李贊華, 趙 金

(1.沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110159；2.沈陽(yáng)何氏眼科醫(yī)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110179)

離散時(shí)滯區(qū)間廣義線性系統(tǒng)的輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)

李贊華1, 趙 金2

(1.沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110159；2.沈陽(yáng)何氏眼科醫(yī)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110179)

在確定系統(tǒng)中某些系數(shù)矩陣均存在不確定性情況下，利用區(qū)間矩陣研究了一類離散時(shí)滯廣義不確定線性系統(tǒng)的輸出反饋魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。通過(guò)運(yùn)用系統(tǒng)參數(shù)不等式方法給出離散時(shí)滯區(qū)間廣義系統(tǒng)的等價(jià)描述，利用等價(jià)描述系統(tǒng)得到了該系統(tǒng)的輸出反饋控制器。所設(shè)計(jì)的控制器不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)是正則的、穩(wěn)定的，而且使得傳遞函數(shù)的范數(shù)界在給定的范圍內(nèi)。算例驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的有效性。

區(qū)間矩陣；離散時(shí)滯廣義線性系統(tǒng)；輸出反饋控制器；H∞控制

眾所周知，H∞控制理論在正常系統(tǒng)的優(yōu)化控制中起重要作用，并得到了廣泛的研究與應(yīng)用，各種H∞控制器的設(shè)計(jì)方法被相繼提出[1-2]。對(duì)于H∞控制理論在廣義系統(tǒng)的研究成果也已經(jīng)很多，但對(duì)于具有不確定的、時(shí)滯的、離散的廣義系統(tǒng)的研究還有很大的研究空間。一是由于系統(tǒng)的參數(shù)不確定是不可避免和普遍存在的[3]；二是在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，時(shí)滯的影響是普遍存在的[4]；三是離散系統(tǒng)模型在社會(huì)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題和時(shí)間序列分析問(wèn)題中經(jīng)常遇到[5-6]。因此對(duì)不確定的、具有時(shí)滯的離散廣義系統(tǒng)的研究受到了人們的極大關(guān)注。

由于在工程實(shí)際中，狀態(tài)不易直接量測(cè)，或者由于量測(cè)設(shè)備在經(jīng)濟(jì)性和使用性上的限制，使得許多情況下不可能實(shí)際獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從而使得狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)成為不可能；而且狀態(tài)反饋控制器是設(shè)計(jì)定常反饋增益陣，輸出反饋控制器設(shè)計(jì)一般采用動(dòng)態(tài)控制器設(shè)計(jì)方法，以期達(dá)到所提出的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)。本文在以上研究的背景和基礎(chǔ)上以離散時(shí)滯區(qū)間廣義系統(tǒng)為主要研究對(duì)象，利用H∞優(yōu)化控制方法，給出了該系統(tǒng)的輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)。

1 問(wèn)題提出

離散時(shí)滯區(qū)間廣義線性系統(tǒng)如下描述:

z(t)=CIx(t)+Nu(t)

(1)

y(t)=CIx(t)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

于是系統(tǒng)(1)可以等價(jià)地表示為

Ex(t+1)=(A0+DFG1)x(t)+(Ad0+DdFdGd)x(t-d)+(B0+DFG2)u(t)+B1ω(t)

z(t)=(C0+D3F3G3)x(t)+Nu(t)

y(t)=C1x(t)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

(2)

稱離散時(shí)滯廣義系統(tǒng)

Ex(t+1)=A0x(t)+Ad0x(t-d)+B1ω(t)

z(t)=C0x(t)

(3)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

為無(wú)控制標(biāo)稱廣義系統(tǒng)。

對(duì)系統(tǒng)(1)作如下輸出反饋控制

u(t)=Ky(t)

(4)

得到閉環(huán)離散時(shí)滯廣義系統(tǒng)

Ex(t+1)=Akx(t)+Adkx(t-d)+B1ω(t)

z(t)=Ckx(t)

(5)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]式中Ak=A0+B0KC1+DF(G1+G2KC1),Ck=C0+D3F3G3+NKC1,Adk=Ad0+DdFdGd

(1)閉環(huán)系統(tǒng)(5)是因果、正則且穩(wěn)定的；

(2)具有H∞范數(shù)界γ(γ>0為給定的常數(shù))，即滿足條件‖G(z)‖∞<γ，G(z)=Ck(zE-Ak)-1B1為從干擾輸入ω(t)到被控輸出z(t)的傳遞函數(shù)。

2 主要結(jié)果

定理 對(duì)于給定實(shí)數(shù)γ>0，如果存在可逆對(duì)稱矩陣P∈Rn×n，對(duì)稱矩陣Q>0和對(duì)稱半正定矩陣V1及正定對(duì)角矩陣L1∈R2n2×2n2,L2,Ld∈Rn2×n2使得不等式(6)及式(8)～式(13)成立

