章巧芳,林文武，張　欽,劉云峰,張鵬園

(浙江工業(yè)大學 特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室，浙江 杭州 310014)

熱驅動形狀記憶聚合物三維力學本構模型

章巧芳,林文武，張欽,劉云峰,張鵬園

(浙江工業(yè)大學 特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室，浙江 杭州 310014)

摘要：假設形狀記憶聚合物(SMP)為各向同性材料，其體積變形是彈性的，形狀變化的流變規(guī)律滿足Tobushi建立的一維本構模型的基礎上，應用固體力學和熱粘彈性理論建立了SMP三維本構模型，使其不僅能描述簡單應力狀態(tài)下的熱力學行為，也能描述復雜應力狀態(tài)下的熱力學行為.然后基于ABAQUS的二次開發(fā)平臺編寫了可供ABAQUS調用的UMAT子程序，對SMP試樣實現(xiàn)形狀記憶效應的熱力學過程數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結果與Tobushi等的實驗結果吻合良好,表明建立的SMP三維本構模型能夠有效的描述SMP的熱力學行為，可為SMP的工程應用提供理論參考.

關鍵詞：形狀記憶聚合物;熱驅動;三維本構模型;形狀記憶效應

中圖分類號：O343.2；O631.2+1

文獻標志碼：A

文章編號：1006-4303(2015)01-0043-04

3D constitutive model of temperature-induced shape memory polymers

ZHANG Qiaofang, LIN Wenwu, ZHANG Qin, LIU Yunfeng, ZHANG Pengyuan

(Key Laboratory of Special Purpose Equipment and Advanced Manufacturing Technology, Ministry of

Education, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:Assuming the shape memory polymers is an isotropic material, by the application of solid mechanics and thermal viscoelasticity theory, a 3D constitutive equation of SMP is developed based on tobushi’s 1D constitutive equation, so it can not only describe the thermo-mechanical behavior under simple stress state, but also describe the thermo-mechanical behavior under complex stress state. A UMAT subroutine is programmed with fortran based on ABAQUS secondary development platform, then the SMP thermo-mechanical behavior is numerically simulated by ABAQUS. Numerical simulation results coincide with Tobushi’s experimental results, which shows the thermo-mechanical behavior of SMP and it’s shape memory effect can be described by the three dimensional constitutive model of SMP.

Keywords:shape memory polymer; temperature-induced; three-dimensional constitutive model; shape memory effect

近年來，國內外的學者對形狀記憶聚合物(SMP)的研究越來越重視，部分學者對其熱力學本構模型進行研究.目前，SMP的熱力學本構模型大致分為兩類：一類是基于粘彈性理論基礎上發(fā)展的模型，如Tobushi等[1-2]基于經典粘彈性理論的基礎上建立了形狀記憶聚氨酯的一維線性和非線性本構模型，能夠有效地描述SMP簡單應力狀態(tài)下的熱力學行為.2010年，Heuchel等[3]采用基于粘彈性理論的Maxwell-weichert模型能有效的預測SMP在不同溫度下的自由回復與松弛行為.另一類是基于相變概念的細觀力學行為，認為形狀記憶效應是在溫度和應力共同作用下，高溫活躍相和低溫凍結相兩者之間相互轉化的結果.如2006年，liu等[4]基于SMP為兩相轉變微觀結構的基礎上，引入一個與溫度相關的凍結系數(shù)，建立了SMP一維熱力學本構模型，不僅能夠合理解釋形狀記憶過程的形變儲存與釋放機理，而且能有效地描述SMP的熱力學行為；隨后，chen等[5-6]和李鄭發(fā)等[7]基于liu等[4]的基礎上建立了SMP本構模型，對SMP熱力學行為的理論預測結果比liu[4]的模型更加準確，但是基于相變概念的細觀力學本構模型卻不能描述SMP的蠕變與松弛行為，故限制了該模型的應用.

