梁 巍，王建華

（西安工業(yè)大學 機電工程學院，西安710021）

擺線齒輪廣泛應用于擺線針輪行星減速器和各種形式的擺線泵中，作為這些機器的關(guān)鍵零件，擺線齒輪的幾何精度直接影響著這些機器的性能．擺線齒輪的幾何精度由加工精度和測量精度共同決定．在擺線齒輪的測量過程中，測球的球度誤差和測桿的受力變形均會引入測量誤差，從而影響測量精度．

為了測量擺線齒輪，傳統(tǒng)的測量方法通常采用特殊點檢測法［1-5］．該測量方法只能反映擺線齒輪的部分參數(shù)誤差，無法評定擺線齒輪的齒廓精度．為實現(xiàn)擺線齒輪齒廓偏差的自動測量，文獻［6］提出在三坐標測量機上測量擺線齒輪齒廓偏差，通過三坐標測量機上測得齒廓的各點坐標值后，以最小齒廓法向偏差平方和為目標函數(shù)，對設計齒廓坐標系與坐標機坐標系的夾角進行優(yōu)化，以計算各項齒輪誤差．文獻［7］提出在極坐標測量儀上測量擺線齒輪齒廓偏差，與三坐標測量機相比極坐標測量儀效率高且精度穩(wěn)定．極坐標測量儀由旋轉(zhuǎn)軸和直線軸組成測量坐標系，將擺線齒輪安裝在極坐標測量儀的回轉(zhuǎn)工作臺上其軸心與工作臺軸心重合，測球沿徑向放置在直線軸位置．測量時工作臺帶動擺線齒輪轉(zhuǎn)動，同時齒輪推動測球伸縮，測量系統(tǒng)實時采樣工作臺轉(zhuǎn)角值和測球示值，根據(jù)采樣到的一系列數(shù)據(jù)與擺線齒輪的理論齒廓數(shù)據(jù)比較可測得齒廓偏差．文獻［8-9］在此基礎上提出在直線軸加入一個驅(qū)動電機，使得當工作臺旋轉(zhuǎn)時，根據(jù)齒廓曲線主動控制測球運動以減小測球的受力，從而相應地減少了測桿的受力變形，同時也減小了測球的磨損．由于測球測力方向和受力方向不一致，此方法中測桿的受力變形仍然影響齒廓法向誤差．

為減小擺線齒輪測量過程中測球的球度誤差和測桿的受力變形對齒廓法向誤差的影響，文中通過分析球度誤差和測桿受力變形對齒廓法向誤差的影響，對傳統(tǒng)極坐標測量法的齒廓偏差數(shù)學模型進行改進，得到齒廓曲線在法向極坐標系中的參數(shù)方程和齒廓偏差的數(shù)學模型，比較法向極坐標法與極坐標法的齒廓法向誤差，以期為擺線齒輪齒廓測量方法優(yōu)選提供參考．

1 齒廓的極坐標測量

1．1 極坐標測量法

極坐標法測量坐標系由一個以O為軸心的旋轉(zhuǎn)軸和一個直線軸R組成，齒輪軸心與O點固連，如圖1所示，將任意齒齒根點作為起始測量點，起測點A的極角φ0＝0°，極徑ρ0為齒根圓半徑，其極坐標為（0，ρ0），采用測力方向為R向的測球．圖2為極坐標法測量原理圖，圖2中測球在測點M（φ，ρ）法矢方向上的受力為Fe，在R向上的測力為F，測球的測力F和Fe之間的夾角α稱為測量壓力角．根據(jù)擺線的形成原理，滾圓相對于基圓所轉(zhuǎn)過的角度稱為嚙合相位角φHP，嚙合相位角φHP由0°增加到360°形成一個齒［10］，形成n個齒時，嚙合相位角φHP由0°增加到n×360°．

圖1 極坐標法測量起始點Fig．1 Starting point of polar coordinate method

圖2 極坐標法測量原理Fig．2 Measuring principle of polar coordinate method

測球沿理論齒廓曲線運動一周，其球心點的軌跡曲線為齒廓曲線的等距曲線，稱此軌跡曲線為測球中心軌跡曲線，其極坐標方程［8］為

式中：rp為創(chuàng)成圓半徑；rg為滾圓半徑；zc為擺線齒輪齒數(shù)；zp為外轉(zhuǎn)子齒數(shù)；a為偏心距；L1，L2，β，δ均為中間變量；rQ為測球半徑；rrp為針齒半徑；K1為短幅系數(shù)；測球中心軌跡曲線的離散點極坐標記為（φi，ρi）；αi為第i個離散點處的測量壓力角．

