陳 默，陳 昊，奚學程，趙萬生

（上海交通大學機械與動力工程學院，上海200240）

隨著航空航天工業(yè)的不斷發(fā)展，對含有復雜形狀型腔的零件（如航空航天發(fā)動機中的閉式整體葉盤類零件）加工的需求日益旺盛，其加工通常需要工具電極相對于工件沿著復雜軌跡運動。近年來，在切削加工領域中，參數曲線以其數據量小、平順性高的優(yōu)點，越來越多地被用于復雜軌跡的描述，許多學者針對參數曲線的插補方法做了研究[1-4]，主流商用數控系統(tǒng)廠商（如Siemens、FANUC）也紛紛推出了具有參數曲線插補功能的數控系統(tǒng)[5-7]。這些插補方法大多屬于針對切削加工而改進的數據采樣法，根據曲線局部特性和機械系統(tǒng)限制來對曲線進行粗插補，生成一系列直線段并規(guī)劃盡可能高的運動速度，由此會造成粗插補采樣間距較大，導致粗插補與精插補的總誤差比脈沖增量法大[8]。

與切削加工不同，電火花加工是一種慢速、且進給速度難以事先規(guī)劃的運動。因此，脈沖增量法比數據采樣法更適合電火花加工軌跡插補[9-10]。但脈沖增量法可插補的曲線類型十分有限，現有電火花成形加工機床數控系統(tǒng)的運動軌跡插補指令大多仍采用直線或圓弧指令來給出，而對于參數曲線描述的復雜運動軌跡的插補法的研究和應用還不多。李志勇[11]提出了用于多軸聯動電火花加工的Huffman樹插補器和DDA插補器；黃海鵬[10]和劉麗麗[12]將運動軸進行兩兩逐層組合，再借助平面曲線插補法二軸聯動的思想實現多軸聯動插補，并提出了可逆插補算法以實現反向插補。但上述方法僅能實施直線和圓弧的插補，對于一般參數曲線的插補還難以勝任。此外，研究人員還提出了針對電火花銑削加工的參數曲線插補器[13-15]，豐富了電火花加工運動可插補軌跡的種類，但還不能直接用于多軸聯動電火花成形加工所需直線軸與旋轉軸的同步插補。

為解決曲線同步插補的問題，本研究團隊基于脈沖增量法中的數字積分法的思想，提出了單位弧長增量法，并將其運用于線切割上下異形面的加工軌跡插補中[16]。本文在此基礎上，進一步將單位弧長增量法推廣到六軸聯動電火花成形加工中，提出了廣義單位弧長增量法，實現了復雜參數曲線的正反雙向插補及直線軸與旋轉軸的聯動插補，并通過仿真和加工實驗進行了驗證。

1 多軸聯動參數曲線軌跡插補原理

1.1 參數曲線的正反雙向插補法

在傳統(tǒng)的電火花加工機床數控系統(tǒng)中，加工軌跡多以直線和圓弧來描述。脈沖增量插補法具有對直線和圓弧進行直接精插補的能力，且精度比一般的數據采樣法高。脈沖增量插補法中較常用的有逐點比較法、最小偏差法和數字積分法。分析這些方法對直線和圓弧的插補原理可知，逐點比較法和最小偏差法的思想是計算插補點與理想曲線之間的位置偏差，根據位置偏差的符號或大小來選取下一步的插補點，是偏向于輪廓誤差控制的插補法；數字積分法的本質是計算理想曲線某點的一定長度的切線段在各坐標軸上的投影長度，通過判斷各軸長度累計的狀況來決定軸是否進給，是一種偏向于插補進度控制的插補法。

電火花加工是一種需不斷調整工具電極與工件之間間隙的、有進有退的運動過程，而進給方向上的間隙與運動軌跡的插補進度直接相關。因此，基于插補進度控制的數字積分插補法與其他脈沖增量法相比，更便于實現進給方向上的間隙調整。然而，運用數字積分法雖然解決了進度控制的問題，但還要考慮如何限制輪廓誤差。對于直線插補，數字積分法可將輪廓誤差限制在1個脈沖當量（Basic Length Unit，BLU）以內；對于圓弧插補，數字積分法采用1 BLU長度的切線代替1 BLU長度的弧線來遞推下一插補點的坐標，從微積分的角度來看，相當于將各軸插補點坐標的遞推式以泰勒公式展開至一階：

