李志軍，左雙洋，劉園園

（西安工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，西安710021）

自1985年起，桁架橋梁結(jié)構(gòu)抗震逐漸受到全世界范圍內(nèi)廣大研究人員和學(xué)者的重視，先后提出了機(jī)敏結(jié)構(gòu)、自適應(yīng)結(jié)構(gòu)、智能系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)等名稱(chēng)［1］．文獻(xiàn)［2］采用磁流變阻尼器的半主動(dòng)模糊控制技術(shù)來(lái)提高斜拉橋的抗震性能，可以有效地減輕斜拉橋的地震響應(yīng)，并成功提升磁流變阻尼器系統(tǒng)的魯棒性能．文獻(xiàn)［3］提出一種應(yīng)用形狀記憶合金耗能器和疊層橡膠支座的新型橋梁隔震體系，給出了該隔震支座的詳細(xì)構(gòu)造，并建立了其恢復(fù)力理論模型．地震作用下，在結(jié)構(gòu)中配置智能型作動(dòng)器提高了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，保障結(jié)構(gòu)的可靠性．配置較多作動(dòng)器雖易實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，但帶來(lái)不能忽略的質(zhì)量問(wèn)題，同時(shí)會(huì)增加結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量，影響結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性和可靠性，當(dāng)考慮經(jīng)濟(jì)效益時(shí)，盲目采用較多作動(dòng)器也是不可取的［4］．文中在考慮經(jīng)濟(jì)和效率的前提下，采用遺傳算法對(duì)桁架橋梁結(jié)構(gòu)體系的作動(dòng)器進(jìn)行優(yōu)化配置，提出二次型最優(yōu)控制（Linear Quadratic Optimal Control，LQR）算法進(jìn)行桁架橋梁結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制，通過(guò)實(shí)例仿真模擬多種地震輸入情況下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，以期實(shí)現(xiàn)桁架橋梁地震效應(yīng)最優(yōu)主動(dòng)控制．

1 系統(tǒng)空間狀態(tài)模型的建立

具有n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)體系在環(huán)境干擾F（t）∈Rr作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：X∈Rn為結(jié)構(gòu)的位移向量；M∈Rn×n為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；K∈Rn×n為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；Ds∈Rn×n為環(huán)境干擾的位置矩陣；Bs∈Rn×p為相應(yīng)控制力作用位置矩陣；U（t）∈Rp為提供給結(jié)構(gòu)對(duì)象的控制力；X（t）為結(jié)構(gòu)的初始位移；X·（t）為結(jié)構(gòu)的初速度．

式中：Y（t）∈Rm為輸出向量；C0∈Rm×2n為反饋下的輸出矩陣．

故在環(huán)境干擾下的結(jié)構(gòu)控制問(wèn)題可用狀態(tài)方程表示為

式中：B0為存在環(huán)境干擾下的控制力輸出矩陣；D0為環(huán)境干擾的輸出矩陣．

采用獨(dú)立模態(tài)思想進(jìn)行主動(dòng)抗震控制時(shí)，各階模態(tài)之間相互獨(dú)立，互不影響，控制力的大小只與該階模態(tài)相關(guān)，可將問(wèn)題由空間狀態(tài)轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間內(nèi)進(jìn)行解析．

2 抗震作動(dòng)器的優(yōu)化布置及LQR控制

2．1 遺傳算法原理

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是建立在生物系統(tǒng)領(lǐng)域，以計(jì)算機(jī)仿真模擬為基礎(chǔ)的一種隨機(jī)搜索計(jì)算方法，其過(guò)程的隨機(jī)性沒(méi)有任何依據(jù)，但隨機(jī)的前提都是個(gè)體能夠越來(lái)越好的適應(yīng)環(huán)境，這個(gè)過(guò)程和生物界的自然選擇一樣［5-6］．染色體之間的交叉和變異過(guò)程可以看成是生物進(jìn)化過(guò)程．“適者生存”是遺傳算法中的一項(xiàng)重要原則，在所有潛在解決方案的種群中通過(guò)“優(yōu)勝劣汰”方式來(lái)產(chǎn)生最優(yōu)解．在遺傳算法的每一代中，個(gè)體的選擇不僅需要借鑒遺傳學(xué)這門(mén)學(xué)科領(lǐng)域中的再次改造方法，還需以其在問(wèn)題范疇內(nèi)的適應(yīng)度值為依據(jù)，由此便可以產(chǎn)生一個(gè)新的近似最優(yōu)解使所求解的問(wèn)題更加接近真實(shí)解．在遺傳過(guò)程中由于不斷進(jìn)化發(fā)展使得種群中的一些個(gè)體逐漸向更適于生存的方向發(fā)生變化．

