胡海靜，高 艾，朱圣英，崔平遠(yuǎn)

(1．北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081;2．深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081;3．飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081)

0 引言

小天體探測作為人類了解太陽系形成與演化、生命起源與進(jìn)化以及防御外來天體撞擊的重要途徑，是深空探測的重要內(nèi)容之一。對(duì)小天體的近距離探測始于20世紀(jì)90年代，伴隨著空間技術(shù)水平的快速提高，探測方式也由飛越探測向繞飛、著陸和采樣返回發(fā)展。小天體著陸探測任務(wù)的開展有助于對(duì)目標(biāo)星進(jìn)行實(shí)地、長期考察，獲得更多精確可靠的數(shù)據(jù);同時(shí)，小天體著陸技術(shù)是小天體采樣返回任務(wù)成功實(shí)施的基礎(chǔ)，有助于將小天體的土壤和巖石帶回地球進(jìn)行深入研究［1－2］。

目前，人類已成功實(shí)施兩次小天體著陸探測任務(wù)。2001年，美國宇航局(NASA)的近地小行星交會(huì)任務(wù)(Near Earth Asteroid Rendezvous，NEAR)成功在Eros433著陸［3］。2005年，日本宇航局(JAXA)的隼鳥號(hào)成功在Itokawa小天體著陸，并首次實(shí)現(xiàn)從小天體采樣并返回地球［4］。另外，2014年，羅塞塔任務(wù)實(shí)現(xiàn)在彗星67P/Churyumov-Gerasimenko表面著陸。然而，由于錨定系統(tǒng)故障，著陸器Philae號(hào)與小天體表面碰撞，由于小天體引力非常弱，Philae號(hào)碰撞后發(fā)生彈跳，并最終穩(wěn)定在陰影區(qū)，導(dǎo)致其太陽能電池板無法充電，從而處于休眠狀態(tài)。其著陸與彈跳過程如圖1所示，該過程顯示，僅僅1 m/s的速度誤差導(dǎo)致Philae號(hào)碰撞后兩個(gè)小時(shí)處于彈跳狀態(tài)，并引發(fā)無法正常啟動(dòng)的嚴(yán)重后果，表明小天體著陸精度，尤其是著陸速度誤差對(duì)任務(wù)設(shè)計(jì)非常關(guān)鍵，需要盡可能提高小天體著陸精度。

圖1 Philae號(hào)附著過程示意圖Fig．1 Illustration of the landing process of Philae

然而，著陸小天體動(dòng)力學(xué)存在的參數(shù)不確定性(小天體自旋角速度及推力大小和方向偏差等)和探測器的初始狀態(tài)偏差對(duì)著陸誤差有不可忽視的影響。另外，小天體形狀不規(guī)則導(dǎo)致小天體附近的引力場也非常不規(guī)則，導(dǎo)致探測器運(yùn)動(dòng)規(guī)律較為復(fù)雜。以上兩方面因素導(dǎo)致在小天體表面成功實(shí)現(xiàn)精確著陸非常困難。Broschart等學(xué)者針對(duì)小天體著陸開環(huán)控制策略進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，在能對(duì)小天體進(jìn)行精確建模以及對(duì)探測器狀態(tài)進(jìn)行精確估計(jì)的基礎(chǔ)上，開環(huán)控制策略能夠用于小天體著陸任務(wù)［5－6］。然而，在任務(wù)設(shè)計(jì)階段往往無法完全確知目標(biāo)天體參數(shù)及初始狀態(tài)存在的偏差，實(shí)施小天體著陸開環(huán)控制策略會(huì)引起較大的著陸誤差，存在較大任務(wù)風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)無法獲得精確動(dòng)力學(xué)模型問題，文獻(xiàn)［7］給出一種利用Gauss-Markov過程的小天體著陸導(dǎo)航與制導(dǎo)算法，該方法采用一階Gauss-Markov過程近似著陸探測器軌道動(dòng)力學(xué)中的無模型加速度，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波估計(jì)探測器的位置、速度及無模型加速度。另外，文獻(xiàn)［8］提出一種光學(xué)導(dǎo)航方案，利用光學(xué)相機(jī)實(shí)現(xiàn)特征點(diǎn)的提取和跟蹤，并采用激光測距儀實(shí)現(xiàn)矢量測量，達(dá)到提高探測器狀態(tài)估計(jì)精度的目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)者通過設(shè)計(jì)反饋制導(dǎo)律能夠降低跟蹤誤差［9－11］。然而，該過程忽略了著陸軌跡對(duì)跟蹤效果的影響，跟蹤不同著陸軌跡對(duì)著陸誤差有一定影響。研究表明，燃料最優(yōu)著陸軌跡的推力呈現(xiàn)bang-bang形式［12－14］。在存在參數(shù)不確定性和初始狀態(tài)偏差的情況下，跟蹤bang-bang推力形式的最優(yōu)著陸軌跡極易引起控制系統(tǒng)的飽和，從而影響著陸精度的提高。