式中：s為弧長參數；（X(s)，Y(s)）T為參數 s處的插補點坐標。

需要反向插補時，只需將一階導數項前的正號變?yōu)樨撎柤纯?。然而，一階泰勒展開式的截斷誤差較大，在插補一段距離后，坐標計算誤差逐漸累積，插補點會逐漸且明顯地偏離理想圓?。▓D1a）。為解決該問題，單位弧長增量法將各軸插補點坐標的遞推式以泰勒公式展開至二階甚至更高階（以X軸為例）：

通常只要取展開階數m=2，就能明顯降低泰勒展開式的截斷誤差，從而提高圓弧插補的輪廓精度（圖1b）。對于直線和圓弧的插補，單位弧長增量法和其他脈沖增量法一樣，能避免浮點數運算[16]。

圓弧是非常特殊的參數曲線，擁有良好的幾何性質，使坐標遞推泰勒展開式的截斷誤差與坐標增量相比很小，因此，依靠提高泰勒展開的階數就能很好地降低輪廓誤差。然而，對于復雜形狀零件的加工軌跡（如多軸聯動電火花成形加工的軌跡），當采用參數曲線代替小直線段來描述軌跡時，往往選用靈活性較大的B樣條曲線或NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）[17]。 但使用 NURBS 存在的問題是：由于復雜軌跡參數曲線的切矢量和曲率變化多樣，故無法確定坐標遞推泰勒展開式的截斷誤差大小。由于每步使用坐標遞推泰勒展開式都會引入新的截斷誤差，該誤差將隨著插補的進行而一直累計下去，使推算的坐標值偏差越來越大，輪廓誤差難以控制。

圖1 泰勒展開階數對插補誤差累積的影響

要限制坐標值誤差的累積，就要從遞推方法上做出改變。設三維空間中的一條參數曲線的表達式為 P(u)=（X(u)，Y(u)，Z(u)）T。 對于一般的非圓參數曲線，不再采用類似于數字積分法插補圓弧時的“坐標遞推”方式，而改為采用數據采樣法粗插補階段的“參數遞推”方式。也就是說，不是由坐標泰勒展開式

去遞推下一插補點坐標（圖2a），而是先遞推出曲線P(u)在下一插補點的參數值 u｜s=s0+Δs后，再將 u｜s=s0+Δs代入 P(u)表達式中，求出 P(u｜s0+Δs)（圖 2b）。 與坐標遞推類似，參數遞推也是一種近似計算，常見的方法有泰勒展開法、龍格-庫塔法、預估-校正法等[18]。采用二階泰勒展開法進行參數遞推時，有：

圖2 兩種遞推方式的區(qū)別

把對坐標的近似計算改為對參數的近似計算后，插補誤差的來源便從坐標遞推式轉移到了參數遞推式中，這樣能保證每步遞推所得的坐標值均落在曲線P(u)上，使插補點處的輪廓誤差≤1 BLU。然而，數據采樣法粗插補的缺陷在于其弧長增量值Δs是不確定的，有時遠大于1 BLU，導致在相鄰采樣點之間的弦線上運動時，仍有可能與理想曲線P(u)偏離較大，即引起較大的弓高誤差。為解決這一問題，單位弧長增量法取定每步沿曲線進給方向的弧長增量Δs=1 BLU，這時只要參數遞推足夠精確，就能保證每步進給的曲線段在每個軸上的投影都≤1 BLU，達到和脈沖增量法類似的精插補效果，使每個生成的插補點都能經四舍五入圓整為以BLU為單位的整數后直接作為精插補結果、直接生成進給脈沖（圖 3）。