控制測球沿測球中心軌跡曲線運動一周即可完成對擺線齒輪齒廓的采樣．采用等嚙合相位角φHP得到的測球中心軌跡曲線離散點分布比較均勻，故將等分的φHPi（i＝1，2，3，…，k）代入式（1）即可得到一系列離散點的極坐標（φi，ρi）（i＝1，2，3，…，k）．在測量過程中，當擺線齒輪轉(zhuǎn)動到極角φi時，測球沿R軸運動到極徑ρi，從而可以控制測球沿理論齒廓曲線運動一周．例如測量圖2中點M，其極坐標為（φ，ρ），齒輪由圖1所示的起測點（0，ρ0）順時針旋轉(zhuǎn)Δφ＝φ-0°角，同時測球沿R向由齒根位置位移Δρ＝ρ-ρ0，此時測球由初始位置運動到點M．

在測球沿理論齒廓曲線運動一周的過程中，測球連續(xù)采樣得到一系列采樣點（φj，ρj′）（j＝ 1，2，3，…，n）和各采樣點處的測量壓力角αj，將極徑方向的偏差轉(zhuǎn)化為法向偏差ej，有

其中ρj為第j個采樣點的理想極徑．

由于理想采樣點和實際采樣點均分布在測球中心軌跡曲線上，故徑向偏差即可以反映齒廓偏差，不需要換算到齒廓曲線上進行誤差的計算．

1．2 齒廓極坐標測量誤差影響因素分析

采用極坐標法測量擺線齒輪1號齒的齒廓，分析齒廓極坐標測量中測球的受力，如圖3所示．

圖3 齒廓的極坐標測量中測球的受力分析Fig．3 Stress analysis of measuring ball in polar coordinate measurement of tooth profile

若齒輪順時針方向旋轉(zhuǎn)，在測量過程中齒廓與測球的接觸點是不斷變化的．圖3（a）中1號齒的右齒面與測球上的點A接觸，此時測球的受力為FA，方向沿接觸點處的法矢方向，F(xiàn)A在R軸方向和R軸的垂直方向的分力分別為F1和F2，分力F2會使得測桿變形；這里測球的受力方向（法矢方向）和R軸方向之間的夾角即是上述的測量壓力角α，α越大，F(xiàn)2越大，測桿的變形也越大．同理，圖3（b）中1號齒的左齒面與測球上的點B接觸，此時測球的受力為FB，方向沿接觸點處的法矢方向，F(xiàn)B在R軸方向和R軸的垂直方向的分力分別為F1′和F2′，分力F2′也會使測桿變形．測桿的變形會導致測球的實測點偏離理論點，實測點與理論點在徑向（R向）的偏差便是測量誤差．隨著測球與齒廓接觸點的變化測球受力的大小和方向也不斷的變化，特別是當測量壓力角α較大時，測球的實測點偏離理論點顯著．

如上所述，采用測力方向為R方向的測球，測球有一個基本行程，在基本行程中存在一個零位和兩個極位，如圖4所示，若一個測球的測量行程為-0．365 ～ ＋0．365mm，測球的懸空狀態(tài)在-0．365mm極位處，測球與理想齒廓接觸，應被壓到零位處，當齒廓偏差為正偏差時，測球的壓入量會變大，此時示值變大；當齒廓偏差為負偏差時，測球會沿R負向運動，此時示值負向增大．由于極坐標法在測量過程中齒廓與測球的接觸點是不斷變化的，故當測球存在球度誤差時會影響測量精度．假設齒廓為理想齒形（不存在誤差），測量時當接觸點處測球的球度誤差為負值（測球磨損屬于此情況），此時測球會負向偏離零位，偏離值即為測量誤差；當接觸點處測球的球度誤差為正值時，測球會正向偏離零位，偏離值即為測量誤差．

圖4 測球行程Fig．4 Measuring-ball trip

在測量過程中齒輪始終順時針方向旋轉(zhuǎn)，在測量右齒面時，如圖3（a）所示，測球沿R正向退出，齒廓的旋轉(zhuǎn)是壓著測球運動，而在左齒面時，如圖3（b）所示，測球沿R負向進給，測球是追著齒輪旋轉(zhuǎn)運動．也即在測量過程中，左右齒面的運動是不對稱的，這造成了以齒頂為中心的對稱點處測球的受力大小不等，且方向不對稱，如圖3中FA和FB所示，其FA應大于FB．測力大小不相等會產(chǎn)生示值誤差，影響齒廓誤差．圖3中FA和FB分別旋轉(zhuǎn)測量壓力角α，此時測球與齒廓接觸點的法矢方向旋轉(zhuǎn)到與R軸平行（α＝0）位置，此時F2和F2′為零，測球受力全部用于推動測球在行程內(nèi)的運動，測桿的受力變形也隨即被消除．為使測球與齒廓接觸點的法矢方向與R軸平行（測量壓力角α始終為零），本文提出擺線齒輪齒廓的法向極坐標測量法．