2．2 優(yōu)化算法

對(duì)作動(dòng)器的布置位置進(jìn)行優(yōu)化，關(guān)鍵就是找到一個(gè)比較容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)化性能指標(biāo)，以便對(duì)結(jié)構(gòu)的控制效果進(jìn)行評(píng)價(jià)．由于優(yōu)化結(jié)果主要是用于運(yùn)動(dòng)方程中的控制力位置矩陣的集成，鑒于此，為了使推導(dǎo)過(guò)程方便、簡(jiǎn)單，首先假設(shè)以下幾點(diǎn)：① 地震作用下，結(jié)構(gòu)體系在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中屬于彈性振動(dòng)；② 忽略作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)體系質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的影響；③ 結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)模態(tài)不發(fā)生耦合．

根據(jù)上述假設(shè)，用低階自由度系統(tǒng)在模態(tài)空間內(nèi)的振動(dòng)來(lái)表示無(wú)限自由度系統(tǒng)在時(shí)間域內(nèi)的振動(dòng)，把式（1）變換成模態(tài)方程，可得結(jié)構(gòu)的第i個(gè)模態(tài)方程為

式中：qi為第i階模態(tài)坐標(biāo)矢量；uc為第i階模態(tài)控制力；ωi為開(kāi)環(huán)無(wú)阻尼系統(tǒng)的第i階固有頻率；ξi為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)第i階模態(tài)阻尼比；Bi為第i階模態(tài)控制力輸出矩陣．

將矩陣Bi進(jìn)行奇異值分解，可得

式中：Ui和Vi均為輔助矩陣；Si為矩陣Bi的奇異值矩陣．

假如模態(tài)矢量qi為可控制的，引入一組新的模態(tài)坐標(biāo)pi＝ ［p1p2…pn］，利用模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換［7］，由式（5）可得

其中γi為第i個(gè)受控模態(tài)的重要程度，其值取ωi的值．若所得性能指標(biāo)J越大，就表示所布置的作動(dòng)器位置越好，結(jié)構(gòu)的抗震效果越好，由此可得遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)為

式中：J0為沒(méi)有進(jìn)行調(diào)整時(shí)的性能指標(biāo)；p為調(diào)整后結(jié)構(gòu)上布置的作動(dòng)器數(shù)量；m為未進(jìn)行優(yōu)化前結(jié)構(gòu)上布置的作動(dòng)器數(shù)量．

2．3 抗震作動(dòng)器的LQR控制

文中利用LQR控制計(jì)算抗震作動(dòng)器的最優(yōu)控制力，計(jì)算步驟具體為

① 建立質(zhì)量、剛度矩陣K、M以及阻尼矩陣C．

② 采用遺傳算法優(yōu)化后的計(jì)算結(jié)果，建立裝有作動(dòng)器的主動(dòng)桿件的位置矩陣，即最優(yōu)控制力位置矩陣Bs．

③ 建立結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間模型．

④ 確定權(quán)矩陣Q、R．依據(jù)文獻(xiàn)［8-9］，Q、R 分別為

式中：α、β均為待定系數(shù)；I為n×n階矩陣．

⑤求狀態(tài)方程的控制力狀態(tài)反饋增益矩陣G，得出最優(yōu)控制力U（t）＝-GZ（t）．

⑥ 將最優(yōu)控制力U（t）＝-GZ（t）及所求得的狀態(tài)反饋增益矩陣G代入無(wú)控結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，得到受控結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程，進(jìn)而確定出最優(yōu)控制力U（t）．

3 仿真與分析

現(xiàn)以文獻(xiàn)［10］中桁架橋梁結(jié)構(gòu)作為仿真分析對(duì)象，其全長(zhǎng)32m，每一節(jié)的水平段長(zhǎng)為4m，桁架高度為5．5m；其中桁架結(jié)構(gòu)采用Q235鋼，彈性模量E＝210GPa，泊松比μ為0．30，密度ρ為7 800kg· m-3．桁架橋梁結(jié)構(gòu)的橋面板厚度為0．3m；采用混凝土板，彈性模量E為35GPa，泊松比μ為0．18，密度ρ為2 500kg·m-3．橋梁采用工字型鋼，其截面示意圖如圖1所示，結(jié)構(gòu)尺寸具體為