將式（2）代入 P(u)，并取 Δs=1 BLU，可得曲線弧長參數s=s0處正向遞推s=s0+1處的插補點的公式：

對于反向插補，Δs=-1 BLU，即由曲線弧長參數s=s0處反向遞推s=s0-1處的插補點的情形，只需將式（3）右側泰勒展開式中的一階項符號變?yōu)樨撎枺?/p>

由此可見，單位弧長增量法能靈活實現沿參數曲線軌跡的正反雙向插補，有利于實現電火花成形加工中的短路回退、抬刀、暫停/退刀等需沿原路徑精確回退的特殊功能。

圖3 單位弧長增量法的直接精插補

1.2 直線軸與旋轉軸同步運動的實現

多軸聯動電火花成形加工包含直線軸和旋轉軸的同步運動，但直線軸通常使用長度單位mm，旋轉軸通常使用角度單位 °。因此，要實現同步，首先需實現單位的統(tǒng)一，方法是將插補指令的各軸坐標分別乘以各自的分辨率，化為以BLU為單位的坐標值。以A軸為例，設其分辨率為1000 counts/°，則有1 count=1 BLU=0.001°；此時，若A軸的當前坐標值為5.5°，則A軸的當前坐標值可表示為5.5×1000=5500(BLU)。在下文中，各軸坐標值和各個弧長值均以BLU為單位。

多軸聯動運動軌跡可采用不同的方式進行描述，依加工需求、數控系統(tǒng)解釋器規(guī)定和CAM系統(tǒng)對軌跡的表示形式而定。在傳統(tǒng)的多軸聯動加工機床數控系統(tǒng)中，一般只處理G01直線指令，也就是各軸運動之間互為線性關系的情況（以六軸為例）：

式中：(Xs,Ys,Zs,As,Bs,Cs)T=F(us)和(Xe,Ye,Ze,Ae,Be,Ce)T=F(ue)分別為G01指令的起點坐標和終點坐標；us和ue分別為起點參數值和終點參數值。為了簡化描述，分別記 X=x1、Y=x2、Z=x3、A=x4、B=x5、C=x6， 則式（4）可簡單表達為：

在描述多軸聯動加工閉式整體葉盤的運動軌跡時，可將X、Y、Z 3個直線軸運動視為一個合成運動M1，其表達式不再限于直線描述形式，而允許以3次B樣條曲線描述，擁有一個弧長參數s1，即：

式中：u為曲線參數，由s1決定；Nk,3(u)為3次 B樣條曲線的基函數；)T為第k個控制點的坐標。

而 A、B、C 3 個旋轉軸運動 M4、M5和 M6仍以直線形式進行描述，分別擁有各自的弧長參數s4、s5和s6，即：

式（7）實際上就是式（5）的弧長參數表示形式。事實上，由于每個旋轉軸運動只包含一個旋轉軸，故每個旋轉軸運動從起點到終點的弧長(sie-sis)就是起點和終點坐標之差的絕對值。直線軸合成運動與3個旋轉軸運動（共4個運動）的4個弧長參數(s1,s4,s5,s6)代表了4個運動的插補進度，通過等比例的線性關系相對應（圖4a）：

式中：q相當于當前插補進度占總插補長度的百分比。例如：在曲線段起點處，q=0，4個運動的弧長參數(s1,s4,s5,s6)=(s1s,s4s,s5s,s6s)，即起點處的弧長參數值；在曲線段終點處，q=100%，(s1,s4,s5,s6)=(s1e,s4e,s5e,s6e)，即終點處的弧長參數值；插補到曲線段中點時，q=50%，4個弧長參數正好分別處于起點弧長參數和終點弧長參數的中間值：

以式（6）作為直線軸合成運動M1的表達式，以式（7）作為旋轉軸運動 M4、M5和 M6的表達式，以式（8）作為聯系4個運動的紐帶，這3個式子聯合描述了一段多軸聯動軌跡。

