袁 媛， 林漢燕， 董錦華

(桂林航天工業(yè)學院 理學部 廣西 桂林 541004)

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時滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分支

袁 媛， 林漢燕， 董錦華

(桂林航天工業(yè)學院 理學部 廣西 桂林 541004)

考慮具有追捕時滯與捕食者成熟期時滯的雙時滯捕食系統(tǒng). 通過分析特征方程根的情況,得到平衡點的局部穩(wěn)定性與Hopf分支產(chǎn)生的充分條件.運用迭代方法與比較原理研究了正平衡點全局吸引的充分條件.

時滯; 階段結(jié)構(gòu); 捕食系統(tǒng); Hopf分支; 全局穩(wěn)定性

0 引言

隨著對生物種群動力學的深入研究,時滯被引入到各類動力學系統(tǒng)中.時滯的引入使得系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡點處發(fā)生穩(wěn)定性的改變,并產(chǎn)生周期振蕩等更為復雜的動力學行為[1-7].文獻[1-3]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的單時滯捕食系統(tǒng),文獻[4-5]研究了具有多個時滯的捕食系統(tǒng).基于上述文獻的思想,本文考慮捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的雙時滯捕食系統(tǒng)，

(1)

其中,x(t),y(t),z(t)分別表示t時刻食餌種群、幼年捕食者與成年捕食者種群的數(shù)量，r表示食餌種群的自然增長率,β1,β2分別表示食餌種群與成年捕食者種群的種內(nèi)競爭率,a1是成年捕食者的捕食率,b是捕食者的出生率,d1,d2分別表示幼年捕食者與成年捕食者的死亡率,τ1,τ2>0是時滯,分別表示追捕時間與捕食者的成熟期,e-d1τ表示捕食者進入成熟期之前(即成長期)的存活率,假設(shè)τ=τ1+τ2. 以上所有的參數(shù)都是正的.

系統(tǒng)(1)滿足的初始條件為：x(θ),y(θ),z(θ)≥0,θ∈[-τ,0],x(0),y(0),z(0)>0.

在系統(tǒng)(1)中,由于幼年捕食者y(t)的動力學行為依賴于x(t)與z(t),所以，下面研究簡化系統(tǒng)

(2)

這里a2=ba1，其初始條件為

x(θ),z(θ)≥0；θ∈[-τ,0]；x(0),z(0)>0.

(3)

1 平衡點局部穩(wěn)定性分析

經(jīng)過簡單的計算,系統(tǒng)(2)有3個平衡點：E0(0,0),E1(r/β1,0)和E*(x*,z*),其中，

x*=(rβ2+a1d2)/(β1β2+a1a2e-d1τ),z*=(a2re-d1τ-β1d2)/(β1β2+a1a2e-d1τ).

當a2re-d1τ>β1d2時,E*(x*,z*)存在.

(4)

在E0(0,0)處,特征方程(4)化簡為(λ-r)(λ+d2)=0,易知它有一個正的特征根r,所以E0(0,0)總是不穩(wěn)定的.

在E1(r/β1,0)處,特征方程(4)化簡為(λ+r)(λ+d2-(a2r/β1)e-d1τ)=0,它有特征根λ1=-r<0,λ2=(a2r/β1)e-d1τ-d2.經(jīng)分析可知：當a2re-d1τ<β1d2時,E1(r/β1,0)是局部穩(wěn)定的;當a2re-d1τ>β1d2時,E1(r/β1,0)是不穩(wěn)定的.

于是,得到邊界平衡點局部穩(wěn)定性的結(jié)論，即定理1.

定理1E0(0,0)總是不穩(wěn)定的. 當a2re-d1τ<β1d2時,E1(r/β1,0)是局部漸近穩(wěn)定的；當a2re-d1τ>β1d2時,E1(r/β1,0)是不穩(wěn)定的.

在正平衡點E*(x*,z*)處, 特征方程(4)變形為

λ2+p1λ+p0+q0e-λτ=0,

(5)

其中，p1=β1x*+β2z*>0,p0=β1β2x*z*>0,q0=a1a2x*z*e-d1τ>0,τ=τ1+τ2.

當τ=0時,方程(5)變形為

λ2+(β1x*+β2z*)λ+β1β2x*z*+a1a2x*z*=0,

易知，它有2個負實部的特征根,因此在沒有時滯的情況下,正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的.

當τ>0，且滿足a2re-d1τ>β1d2時,假設(shè)λ=±iω(ω>0)是方程(5)的一對共軛特征根,將其代入方程(5)并分離實部、虛部得

cos ωτ=(ω2-p0)/q0; sin ωτ=p1ω/q0,

(6)

將式(6)的2個式子平方后相加,有

(7)

令

因為p0+q0>0,p0-q0=(β1β2-a1a2e-d1τ)x*z*,所以當β1β2>a1a2e-d1τ時,B>0,

Δ=A2-4B=[(β1x*)2-(β2z*)2]2+4(a1a2x*z*e-d1τ)2>0,

故方程(7)無正實根.對所有的τ>0,方程(5)的所有根都具有負實部,這表明系統(tǒng)(2)在正平衡點E*(x*,z*)處是局部漸近穩(wěn)定的.

當β1β2A2>0,于是方程(7)有一個正實根,

當參數(shù)β1,τ滿足不等式e-d1τ>max{β1d2/a2r,β1β2/a1a2}時,設(shè)θ(β1,τ)∈(0,2π),定義

結(jié)合(6)式,定義映射

Sn(β1,τ)=τ-(θ0(β1,τ)+2nπ)/ω0(β1,τ),n∈N.

根據(jù)文獻[8]的結(jié)論,有定理2.

2 全局穩(wěn)定性

引理1對所有的t>0來說,系統(tǒng)(2)的滿足初始條件(3)的解都是正的.

證明當t>0時,系統(tǒng)(2)的第1個方程為

結(jié)合初始條件(3)解得

當0≤t≤τ2時,

定理3當a2re-d1τ<β1d2時,E1(r/β1,0)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由定理1知,當a2re-d1τ<β1d2時,E1(r/β1,0)是局部漸近穩(wěn)定的.下面證明

結(jié)合系統(tǒng)(2)的第2個方程,當t>T1+τ2時,

證畢.

定理4假設(shè)β1d2/a2r

結(jié)合系統(tǒng)(2)的第2個方程,當t>T1+τ2時,有

(8)

證畢.

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Global Stability and Hopf Bifurcation for a Delayed Predator-prey System

YUAN Yuan， LIN Han-yan, DONG Jin-hua

(DepartmentofScience,GuilinUniversityofAerospaceTechnology,Guilin541004,China)

A double-delayed predator-prey system with hunting delay and time delay for predator maturation was considered. By analyzing the eigenvalue, the sufficient conditions of local stability and Hopf bifurcation were obtained. Using iteration techniques and comparison arguments, the sufficient condition for the global attractivity of the positive equilibrium was studied.

time delay; stage structure; predator-prey system; Hopf bifurcation; global stability.

2014-11-23

2014年廣西高?？蒲许椖?，編號LX2014469.

袁媛(1982-)，女，四川自貢人，講師，碩士，主要從事生物數(shù)學研究，E-mail: yyuan_1023@126.com.

O175

A

1671-6841(2015)01-0055-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.012