上下弦：W1＝0．4m；W2＝0．4m；W3＝0．4 m；t1＝0．02m；t2＝0．02m；t3＝0．02m．

橫向連接桿：W1＝0．4m；W2＝0．4m；W3＝0．4m；t1＝0．016m；t2＝0．016m；t3＝0．016m．

腹桿：W1＝0．3m；W2＝0．3m；W3＝0．3m；t1＝0．016m；t2＝0．016m；t3＝0．016m．

圖1 工字鋼截面Fig．1 I-steel section

為了得到結(jié)構(gòu)的參數(shù)矩陣K、M、C，這里利用有限元ANSYS對(duì)桁架橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模．其中，桁架橋梁結(jié)構(gòu)的上下弦、橫向連接桿和腹桿全部選用梁?jiǎn)卧M(jìn)行建模，橋面板選用殼單元進(jìn)行建模．橋梁結(jié)構(gòu)的左端采用固結(jié)，右端只有豎直向上的約束，其模型如圖2所示，并標(biāo)出了節(jié)點(diǎn)編號(hào)1～32．圖3為桁架橋梁不同位置的視圖，并標(biāo)出了節(jié)點(diǎn)及梁?jiǎn)卧幪?hào)．

圖2 桁架橋梁結(jié)構(gòu)模型圖Fig．2 Truss bridge model

圖3 桁架橋梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig．3 Schematic diagram of truss bridge structure

3．1 作動(dòng)器的優(yōu)化配置

采用遺傳算法對(duì)作動(dòng)器位置進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，初始種群數(shù)設(shè)置為30個(gè)；選用二進(jìn)制碼方法來(lái)對(duì)個(gè)體進(jìn)行編碼操作，根據(jù)空間桁架橋梁結(jié)構(gòu)體系的梁?jiǎn)卧獢?shù)來(lái)設(shè)置編碼長(zhǎng)度，兩者相等設(shè)為n，若第i個(gè)基因位上的值是1，就表示第i個(gè)梁?jiǎn)卧獮檠b有作動(dòng)器的梁?jiǎn)卧?，若第i個(gè)基因位上的值為0，就表示第i個(gè)梁?jiǎn)卧獮槠胀簡(jiǎn)卧?；設(shè)置交叉概率為0．8，變異概率為0．05，算法終止條件中設(shè)置最大代數(shù)為300代，穩(wěn)定代數(shù)為50代．控制權(quán)矩陣Q、R系數(shù)α＝100，β＝8×10-6，采用加利福尼亞南北向的200gal EI-Centro波記錄，采樣周期為 0．02s，沿結(jié)構(gòu)X方向輸入．

現(xiàn)在討論分別布置10，20，30，40個(gè)作動(dòng)器而得出的最優(yōu)布置情況．基于遺傳算法得到的不同數(shù)目作動(dòng)器的最優(yōu)布置位置見(jiàn)表1．

表1 不同數(shù)目作動(dòng)器的最優(yōu)布置位置Tab．1 Optimal layout of different number of actuators

采用LQR主動(dòng)控制算法對(duì)桁架橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，參照無(wú)控時(shí)結(jié)構(gòu)中某一節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)，分析該節(jié)點(diǎn)在不同數(shù)量作動(dòng)器下的優(yōu)化結(jié)果，由此確定作動(dòng)器的數(shù)量．根據(jù)桁架橋梁結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)以及ANSYS模擬的地震響應(yīng)分析結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)在受到地震作用時(shí)，跨中處會(huì)發(fā)生最大位移．又由于桁架橋梁結(jié)構(gòu)屬于對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，因此選取節(jié)點(diǎn)5來(lái)進(jìn)行不同數(shù)量的作動(dòng)器的控制效果比較［11］，以此為依據(jù)來(lái)確定整個(gè)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)作動(dòng)器數(shù)量．表2為在結(jié)構(gòu)中分別布置10，20，30，40個(gè)作動(dòng)器和未布置作動(dòng)器時(shí)節(jié)點(diǎn)5的最大位移．

表2 不同數(shù)量作動(dòng)器時(shí)節(jié)點(diǎn)5的位移響應(yīng)Tab．2 Node 5displacement response controlled by different numbers of actuators

