張嫦

數(shù)學中抽象的概念特別多，如自然數(shù)、點、線、面、體等。為幫助學生更好地理解抽象的、形式化的數(shù)學概念，教師應清楚數(shù)學概念教學的一般過程，它主要涉及以下三個環(huán)節(jié)（途徑）：概念探究、變式教學、數(shù)學聯(lián)結(jié)。

一、通過合理設置的“腳手架”，探究概念的外延與內(nèi)涵。

“腳手架”理念與傳統(tǒng)課堂教學實踐中的鋪墊策略有許多相通之處。把這一概念推廣到教學中，主要有兩個用意：一是通過搭建“腳手架”降低任務的難度；二是在沒有完成低層次任務的情況下也可以從事高層次的任務。

由于數(shù)學概念相對比較抽象，因此在數(shù)學概念的教學中最基本的搭建“腳手架”的方法是將其具體化，如通過“手工操作”的方式來幫助學生掌握數(shù)學概念。

筆者以“圓的認識”為例具體闡述?！皥A”的相關(guān)知識在2014人教版教材中出現(xiàn)兩次，第一次是在一年級下冊，第二次是在六年級上冊。在這兩次認識中，我們可以分兩個層次引導學生進行概念探究。

第一層次（一年級下冊）：游戲中初步感悟。

師（出示一個盒子）：老師在這個盒子里裝了一些長方形、正方形、三角形、圓，以及其他平面圖形，你能從中摸出一個圓嗎？

學生躍躍欲試，幾個學生上臺并準確摸出了圓。

師：你們?yōu)槭裁床幻鲞@些圖形？（出示三角形、平行四邊形、長方形）

師：你覺得圓和這些圖形各有哪些特點呢？

第二層次（六年級上冊）：活動中二度建構(gòu)。

師：請同學們結(jié)合手中的學習材料，用圓片折一折，畫一畫，量一量。邊操作邊思考：同一個圓里的半徑有什么特點？直徑有什么特點？半徑和直徑又有什么關(guān)系？

學生帶著問題，有的折，有的量，有的比一比，積極投入研究活動，并在動手操作和合作交流中自主建構(gòu)了圓半徑、直徑的特征，以及半徑與直徑之間的關(guān)系。

教師根據(jù)不同年齡段學生的心理認知特點，引導他們進行適當?shù)氖止げ僮?，幫助不同年級的學生把幾何形狀和它們的性質(zhì)概念化，達到他們相應年級應該達到的水平。

需要注意的是，“腳手架”作為一種教學輔助手段，具有持續(xù)性與暫時性的特點。在學習過程中，當學生在“腳手架”的功能區(qū)中取得了足夠的積累時，“腳手架”可能變得多余，教師應給予“拆除”。同時，新的學習過程要求新的“腳手架”，它需要移動至新的最近發(fā)展區(qū)。

二、通過各種變式，對概念進行多角度的辨析與理解

1.在直觀具體的變式中建立聯(lián)系。

數(shù)學概念雖然抽象，但大多數(shù)概念直接來自具體的感性經(jīng)驗。因此，引入概念的關(guān)鍵是建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系。

平行與垂直，這兩個概念比較抽象，學生不易理解。有經(jīng)驗的教師通常會借助兩類變式：一是通過桌面上兩支筆的不同擺放位置使學生理解垂直和平行研究的是在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。二是利用不同的圖形變式，使學生原有的感性經(jīng)驗從具體直觀上升到圖形的水平。這里必須強調(diào)的是，在教學的適當階段還應盡可能地擺脫具體或直觀的背景，使概念上升到抽象水平。

2.在非標準變式中突出概念的本質(zhì)屬性。

每個數(shù)學概念都有一個明晰的邊界，即它是一種外延性概念。從邏輯的角度看，外延性概念所包含的每個對象都是等價的。

如圖1所示，第一列中的兩條直線都是互相垂直的；第二列中的兩個圖形都是平行四邊形；第三列標示的都是三角形的高；第四列表示的都是圓的半徑和直徑。以上陳述在概念的對象集合中是等價的，但在學生的概念理解系統(tǒng)中，這些對象的地位并不相同。學生由于受到感性經(jīng)驗的影響，或在引入概念時有“先入為主”等多種原因的干擾，學生很容易判斷出第一排圖形是概念圖形，因為它們具有標準的形式而稱為標準變式；而對于第二排圖形，學生就會感到遲疑或不能確定它們是不是概念圖形，我們把這種非標準的形式稱為“非標準變式”。

