣的隨機(jī)因素,疾病的傳播過程不可避免地會受到環(huán)境噪聲的影響.因此,對隨機(jī)環(huán)境中流行病的傳播進(jìn)行數(shù)學(xué)建模與研究開始受到人們的廣泛關(guān)注[11-15].如Zhou等[11]研究了一類隨機(jī)SIR模型,并討論了平穩(wěn)分布的存在性.文獻(xiàn)[12]考慮了一類恢復(fù)率受到環(huán)境噪聲影響的隨機(jī)SIS模型,證明了無病平衡點的穩(wěn)定性和隨機(jī)模型解的振蕩行為,并得到了疾病平均持續(xù)和滅絕的充分條件.

然而,流行病在傳播過程中，接觸率往往更容易受到環(huán)境噪聲的影響.本文將在模型(1)的基礎(chǔ)上考慮接觸率受到噪聲影響的情形,即

式中：B(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動;α代表噪聲強(qiáng)度.此時,可以建立如下隨機(jī)SIS流行病模型

(2)

下面將首先證明模型(2)正解的全局存在唯一性與有界性,再討論該解在不同條件下的漸近行為,最后通過數(shù)值模擬驗證所得理論結(jié)果.

2正解的全局存在唯一性與有界性

設(shè)正數(shù)η0使得S0>η0且I0>η0,則對任意的η≤η0,定義停時

另外,由模型(2)可得

設(shè)X(t)是如下方程的解

由比較定理得

S(t)+I(t)≤X(t)≤

(3)

定義函數(shù)

則V顯然正定.由伊藤公式得

dV=LVdt+α(I-S)dB

其中,

結(jié)合式(3)可知

因此

dV≤Kdt+α(I-S)dB

對上式兩端從0到τη∧T積分,并取期望得

令Ωη={τη≤T},則P(Ωη)>δ成立.對任意的ω∈Ωη,根據(jù)停時的定義可得S(τη,ω)與I(τη,ω)至少有一個等于η,于是

所以

V(S0,I0)+KT≥EV(S(τη∧T),

I(τη∧T))≥E[IΩηV(S(τη∧T),

I(τη∧T))]=E[IΩηV(S(τη,ω),

I(τη,ω))]=P(Ωη)V(S(τη,ω),

式中:IΩη為Ωη的示性函數(shù).令η→0,得到如下矛盾

因此,τ0=∞,a.s.

由式(3)的證明過程可得如下結(jié)論：

即隨機(jī)模型(2)的解是有界的.

3隨機(jī)模型(2)的動力學(xué)行為

定理3當(dāng)R0≤1時,隨機(jī)模型(2)的無病平衡點E0隨機(jī)漸近穩(wěn)定.

證明通過變換y1=S-S0,y2=I,模型(2)轉(zhuǎn)化為

(4)

為證明模型(2)的無病平衡點隨機(jī)漸近穩(wěn)定,只需說明模型(4)零平衡點隨機(jī)漸近穩(wěn)定.

定義函數(shù)

則V的正定性顯然.由伊藤公式得

dV=LVdt+α(y1+S0)y2dB

其中,

LV=2(y1+y2)[-μ(y1+y2)-εy2]+

因為

所以

因此,模型(4)的零平衡點隨機(jī)漸近穩(wěn)定,即隨機(jī)模型(2)的無病平衡點E0隨機(jī)漸近穩(wěn)定.

定理4當(dāng)R0>1時,隨機(jī)模型(2)的解(S(t),I(t))滿足

其中(S*,I*)是確定性模型(1)的地方病平衡點.

證明定義如下函數(shù)

則V的正定性顯然.由伊藤公式得

(5)

其中,

注意到當(dāng)R0>1時,模型(1)地方病平衡點(S*,I*)滿足Λ-μ(S*+I*)-εI*=0,因此

對式(5)兩端從0到t積分可得

(6)

其中,

顯然M(t)為連續(xù)的局部鞅,M(0)=0且

根據(jù)大數(shù)定律[16]可得

結(jié)合式(6)得

即

證明因為R0>1,由定理4可得

注意到

2(S*)2-2S*S=2S*(S*-S)≤

(S*)2+(S-S*)2

即

因此

同理可得

定理2.4隨機(jī)模型(2)的解(S(t),I(t))滿足

證明定義函數(shù)V(I)=lnI,由伊藤公式得

對上式從0到t積分得

注意到

所以

4數(shù)值模擬

本文利用計算機(jī)模擬來說明所得理論結(jié)果的正確性,模擬過程采用Euler-Maruyama方法.固定初值(S0,I0)=(0.7,0.3)和參數(shù)Λ=0.2,μ=0.2,γ=0.1,ε=0.2,通過變化其他參數(shù)值得到仿真結(jié)果.其中,藍(lán)色虛線和綠色實線分別表示確定性模型(1)和隨機(jī)模型(2)的解曲線.

首先,取參數(shù)β=0.2,α=0.5,模擬結(jié)果如圖1所示.此時R0=0.4≤1,滿足定理3的條件.從圖1中可以觀察到隨機(jī)模型(2)的無病平衡點E0=(1,0)隨機(jī)漸近穩(wěn)定,驗證了定理3的結(jié)論.