由表2可知，地震作用下，布置不同數(shù)量的作動(dòng)器均可對(duì)節(jié)點(diǎn)5的位移響應(yīng)產(chǎn)生一定的控制作用，節(jié)點(diǎn)5的位移控制效果隨作動(dòng)器數(shù)量遞增而愈加明顯．從布置10個(gè)到布置40個(gè)作動(dòng)器，節(jié)點(diǎn)5的位移控制響應(yīng)和未受控時(shí)相比，從1．38%變?yōu)?9．01%，控制效果顯著．隨后增加作動(dòng)器數(shù)量，其位移響應(yīng)也有所提高，但效果變得緩慢．因此，綜合考慮經(jīng)濟(jì)、效果及系統(tǒng)穩(wěn)定性等情況，針對(duì)文中桁架橋梁結(jié)構(gòu)，采用布置20個(gè)作動(dòng)器的情況顯得更加合理．

3．2 結(jié)果有效性驗(yàn)證

采用20個(gè)作動(dòng)器最為理想的結(jié)論，在地震作用下，分別進(jìn)行優(yōu)化布置和隨機(jī)布置這兩種情況的運(yùn)算，并選取某些節(jié)點(diǎn)進(jìn)行地震位移響應(yīng)效果的比較，以此來(lái)驗(yàn)證選用遺傳算法進(jìn)行作動(dòng)器布置位置優(yōu)化的可行性和有效性．地震作用下，無(wú)控、隨機(jī)及優(yōu)化控制時(shí)一些節(jié)點(diǎn)的位移時(shí)程曲線對(duì)比如圖4所示．

這些節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3．其中

式中：α、β分別為地震作用下，以無(wú)控時(shí)的位移為參照，優(yōu)化控制和隨機(jī)控制時(shí)的位移控制效果百分比；γ為優(yōu)化控制相對(duì)于隨機(jī)控制時(shí)的增長(zhǎng)值；Su為無(wú)控時(shí)的位移；S0為優(yōu)化控制時(shí)的位移；Sr為隨機(jī)控制時(shí)的位移．

圖4 不同節(jié)點(diǎn)在三種工況下的時(shí)程曲線Fig．4 Displacement responses of different nodes under three cases

表3 三種工況下控制效果對(duì)比Tab．3 Maximum responses quantities under three cases

由表3及圖4可知，選用20個(gè)作動(dòng)器對(duì)桁架橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動(dòng)抗震控制情況下，采用隨機(jī)和優(yōu)化布置方式時(shí)，X方向的位移響應(yīng)均有所降低，但優(yōu)化布置比隨機(jī)布置方式更為明顯，這也直接說(shuō)明了應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行作動(dòng)器優(yōu)化布置的可行性和有效性．

遺傳算法總朝著最優(yōu)方向進(jìn)行，因此，遺傳代數(shù)越高，作動(dòng)器的優(yōu)化位置應(yīng)該越好．為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，現(xiàn)在仍取桁架結(jié)構(gòu)的某幾個(gè)節(jié)點(diǎn)，在20個(gè)作動(dòng)器下，遺傳算法從50代、100代、200代直到300代的優(yōu)化結(jié)果來(lái)驗(yàn)證遺傳算法代數(shù)對(duì)優(yōu)化控制的影響．表4為地震作用下，節(jié)點(diǎn)5、16、23、30分別在50代、100代、200代時(shí)X方向的位移響應(yīng)．表4中對(duì)不同進(jìn)化代數(shù)下節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行了比較，且有

式中：α50、α100和α200分別為在地震作用下，以無(wú)控時(shí)的位移為參照，進(jìn)化50代、100代以及200代時(shí)節(jié)點(diǎn)位移控制效果百分比；S50為進(jìn)化到50代時(shí)的位移；S100為進(jìn)化到100代時(shí)的位移；S200為進(jìn)化到200代時(shí)的位移．

由表4可知，在地震作用下，配置20個(gè)作動(dòng)器時(shí)，隨著遺傳代數(shù)的逐漸增加，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)逐漸減小，即控制效果越好．這說(shuō)明作動(dòng)器的位置優(yōu)化效果越顯著．

表4 不同進(jìn)化代數(shù)下節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)對(duì)比Tab．4 The nodal displacement response under different evolution