目前，現(xiàn)有的大部分SMP本構模型都是基于單軸拉伸實驗的基礎上建立的一維本構模型，僅局限于描述簡單應力條件下的熱力學行為.為了描述SMP復雜應力條件下的熱力學行為，周博等[8]采用線彈性熱力學方法將Tobushi等[1]的一維模型擴展到三維，在三維本構模型擴展過程中做了大量簡化.隨后，周博[9]與shi等[10]假設SMP變形產生的總應變由熱應變、彈性應變和粘性應變組成，建立了SMP的三維本構模型.筆者假設SMP為各向同性材料，其體積變形是彈性的，形狀變化的流變規(guī)律滿足Tobushi建立的一維本構模型的基礎上建立了SMP三維本構模型，能有效的描述SMP的熱力學行為.

1SMP熱力學本構方程

1.1SMP一維本構方程

1997年Tobushi等[1,11]基于經典粘彈性理論的基礎上，在彈簧和黏壺的組合模型中引入了一個滑移單元，并考慮了熱膨脹效應,建立了形狀記憶聚氨酯的一維線性本構模型.滑移單元是該本構模型的關鍵，通過引入這個滑移單元來控制形狀記憶過程中的應變儲存與釋放，從而實現(xiàn)SMP的形狀記憶效應，其一維本構方程分別為

(1)

(2)

(3)

式中：E為彈性模量；λ為延遲時間；μ為粘度；εL為殘余應變；C為比例系數(shù)；εs為殘余蠕變應變；α為熱膨脹系數(shù).該本構模型是一維的，僅能描述簡單應力狀態(tài)下形狀記憶聚合物的熱力學行為.

1.2SMP三維本構方程

為了研究復雜應力狀態(tài)的形狀記憶聚合物熱力學行為，需要建立三維的熱力學本構方程.對于彈塑性材料，在塑性范圍內的本構關系為應變球張量與應力球張量成正比.而應變偏量與應力偏量間的關系要比彈性變形時復雜.按照上面處理彈性及塑性條件下的本構關系的考慮，認為應變球張量εkk只與應力球張量σkk有關，而應變偏量eij只與應力偏量Sij有關.

對于一般的粘彈性材料，本構方程為

(4)

式中：P′,Q′,P″,Q″分別為微分算子，即

(5)

σkk=3Kεkk

(6)

式中3K為體積彈性模量，由于SMP材料的力學性能是隨溫度變化的，因此體積彈性模量是溫度相關的物理量，且滿足

3K(T)=E(T)/(1-2v)

(7)

其中v為一個SMP材料的泊松比，取v=0.2.

P″和Q″已經確定，只要確定P′和Q′就完全決定了三維應力狀態(tài)下流變性質的本構方程.假設SMP形狀變化的流變規(guī)律滿足Tobushi建立的一維本構模型，即應變偏量eij與應力偏量Sij之間滿足方程

(8)

其中

λeff(T,C)=λ(T)[1-C(T)]-1

(9)

由

(10)

整理得到SMP三維熱力學本構模型，即

(11)

(12)

(13)

2材料參數(shù)方程

SMP的力學性質在玻璃化轉變溫度附近發(fā)生顯著變化.Tobushi等[1]將SMP的材料參數(shù)描述為

(14)

式(1，2)中E，λ，μ，εL和C都是溫度相關的物理量，且上述材料參數(shù)都滿足式(14)，只需將相應的材料參數(shù)代入式(14)中即可.式(14)中，TL=Tg-15 K，TH=Tg+15 K.上述材料參數(shù)經過Tobushi等[1]的實驗測得值如表1，2所示.