再取參數(shù)β=0.6及兩個不同的噪聲強(qiáng)度值:(a)α=0.20,(b)α=0.04,模擬結(jié)果如圖2所示.此時R0=1.2>1,滿足定理4的條件.從圖2的(a)組或(b)組均可以觀察到隨機(jī)模型(2)的解圍繞確定性模型(1)的地方病平衡點E*=(0.83,0.083)振蕩,并且(b)組的振蕩幅度明顯小于(a)組.這與定理4的結(jié)論一致.另外圖2也說明了隨機(jī)模型(2)的持續(xù)性,即驗證了定理5的結(jié)論.

圖1　隨機(jī)模型(2)與確定性模型(1)的解曲線(R0≤1)

圖2　隨機(jī)模型(2)與確定性模型(1)的解曲線(R0>1)

圖3　噪聲強(qiáng)度較大時隨機(jī)模型(2)與確定性模型(1)的解曲線

5總結(jié)與討論

考慮隨機(jī)環(huán)境中的一類染病者康復(fù)后不會產(chǎn)生免疫力的流行病,并且疾病在傳播過程中接觸率會受到噪聲的影響,針對此類流行病建立了隨機(jī)SIS模型并分析了模型的動力學(xué)行為.

首先利用停時理論,驗證了隨機(jī)模型正解的全局存在唯一性和有界性.當(dāng)R0≤1時,通過Lyapunov分析方法證明了隨機(jī)模型無病平衡點的漸近穩(wěn)定性; 當(dāng)R0>1時,利用隨機(jī)過程的相關(guān)性質(zhì)得到了隨機(jī)模型的解將圍繞確定性模型的正平衡點振蕩,并且振蕩幅度與噪聲強(qiáng)度正相關(guān)的結(jié)論.值得注意的是,定理5和定理6說明了當(dāng)R0>1并且噪聲強(qiáng)度較小時,隨機(jī)模型是平均持續(xù)的,而強(qiáng)度較大的噪聲會促使疾病滅絕.

相對確定性模型,本文考慮的隨機(jī)SIS模型得到的結(jié)論更加符合客觀實際,更有助于深入了解流行病的傳播規(guī)律.另一方面,由于流行病在現(xiàn)實環(huán)境中的傳播過程十分復(fù)雜,并且會受到許多因素的影響,所以下一步的研究工作是構(gòu)建其他形式的隨機(jī)流行病模型,并研究其動力學(xué)行為.

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(編輯:董偉)

第一作者： 劉凌(1976-),女,講師.研究方向:代數(shù)學(xué).E-mail:liulingmath@163.com

摘要：研究了一類接觸率受到環(huán)境噪聲干擾的隨機(jī)SIS流行病模型.利用停時理論及Lyapunov分析方法,證明了該隨機(jī)模型正解的全局存在唯一性與有界性.當(dāng)相應(yīng)的確定性模型基本再生數(shù)小于1時,證明了隨機(jī)模型無病平衡點的隨機(jī)漸近穩(wěn)定性;當(dāng)確定性模型基本再生數(shù)大于1時,揭示了隨機(jī)模型的解圍繞相應(yīng)的確定性模型地方病平衡點的振蕩行為;當(dāng)確定性模型基本再生數(shù)大于1并且噪聲強(qiáng)度較小時,證明了隨機(jī)模型的解是平均持續(xù)的.另外,得到了強(qiáng)度較大的環(huán)境噪聲可以導(dǎo)致疾病滅絕的結(jié)論.最后,數(shù)值模擬驗證了所得理論結(jié)果的正確性.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)SIS模型; 隨機(jī)穩(wěn)定性; 振蕩行為; 平均持續(xù); 疾病滅絕

Stochastic SIS Epidemic Model with Contract Rate Influenced by NoiseZHANG Yanhong,XU Chaoqun,YUAN Sanling

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：A stochastic SIS epidemic model was analyzed,considering that the contact rate is influenced by environmental noise.The global existence,uniqueness and boundedness of its positive solution were proved by using the stopping time theory and Lyapunov analysis method.The stochastic asymptotical stablility of the disease-free equilibrium point was proved when the corresponding deterministic basic reproduction number is less than 1.It is also shown that the solution of the stochastic model oscillates around the corresponding deterministic endemic equilibrium point when the deterministic basic reproduction number is more than 1,and is of mean persistency when the deterministic basic reproduction number is more than 1 and the noise intensity is small.Besides,it is concluded that the large noise can make the disease extinct.Numerical simulations were carried out to prove the validity of theoretical results.

Key words：stochastic SIS model; stochastic stability; oscillating behavior; mean persistence; disease extinction

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11101284,11201303,11301340);上海市自然科學(xué)基金資助項目(12ZR1420300);滬江基金資助項目(B14005)

收稿日期：2014-10-20

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2015.06.002

文章編號：1007-6735(2015)06-0517-03

中圖分類號：O 175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A