4 結(jié) 論

文中采用LQR控制算法，對(duì)有控、隨機(jī)和優(yōu)化等多種工況下桁架橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，得到的結(jié)論為

1）提出了采用遺傳算法對(duì)桁架橋梁結(jié)構(gòu)抗震作動(dòng)器進(jìn)行優(yōu)化布置的最優(yōu)控震策略．考慮鋼桁架橋梁地震響應(yīng)、經(jīng)濟(jì)性、可靠性、穩(wěn)定性等因素，鋼桁架橋梁結(jié)構(gòu)中布置20個(gè)作動(dòng)器時(shí)，其抗震性、經(jīng)濟(jì)性以及可靠性達(dá)到全局最優(yōu)，且優(yōu)化配置20個(gè)作動(dòng)器之后，在X方向上節(jié)點(diǎn)位移比隨機(jī)布置方式減小了1．83%～18．32%．

2）采用遺傳算法進(jìn)行作動(dòng)器優(yōu)化時(shí)，隨著遺傳代數(shù)增加，結(jié)構(gòu)主動(dòng)抗震控制效果顯著改善，該結(jié)果證明了利用遺傳算法進(jìn)行作動(dòng)器優(yōu)化配置對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動(dòng)抗震控制的有效性．

［1］ 陳英杰，姚素玲．智能材料［M］．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013．CHEN Ying-jie，YAO Su-ling．Intelligent Materials［M］．Beijing：Mechanical Industry Press，2013．（in Chinese）

［2］ OKS Y，KIM D S．Semi-active Fuzzy Control of Cable-stayed Bridges Using Magneto-rheological Dampers［J］．Engineering Structures，2007，29：776．

［3］ 陳海泉，李忠獻(xiàn)．基于形狀記憶合金的橋梁隔震［J］．工程力學(xué)，2001，18（S1）：838．CHEN Hai-quan，LI Zhong-xian．The Bridge Isolation Based on Shape Memory Alloy［J］．Engineering Mechanics，2001，18（S1）：838．（in Chinese）

［4］ 王社良，紀(jì)慶波，代建波，等．基于超磁致伸縮作動(dòng)桿的結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制研究［J］．噪聲與振動(dòng)控制，2010，30（6）：23．WANG She-liang，JI Qing-bo，DAI Jian-bo，et al．The Active Control of Structural Vibration Based on Giant Magnetostrictive Actuators［J］．Noise and Vibration Control，2010，30（6）：23．（in Chinese）

［5］ BUQ M，WANG Z J，TONG X．An Improved Genetic Algorithm for Searching for Pollution Sources［J］．Water Science and Engineering，2013，6（4）：392．

［6］ HUA H Y，LIN S W．New Knowledge-based Genetic Algorithm for Excavator Boom Structural Optimization［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2014，11（2）：392．

［7］ LIU Z S，WANG D J，HU H C，et al．Measures of Modal Controllability and Observability in Vibration Control of Flexible Structures［J］．Journal of Guidance Control and Dynamics，1994，17（6）：1377．

［8］ 徐趙東，郭迎慶．Matlab語(yǔ)言在建筑抗震工程中的應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，2004．XU Zhao-dong，GUO Ying-qing．Application of Matlab Language in Earthquake Engineering in Building［M］．Beijing：Science Press，2004．（in Chinese）

［9］ 歐進(jìn)萍．結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制–主動(dòng)、半主動(dòng)和智能控制［M］．北京：科學(xué)出版社，2003．OU Jin-ping．Structural Vibration Control-Active，Semi-Active and Intelligent Control［M］．Beijing：Science Press，2003．（in Chinese）

［10］ 張秀輝，胡仁喜，康士延，等．ANSYS14．0有限元分析從入門(mén)到精通［M］．2版．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013．ZHANG Xiu-hui，HU Ren-xi，KANG Shi-yan，et al．Finite Element Analysis of the ANSYS 14．0from Entry to the Master［M］．2nd ed．Beijing：Mechanical Industry Press，2013．（in Chinese）

［11］ 代建波．空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的主動(dòng)控制理論與實(shí)驗(yàn)研究［D］．西安：西安建筑科技大學(xué)，2011．DAI Jian-bo．Theoretical and Experimental Research on Active Control of Seismic Responses of Space Grid Structure［D］．Xi’an：Xi’an University of Architecture and Technology，2011．（in Chinese）