針對(duì)參數(shù)不確定性和初始狀態(tài)偏差的影響，學(xué)者對(duì)航天器軌跡不確定性的非線性遞推方法進(jìn)行了研究［15－16］，該方法有助于分析參數(shù)不確定性隨非線性動(dòng)力學(xué)的變化過程，但因計(jì)算量大而難以在著陸軌跡優(yōu)化中直接應(yīng)用。文獻(xiàn)［17］針對(duì)星際轉(zhuǎn)移任務(wù)中初始狀態(tài)偏差的影響，在軌跡優(yōu)化的過程中遞推了動(dòng)力學(xué)模型的開環(huán)線性協(xié)方差，并作為優(yōu)化問題的性能指標(biāo)求解了最優(yōu)軌跡，能夠降低初始狀態(tài)偏差的影響。文獻(xiàn)［18－19］分別從最優(yōu)控制、軌跡優(yōu)化角度推導(dǎo)研究了如何降低參數(shù)的敏感度。

本文以小天體著陸任務(wù)為背景，首先，建立了小天體著陸動(dòng)力學(xué)模型，并分析了燃料最優(yōu)著陸問題。為了更好跟蹤著陸軌跡，首先采用線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator，LQR)技術(shù)設(shè)計(jì)了反饋制導(dǎo)律，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了對(duì)不確定參數(shù)和初始狀態(tài)的閉環(huán)敏感度矩陣方程。該敏感度矩陣方程反映了閉環(huán)情況下動(dòng)力學(xué)模型對(duì)參數(shù)和初始狀態(tài)的敏感程度。最后，構(gòu)造了包含燃料消耗和敏感度的性能指標(biāo)，并采用高斯偽譜法進(jìn)行了求解。該方法綜合考慮了小天體著陸的燃料消耗和動(dòng)力學(xué)模型對(duì)參數(shù)和狀態(tài)不確定性的敏感度，因而獲得的最優(yōu)軌跡既能節(jié)省燃料，又能對(duì)參數(shù)和狀態(tài)偏差不敏感。

1 小天體著陸動(dòng)力學(xué)與最優(yōu)問題描述

1．1坐標(biāo)系定義與著陸動(dòng)力學(xué)

定義小天體固連坐標(biāo)系Σa:坐標(biāo)原點(diǎn)oa位于小天體的質(zhì)心，za軸沿小天體自旋軸方向，xa軸沿小天體最小慣量軸方向，ya軸滿足右手系法則，如圖2所示。

圖2 小天體固連坐標(biāo)系示意圖Fig．2 Sketch map of the body-fixed coordinate frame

在小天體固連坐標(biāo)系下，探測器著陸動(dòng)力學(xué)方程可以表達(dá)為:

式中:x，y，z分別為探測器的三軸位置，m為探測器質(zhì)量，ω為小天體的自旋角速度。Tx，Ty，Tz分別為三軸方向的控制力，其中，Tx=T cosφTcosθT，Tx=T cosφTsinθT，Tz=T sinφT，T為推力大小(Tmin≤T≤Tmax)，Tmin、Tmax分別為發(fā)動(dòng)機(jī)最小和最大推力，φT和θT為推力方向角。Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖，g0為地球海平面引力加速度。Vx，Vy和Vz分別為小天體引力勢函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，V為小天體的引力勢函數(shù)，其四階球諧函數(shù)表達(dá)式為如下形式:

式中:μA=GM為小天體引力常數(shù)，a為小天體名義半徑，θ，φ，r分別為探測器所處經(jīng)度、緯度和半徑。C20，C22，C40，C42和C44分別為引力勢函數(shù)的系數(shù)。

為了便于表達(dá)，可以將上述動(dòng)力學(xué)方程寫成如下簡化形式:

式中:X=［x y z˙x˙y˙z］T，T=［TxTyTz］T。

1．2小天體著陸優(yōu)化問題描述

小天體軟著陸是探測器從初始探測軌道上某處，經(jīng)一段時(shí)間減速以速度接近零到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)成功著陸。小天體著陸軌跡優(yōu)化是在滿足動(dòng)力學(xué)約束、初始狀態(tài)約束、末端狀態(tài)約束以及路徑約束前提下，對(duì)探測器的控制力進(jìn)行優(yōu)化以滿足某項(xiàng)性能指標(biāo)。其中，燃料消耗與探測任務(wù)成本直接相關(guān)，降低燃料消耗對(duì)對(duì)星際著陸任務(wù)有重要意義。

探測器的動(dòng)力學(xué)約束即為式(1)。假設(shè)初始狀態(tài)為初始軌道的某一點(diǎn)，約束可表達(dá)為:

探測器終端約束為探測器終端狀態(tài)約束和終端質(zhì)量約束。其中，終端狀態(tài)約束為探測器以接近為零的速度著陸到目標(biāo)著陸點(diǎn);終端質(zhì)量約束為探測器的最終質(zhì)量要超過其干重。

式中:tf為到達(dá)目標(biāo)附著點(diǎn)的時(shí)刻，mdry為探測器干重，即全部燃料耗盡后的質(zhì)量。

在探測器附著到小天體表面的過程中，探測器應(yīng)避免與其發(fā)生碰撞，其路徑通過定義如圖3所示滑翔面約束能夠避免與小天體發(fā)生碰撞。

在滿足以上約束基礎(chǔ)上，對(duì)如下性能指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解能夠獲得燃料最優(yōu)著陸軌跡:

從小天體著陸動(dòng)力學(xué)方程可以看出，探測器t時(shí)刻的狀態(tài)變量X(t)與其初始狀態(tài)、發(fā)動(dòng)機(jī)推力加速度、小天體自轉(zhuǎn)角速度有關(guān)，即

圖3 小天體著陸路徑約束Fig．3 Path constraint for landing on small bodies

式中:X0為探測器初始狀態(tài)。然而在任務(wù)設(shè)計(jì)階段無法完全獲知小天體的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，另外，探測器實(shí)施著陸任務(wù)時(shí)的初始狀態(tài)及推力器的大小和方向均存在一定程度的偏差。如果忽略這些參數(shù)不確定性會(huì)對(duì)著陸誤差產(chǎn)生一定影響，其影響的大小取決于著陸軌跡對(duì)參數(shù)的敏感度及參數(shù)誤差的大小。為了提高著陸精度，需要在優(yōu)化過程中通過設(shè)計(jì)閉環(huán)制導(dǎo)律抑制誤差的影響。

2 小天體著陸閉環(huán)優(yōu)化方法

采用標(biāo)稱模型能夠較為方便的求解燃料最優(yōu)軌跡，然而，動(dòng)力學(xué)的參數(shù)不確定性及探測器初始狀態(tài)的偏差對(duì)著陸誤差有一定影響。對(duì)此，本節(jié)提出了一種考慮跟蹤制導(dǎo)的小天體著陸閉環(huán)優(yōu)化方法。首先，在設(shè)計(jì)的反饋制導(dǎo)律基礎(chǔ)上推導(dǎo)了閉環(huán)敏感度矩陣方程，并能根據(jù)該方程求解末端狀態(tài)對(duì)不確定參數(shù)的敏感度，反映了存在反饋制導(dǎo)律的情況下動(dòng)力學(xué)對(duì)參數(shù)和初始狀態(tài)偏差的敏感程度。通過在構(gòu)造性能指標(biāo)時(shí)加權(quán)考慮燃料消耗與敏感度，有望實(shí)現(xiàn)在節(jié)省燃料的同時(shí)對(duì)參數(shù)和狀態(tài)偏差不敏感。