ETPE≥0

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

改革開放40周年。40年風(fēng)雨同舟，40年披荊斬棘，40年砥礪奮進(jìn)，改革開放成為當(dāng)代中國(guó)最顯著的特征、最壯麗的氣象。對(duì)這一偉大歷史進(jìn)程，習(xí)近平總書記用“十個(gè)始終堅(jiān)持”高度概括了黨引領(lǐng)億萬(wàn)人民的奮斗歷程和創(chuàng)造的人間奇跡。中國(guó)人民具有偉大夢(mèng)想精神，中華民族充滿變革和開放精神。實(shí)踐深刻啟示我們，偉大夢(mèng)想不是等得來(lái)、喊得來(lái)的，而是拼出來(lái)、干出來(lái)的。改革開放已走過(guò)千山萬(wàn)水，但仍需跋山涉水，我們絕不能有半點(diǎn)驕傲自滿、固步自封，也絕不能有絲毫猶豫不決、徘徊彷徨，必須統(tǒng)攬偉大斗爭(zhēng)、偉大工程、偉大事業(yè)、偉大夢(mèng)想，勇立潮頭、奮勇搏擊。

證明：

由定理中的式(12)即得

(14)

令

把定理中的R代入式(14)得

(15)

(16)

把定理中的U代入式(16)由schur補(bǔ)引理，式(16)、式(9)兩個(gè)不等式等價(jià)于

(17)

由schur補(bǔ)引理，式(17)、式(8)兩個(gè)不等式等價(jià)于

(18)

(19)

取

zTSD=(z1…z2n2),Gdy=(y1…yn2)T,(G1+G2KC1)x=(x1…x2n2)T,

G3x=(x31…x3n2)T,wTD3=(w1…wn2),zTSDd=(zd1…zdn2)

得

(20)

取L1=diag(λ11…λ12n2),Ld=diag(λd1…λdn2),L2=diag(λ21…λ2n2)；由不等式性質(zhì)可得到，存在λ1j>0(j=1…2n2),λ2i>0，λdi>0(i=1…n2)對(duì)任意|θi|≤|εi|≤1，|θi|≤|αi|≤1,|γi|≤1，|βi|≤1都有下式成立

(21)

(22)

把式(5)中的Ak,Ck,Adk代入式(22)，根據(jù)矩陣的性質(zhì)，對(duì)任意x,y,z,w∈Rn,xTx+yTy+zTz+wTw≠0式(22)成立的充要條件

(23)

根據(jù)schur補(bǔ)引理，式(23)等價(jià)于

(24)

將不等式(6)～(7)與(24)相結(jié)合得

由引理可知該定理成立。因此定理得證。

3 算例

考慮系統(tǒng)(1)，其中

經(jīng)計(jì)算得

取

L1=diag[0.25,0.32,0.18,0.41,1,1.2,0.1,0.2],

Ld=diag[0.2,0.4,0.7,0.1],L2=diag[1.1,2,3,2,4]

則滿足定理中所有不等式。解得H∞輸出反饋控制器為

4 結(jié)束語(yǔ)

利用區(qū)間矩陣研究了一類離散時(shí)滯廣義線性不確定系統(tǒng)的輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。通過(guò)運(yùn)用系統(tǒng)參數(shù)不等式方法給出離散時(shí)滯區(qū)間廣義線性系統(tǒng)的等價(jià)描述，在等價(jià)描述系統(tǒng)下利用線性矩陣不等式方法得到了該系統(tǒng)的H∞輸出反饋控制器。該控制器不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)是正則的、穩(wěn)定的，而且使得傳遞函數(shù)的范數(shù)界在給定的范圍內(nèi)。

[1]Xu S Y,YANG C W.H∞state feedback control for discrete singular system[J].IEEE Trans On Automatic Control,2000,45(7):1405-1409.

[2]楊冬梅,孟新全.不確定時(shí)滯離散切換廣義系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào),2014,35(3):309-313.

[3]S.-J.Chen,J.-L.Lin.Robust stability of discrete time-delay uncertain singular systems[J].IEEE,Proc.-Control Theory Appl.,2012,151(1):45-52.

[4]張建林.廣義離散時(shí)滯系統(tǒng)基于輸出反饋H∞的控制[J].自動(dòng)化技術(shù)與應(yīng)用,2004,23(6):8-12.

[5]李致富，胡躍明，郭琪偉,等.不確定離散線性系統(tǒng)的魯棒單調(diào)反饋-前饋迭代學(xué)習(xí)控制[J].控制理論與應(yīng)用,2014,31(4):485-492.

[6]李贊華，趙金.區(qū)間離散時(shí)滯廣義系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒H∞控制[J].沈陽(yáng)理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011,30(3):84-87.

(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Output Feedback H-infinity Controller Design for Discrete-time Time-delay Interval Singular Linear Systems

LI Zanhua1，ZHAO Jin2

(1.Shenyang Ligong University ,Shenyang 110159,China;2.Shenyang He Eye Hospital ,Shengyang 110179,China)

In the case that uncertainties exist in some parameter matrices,the problem of output feedbackH∞controller design for a kind of discrete-time time-delay singular uncertainty linear systems is discussed through the use of interval matrix.Firstly,a class of equivalent decription of the discrete-time time-delay interval singular linear systems is given through the application of system parameters inequality approch.Then output feedback robustH∞controller is obtained in terms of the equivalent description systems.The designed controller guarantees that the closed-loop systems is regular and stable as well as satisfies a prescribed transfer function of the norm bounded constraint within the given range.Finally, a numerical example shows the effectiveness of the design method.

interval matrix;discrete-time time-delay singular linear systems;output feedback controller;H∞control

2014-12-20

李贊華(1976—)，女，講師，研究方向：廣義系統(tǒng)，優(yōu)化控制.

1003-1251(2015)03-0070-05

O232

A