2 齒廓的法向極坐標測量

為使測量壓力角α始終為零，在極坐標測量系中加入了一個垂直于R軸的直線軸T，如圖5所示，φ為極角．采用法向極坐標法測量圖2中點M，當齒輪由圖2所示狀態(tài)逆時針旋轉(zhuǎn)α角后，測力Fe平行于水平方向（平行于R軸），此時滿足測球的測力方向與受力方向（測球與齒廓接觸點處法矢方向）一致且平行于R軸．若由起測點開始測量，齒輪應首先順時針轉(zhuǎn)動Δφ后，又逆時針轉(zhuǎn)動α，故測量點M時旋轉(zhuǎn)軸由起測點最終轉(zhuǎn)過的角度θ＝α-Δφ＝α-φ．在齒輪轉(zhuǎn)動過程中，為使測球運動到點M，測球在旋轉(zhuǎn)軸運動的過程中同時需要沿R方向和T方向共同運動，沿兩個方向的運動距離分別為r和t，由圖5可得r＝ρcosα，t＝ρsinα．對于齒廓曲線上每一個點的極坐標值（φi，ρi）都對應一個法向極坐標值（θi，ri，ti），且滿足關(guān)系

圖5 法向極坐標法測量原理Fig．5 Measuring principle of normal polar coordinate method

由式（10）可以得到整周齒廓曲線上的運動點的法向極坐標值（θi，ri，ti）（i＝ 1，2，3，…，k），控制測球連續(xù)由一個點運動到下一個點，這樣測球便可沿一個整周齒廓曲線運動，在運動過程中測球進行連續(xù)采樣得一系列采樣點（θj，rj′，tj′）（j＝ 1，2，3，…，n）．若各采樣點的理論值為（θj，Rj，Tj），由于在測量過程中法矢方向始終平行于R軸，故法向偏差值可根據(jù)R向的實際測量值rj′和理想值Rj之差來確定．齒廓偏差為

在齒廓法向極坐標測量過程中齒廓與測球的接觸點始終不變，即圖5中測球上與齒廓上點M接觸的點（即測球頂點）．由于接觸點始終不變，故即使接觸點（測球頂點）處測球存在球度誤差，它對每一個采樣點的影響是相同的，可通過測量測球頂點處的球度誤差將球度誤差的影響消除．

3 測量實例及分析

實驗采用D40型齒輪測量中心（西安共達精密有限公司）為測量平臺，該儀器測量精度高，能夠滿足實驗要求．試驗中測球采用柱塞式測球，其測球的測量范圍為 -0．368～＋0．368mm，安裝完成后其測力方向沿測量中心的R軸方向．

本實驗所采用齒輪為與圓弧嚙合的擺線齒輪，其基本參數(shù)見表1．采用法向極坐標法和極坐標法在同一次裝夾定位下對該擺線齒輪進行測量，每個齒取100個運動點，200個采樣點，以齒根點作為測量的起始點，齒輪順時針轉(zhuǎn)動進行測量．

采用法向極坐標法原理測量擺線齒輪時，齒廓偏差檢測結(jié)果如圖6（a）所示；極坐標法測量時，齒廓偏差檢測結(jié)果如圖6（b）所示．圖6中實線為理論齒廓曲線，虛線為實際齒廓曲線，1～8為齒編號；X，Y為測量坐標刻度．

表1 擺線齒輪基本參數(shù)Tab．1 The basic parameters of cycloidal gear

圖6 齒廓偏差檢測結(jié)果Fig．6 Detection results of tooth profile deviation

擺線齒輪每個齒有一個齒廓總偏差，反映了該齒上的齒廓偏差的幅值（該齒上齒廓偏差的最大值與最小值的代數(shù)差）．

采用兩種不同測量方法得到的齒廓總偏差如圖7所示．

圖7 不同齒廓測量方法得到的齒廓總偏差Fig．7 Comparison of tooth profile error between polar coordinate method and normal polar coordinate method

從圖7可發(fā)現(xiàn)，法向極坐標法檢測得到的各個齒的齒廓總偏差均小于極坐標法，表明齒輪齒廓檢測時，法向極坐標測量法較極坐標測量法的齒廓總偏差小．

這說明采用法向極坐標法測量齒廓偏差時，測桿受力變形所引入的測量誤差和測球球度誤差對測量結(jié)果的干擾較極坐標法小．故擺線齒輪齒廓的法向極坐標測量比極坐標測量精度高．

4 結(jié) 論

本文分析測球球度誤差和測桿受力變形對擺線齒輪齒廓極坐標測量的影響，提出了齒廓法向極坐標測量法，通過齒輪測量中心獲得了擺線齒輪全齒廓上各測量點的齒廓偏差，得出的結(jié)論為

1）采用法向極坐標法測量齒廓時，齒廓測量點的法矢方向和測球的測力方向保持一致，測桿變形所引入的測量誤差較極坐標法小，測桿受力變形對齒廓測量精度的影響較極坐標法減?。?/p>

2）在法向極坐標法測量過程中，測球與齒廓的接觸點始終不變，球度誤差對每一采樣點的齒廓法向誤差的影響程度相同；在實驗數(shù)據(jù)處理過程中，每一采樣點的齒廓偏差減去測球頂點的球度誤差，測球球度誤差所引起的齒廓法向誤差較極坐標法小．

3）法向極坐標法測量擺線齒輪左右齒面的齒廓偏差時，每一采樣點處測球測力大小相等，測桿在接觸點法矢方向上的變形對齒廓法向誤差的影響得以消除．

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