2．1反饋制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了在優(yōu)化過程中求解閉環(huán)的敏感度矩陣，首先需要設(shè)計(jì)跟蹤制導(dǎo)律。由于優(yōu)化過程需要大量調(diào)用敏感度矩陣及制導(dǎo)律的求解函數(shù)，為了提高效率，此處采用LQR技術(shù)設(shè)計(jì)了反饋增益。

對(duì)于LQR制導(dǎo)策略，性能指標(biāo)取如下形式:

式中:δX=X－XN，δT=T－TN，下標(biāo)N表示軌跡優(yōu)化過程生成的標(biāo)稱量。Q和R分別為正定的權(quán)重矩陣，根據(jù)Bryson原則可以取如下形式:

式中:δx1max，…，δxnmax和 δT1max，…，δTnmax分別為n維狀態(tài)和m維控制量的最大期望偏差。

沿標(biāo)稱軌跡，可以將小天體著陸動(dòng)力學(xué)做線性化處理:

式中:A和B分別為動(dòng)力學(xué)的雅克比矩陣。

通過設(shè)計(jì)反饋制導(dǎo)律δT=－KδX可以使性能指標(biāo)JLQR最小，其中，反饋控制矩陣K為:

式中P可通過求解代數(shù)黎卡提方程獲得:

通過上述推導(dǎo)，反饋控制增益則可通過高效求解線性優(yōu)化問題獲得。

2．2燃料/敏感度加權(quán)性能指標(biāo)

在小天體著陸過程中，探測器的初始狀態(tài)、小天體的自旋角速度和推力的大小和方向的不確定性對(duì)著陸誤差有重要影響，因而，在優(yōu)化過程中需要能夠降低動(dòng)力學(xué)對(duì)這些參數(shù)的敏感度。

假設(shè)推力大小和方向的誤差為正態(tài)分布，則可根據(jù)隨機(jī)變量的性質(zhì)將推力大小和方向的誤差轉(zhuǎn)化到三個(gè)軸方向:

因而，小天體著陸動(dòng)力學(xué)對(duì)推力偏差的敏感度向量可以表示為如下形式:

式(14)中:K為設(shè)計(jì)的反饋控制增益矩陣，η為調(diào)節(jié)系數(shù)，為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過程中生成的推力避免處于最大和最小值。令T為推力向量T的大小，則η可定義為如下形式:

小天體著陸動(dòng)力學(xué)對(duì)自旋角速度的敏感度向量如下所示:

為了在優(yōu)化過程中降低對(duì)參數(shù)的敏感度，需要建立含有敏感度的性能指標(biāo)。本文選取如下形式的性能指標(biāo):

式中:c0≥0為調(diào)節(jié)敏感度和燃料的加權(quán)系數(shù)。至此，以J為性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，能在節(jié)省燃料的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)不確定性不敏感。

3 仿真結(jié)果及分析

通過高斯偽譜法可以將上述軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，并采用SNOPT算法求解。仿真條件以Eros433小行星為目標(biāo)著陸天體，其名義半徑為16 km，引力常數(shù)為4．4621×105m3/s2，密度為2．67 g/cm3，標(biāo)稱自旋角速度為3．31 rad/s。選取探測器質(zhì)量為300 kg，推力發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力為

式中:n為敏感度矩陣的維數(shù)，σi，j為矩陣的第(i，j)個(gè)元素。ci，i=1，…，6為權(quán)重系數(shù)，用于平衡位置和速度的權(quán)重。

通過構(gòu)建性能指標(biāo)J1，則可將原燃料最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化基于燃料/敏感度加權(quán)的閉環(huán)優(yōu)化問題:20 N，比沖為300 s。探測器的初始和末端條件分別如表1所示。給定條件下，采用高斯偽譜法求得小天體著陸的燃料最優(yōu)軌跡如圖4所示，可以看出著陸軌跡能夠滿足初始和末端狀態(tài)以及路徑約束，其三軸速度變化過程如圖5所示，在無參數(shù)攝動(dòng)情況下，著陸器能夠平穩(wěn)著陸到小天體表面，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。在著陸過程中，著陸器三軸推力及其合理大小如圖6所示。從中可以看出，燃料最優(yōu)著陸軌跡的合力大小為bang－bang形式。由于推力長時(shí)間處于最大邊界，在存在參數(shù)不確定性及初始狀態(tài)偏差的情況下，控制系統(tǒng)極易飽和，難以達(dá)到抑制偏差的目的。