在這兩種概念變式中，標準變式是把雙刃劍，一方面它有利于學生對概念的準確把握，另一方面卻容易限制學生的思維，從而人為地縮小概念的外延。解決這個問題的有效辦法就是不斷變換概念的非本質(zhì)屬性，充分利用非標準變式，突出其本質(zhì)屬性。

3.在非概念變式中明確概念的外延。

除了在內(nèi)涵上下工夫，數(shù)學概念作為一種外延性概念，教師應充分利用“非概念變式”，讓學生明確概念所包含對象的清晰邊界。

如圖2所示，平行與垂直，通過非概念圖形與概念圖形的比較，可以十分直觀地理解概念的本質(zhì)屬性。而在“圓的認識”中，學生認識了半徑與直徑兩個概念后，教師可以讓學生從圖3這么多線段中找出哪些是半徑？哪些是直徑？并重點說一說理由。這樣操作可以預防學生在理解概念時可能出現(xiàn)的混淆，進一步明確半徑與直徑這兩個概念的內(nèi)涵和外延，并進行多角度的辨析與理解。由此可見，運用“非概念變式”，學生能夠準確地把握概念變式的本質(zhì)特征。

三、通過數(shù)學聯(lián)結(jié)與已有的相關(guān)概念建立聯(lián)系

任何一個數(shù)學概念都不是孤立的，把新獲得的概念與已有的相關(guān)概念相互聯(lián)系，從而形成一個概念的網(wǎng)絡，即數(shù)學聯(lián)結(jié)。通常情況下，數(shù)學聯(lián)結(jié)有以下三種基本形式。

1.新信息與已有理解之間的聯(lián)結(jié)。如教學“容積”的概念后，可以出示兩個體積一樣大（容積不同）的盒子，問它們的容積一樣大嗎？使學生關(guān)聯(lián)、對比容積和體積之間的聯(lián)系與區(qū)別，理解要計算長方體容器的容積要從里面量長、寬、高的必要性。

2.不同數(shù)學概念及其表征之間的聯(lián)結(jié)。在“圓的認識”中，注意讓學生把圓和三角形、正方形、長方形進行對比，說一說它們有什么相同的地方？有什么不同的地方？這樣做的目的是讓學生感受到：圓和三角形、正方形、長方形一樣，都是平面圖形，但圓是由一條曲線圍成的封閉圖形，而其他圖形則是由幾條線段圍成的。這就把不同的數(shù)學概念進行了聯(lián)結(jié)。在學習了質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩個概念后，學生往往把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和偶數(shù)的概念混淆起來。教師應該引導學生思考：是不是所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？是不是所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)？是不是所有的偶數(shù)都是合數(shù)？是不是所有的合數(shù)都是偶數(shù)？將不同數(shù)學概念及其表征進行聯(lián)結(jié)，進一步明確奇數(shù)和偶數(shù)，質(zhì)數(shù)和合數(shù)是按照不同的標準對自然數(shù)進行分類的結(jié)果。

3.數(shù)學概念與日常生活中的相關(guān)現(xiàn)象之間的聯(lián)結(jié)。學習了“圓的認識”后，讓學生解釋：車輪為什么是圓的？車軸應裝在什么位置？如果體育老師要在操場上畫一個大大的圓，該怎么辦？學生將眼光投向生活，將新概念與生活緊密聯(lián)系起來，有利于感知新概念的實際意義。

概念的理解從心理層面講應該是這樣的：當我理解了，我就感到愉快，我就自信；我可以忘掉所有細節(jié)，而在需要的時候重新構(gòu)造；我覺得它已經(jīng)屬于我，我可以把它解釋給別人聽。

（作者單位：福建省廈門市湖明小學）