表1　Tg溫度下的材料參數(shù)值

表2　材料參數(shù)關于溫度的方程中指數(shù)函數(shù)冪系數(shù)值

3SMP三維本構模型驗證

用差分法將上述微分形式的三維本構方程改成增量式方程，基于ABAQUS二次開發(fā)平臺編寫可供ABAQUS調用的UMAT子程序.求解過程中，UMAT程序通過與主程序之間不斷的數(shù)據傳遞，不斷更新蠕變應變、蠕變應變率、應力等變量，通過判斷蠕變應變的大小、蠕變應變率的正負來選擇相應的應力更新算法，這樣就可以利用ABAQUS分析形狀記憶聚合物的熱力學行為.在ABAQUS中建立SMP拉伸試樣三維有限元模型，其幾何模型為等截面桿，尺寸為10 mm×10 mm×100 mm，單元類型采用C3D8單元.邊界條件為一端固定，另一端施加隨時間變化的位移載荷，并在試樣上施加溫度載荷.具體過程為在ABAQUS中建立四個分析步，分別來模擬形狀記憶聚合物高溫加載、降溫冷卻、低溫卸載、升溫回復四個階段.整個熱力學循環(huán)過程的應力與應變關系曲線如圖2所示.1) 在溫度為348 K條件下，在端面的一端施加隨時間變化的軸向位移載荷，將試樣拉伸到應變量εm，應變速率為每分鐘加載5%；2) 維持應變量εm不變，以4 K/min的溫度變化率將溫度從348 K降至308 K，使SMP降溫冷卻固定形狀.在冷卻的初始階段，SMP試樣溫度較高，存在明顯的應力松弛現(xiàn)象，故試樣的應力有一定程度的衰減.隨著溫度的降低，試樣內部的應力又開始逐漸增加，其原因在于SMP從橡膠態(tài)進入玻璃態(tài)，材料的彈性模量急劇增加，從而引起內部應力增大；3) 在溫度為308 K條件下卸載,SMP的殘余應變?yōu)棣舥.卸載之后，應變有一定程度的減小，是由于SMP的彈性收縮；4) 在一端自由，另一端固定約束的狀態(tài)下，以4 K/min的溫度變化率將溫度從308 K升至348 K，試樣逐漸恢復至初始狀態(tài).ABAQUS的數(shù)值模擬結果與Tobushi單軸拉伸實驗結果存在一定的偏差，原因可能在于建立SMP的三維本構模型時體積模量K取值、材料參數(shù)與實際存在一定的誤差.

如圖3所示，在形狀回復過程中，隨著溫度的逐漸升高，試樣完成形狀回復，并且溫度低于玻璃化轉變溫度的狀態(tài)下，SMP沒有產生明顯的形狀回復，而在玻璃化轉變溫度328 K附近，SMP形狀回復迅速，表現(xiàn)出顯著的形狀記憶效應.ABAQUS分析結果與Tobushi的實驗結果存在一定的偏差，原因可能在于Tobushi的實驗中試樣是放在溫度控制箱中，通過控制溫度箱的溫度從而實現(xiàn)對試樣溫度的控制，筆者則是直接將溫度載荷施加在SMP試樣上,不考慮傳熱問題.

(1)—高溫加載；(2)—降溫冷卻；(3)—低溫卸載；(4)—升溫回復圖2　熱力學實驗中的真實應力與真實應變關系曲線Fig.2　Relationship between stress and true strain in the thermo-mechanical test

(1)—高溫加載；(2)—降溫冷卻；(3)—低溫卸載；(4)—升溫回復圖3　熱力學實驗中的真實應變與溫度的關系曲線Fig.3　Relationship between true strain and temperature in the thermo-mechanical test

4結論

假設形狀記憶聚合物為各向同性材料，SMP的體積變形是彈性的，形狀變形的流變性質滿足Tobushi建立的一維本構模型的基礎上，建立了熱驅動形狀記憶聚合物的三維力學本構模型，基于ABAQUS的二次開發(fā)平臺編寫了可供ABAQUS調用的UMAT子程序，并對SMP試樣實現(xiàn)形狀記憶效應的熱力學過程即高溫加載、降溫冷卻、低溫卸載和形狀回復過程進行數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結果與Tobushi等的實驗結果吻合的良好，說明筆者建立的三維熱力學本構模型能夠有效的描述SMP在小應變條件下的熱力學行為，可為SMP在實際工程應用中提供理論參考.

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(責任編輯：劉巖)

作者簡介：章巧芳(1966—)，女，浙江嵊州人，副教授，研究方向為CAE技術的工程應用研究，E-mail:zg0609@zjut.edu.cn.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51375453)

收稿日期：2014-09-16