表1 邊界條件Table 1 Boundary conditions

圖4 燃料最優(yōu)著陸軌跡Fig．4 Fuel optimal landing trajectory

圖5 最優(yōu)著陸軌跡的三軸速度Fig．5 Velocities of optimal trajectory in three axes direction

小天體著陸軌跡受參數(shù)不確定性及初始狀態(tài)偏差的影響在文獻(xiàn)［5］中進(jìn)行了研究，著陸誤差受探測器狀態(tài)確定精度及推力器模型誤差影響較大。因而，在無法確切獲知目標(biāo)天體參數(shù)及探測器狀態(tài)信息的情況下，執(zhí)行開環(huán)著陸會(huì)引起非常大的著陸誤差，可能導(dǎo)致著陸任務(wù)的失敗。

圖6 三軸推力及合力大小Fig．6 Thrust in three axes and its net thrust

引入閉環(huán)敏感度性能指標(biāo)J1，則通過優(yōu)化推力大小和方向能夠降低燃料消耗和敏感度，獲得的推力曲線如圖7所示，通過調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù)c0能夠調(diào)節(jié)敏感度性能指標(biāo)J1的比重。當(dāng)c0逐漸增大時(shí)，推力曲線逐漸接近遠(yuǎn)離最大最小邊界，從而留有一定的控制余量用于抑制參數(shù)不確定性和初始狀態(tài)偏差的影響，能夠有效避免控制系統(tǒng)飽和，達(dá)到提高著陸精度的目標(biāo)。在實(shí)際著陸任務(wù)中，需根據(jù)目標(biāo)天體參數(shù)不確定性和初始狀態(tài)偏差范圍合理選取c0，達(dá)到既能節(jié)省燃料又能實(shí)現(xiàn)提高著陸精度的目標(biāo)。

表2 狀態(tài)和參數(shù)不確定性范圍Table 2 Dispersions in states and parameters

為了校驗(yàn)基于燃料/敏感度加權(quán)的閉環(huán)優(yōu)化方法對(duì)參數(shù)不確定性和初始狀態(tài)偏差的抑制效果，另外進(jìn)行了一組2000次Monte Carlo仿真。其中，小天體著陸動(dòng)力學(xué)存在的參數(shù)不確定性及探測器初始狀態(tài)偏差范圍如表2所示。

在給定參數(shù)范圍下，最終著陸位置和速度誤差分別如圖8和圖9所示。其中，圖8為著陸位置誤差結(jié)果，其3σ 誤差橢圓為0．21 m×0．68 m，能夠滿足小天體精確著陸的位置精度要求。另外，小天體引力非常小，較大的速度與小天體表面碰撞可能使得達(dá)到小天體的逃逸速度，因而小天體著陸任務(wù)對(duì)著陸速度誤差有非常高的要求。圖9所示的著陸速度顯示最終的著陸速度均小于0．1 m/s，能夠滿足在小天體表面著陸的速度要求。

圖7 著陸軌跡的推力大小Fig．7 Thrust magnitude of optimal trajectory

圖8 著陸位置誤差及誤差橢圓Fig．8 Position error and its error ellipse

圖9 三軸著陸速度誤差Fig．9 Velocity error in three axes

4 結(jié)束語

本文針對(duì)小天體著陸動(dòng)力學(xué)存在的參數(shù)不確定性及探測器初始狀態(tài)的偏差對(duì)著陸誤差的影響，提出了一種考慮跟蹤制導(dǎo)的小天體著陸閉環(huán)優(yōu)化方法。該方法綜合考慮了小天體著陸的燃料消耗和動(dòng)力學(xué)模型對(duì)參數(shù)和狀態(tài)不確定性的敏感度，能夠?qū)崿F(xiàn)著陸過程既節(jié)省燃料，又降低參數(shù)和狀態(tài)不確定性的敏感度。仿真結(jié)果顯示，在給定參數(shù)不確定性和初始狀態(tài)偏差條件下，跟蹤著陸軌跡的3σ位置誤差橢圓為0．21 m×0．68 m，速度誤差均小于0．1 m/s，能夠滿足小天體精確著陸的任務(wù)要求。

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