通過式（8）確立了分別屬于4個運動的6個軸的同步關系后，剩下的問題就是確定每步插補時各個運動的弧長參數的增量。如1.1節(jié)所述，為了實現對曲線的直接精插補，就需滿足“每步進給的曲線段在每個軸上的投影都≤1 BLU”的要求，單位弧長增量法取定每步插補的弧長增量值為Δs=1 BLU。而4個運動擁有4個弧長參數，每步插補時的每個弧長參數增量Δsi可能不一樣，因此，為滿足上述要求，就要使每步弧長參數增量最大的那個運動Mimax的Δsimax=1 BLU，其他3個運動的弧長參數增量自然就不會大于1 BLU（圖4b）。各個運動的弧長增量計算方法用數學語言描述，即：

圖4 直線軸與旋轉軸的同步

注意到這時直線軸合成運動M1的弧長增量Δs1未必等于1 BLU，因此，在每步插補中，按1.1節(jié)所述的方法，先用二階泰勒展開法計算直線軸合成運動曲線的參數：

再代入式（6）求出X、Y、Z軸的插補點坐標。

將上述插補原理進行總結，可得到如圖5所示的流程圖。由于使用單位弧長增量法進行多軸聯動插補時的弧長增量不是一般曲線意義下的弧長增量，而是將單位弧長增量法進行推廣到直線軸和旋轉軸聯動的情形下選取出來的弧長增量。因此，將本插補方法稱為“廣義單位弧長增量法”。

圖5 廣義單位弧長增量法插補一段多軸聯動參數曲線軌跡的流程圖

2 仿真與加工實驗驗證

2.1 閉式整體葉盤加工軌跡插補仿真

為了驗證廣義單位弧長增量法比傳統(tǒng)數據采樣法具有更高的精度和更少的存儲空間消耗量，分別采用兩種方法對閉式整體葉盤加工的一段參數曲線軌跡進行了插補仿真實驗。直線軸合成運動M1以3次B樣條曲線描述，其節(jié)點向量為：

{0.000 000 0，0.000 000 0，0.000 000 0，

0.000 000 0，0.015 289 8，0.041 548 9，

0.059 151 5，0.077 535 2，0.096 709 1，

0.116 667 6，0.137 415 7，0.144 276 6，

0.165 805 5，0.188 120 7，0.195 127 7，

0.218 193 9，0.242 769 3，0.249 331 0，

0.257 049 7，0.282 379 1，0.307 176 5，

0.331 428 5，0.335 833 0，0.358 138 5，

0.380 894 0，0.399 672 4，0.417 860 4，

0.434 732 8，0.451 001 4，0.459 105 1，

0.472 625 7，0.480 582 4，0.491 384 9，

0.501 215 9，0.510 697 6，0.521 109 8，

0.529 286 6，0.536 214 9，0.542 549 8，

0.548 316 7，0.553 534 2，0.557 568 2，

0.568 988 6，0.576 956 2，0.580 765 6，

0.584 556 7，0.587 897 7，0.591 361 6，

0.594 619 0，0.597 834 8，0.601 850 7，

0.610 777 0，0.618 991 7，0.627 191 3，

0.631 082 6，0.634 253 4，0.638 059 8，

0.641 822 7，0.646 040 3，0.650 222 1，

0.654 365 0，0.658 472 5，0.663 100 3，

0.674 476 1，0.679 812 0，0.691 842 3，

0.696 585 6，0.701 049 9，0.707 378 6，

0.714 357 5，0.720 639 7，0.728 265 7，

0.735 186 2，0.742 081 3，0.749 643 4，

0.757 189 0，0.764 030 8，0.771 537 1，

0.779 022 5，0.787 187 5，0.793 950 5，

0.802 076 8，0.809 484 2，0.817 568 9，

0.820 364 2，0.834 123 1，0.837 226 1，

0.844 516 4，0.847 262 0，0.855 880 8，

0.865 187 9，0.873 067 6，0.881 626 5，

0.890 165 5，0.898 683 0，0.907 174 2，

0.915 644 1，0.919 529 2，0.933 670 2，

0.937 526 2，0.940 857 5，0.950 570 3，

0.958 846 5，0.961 563 2，0.967 112 8，

0.974 059 1，0.977 404 2，0.980 371 1，

0.988 915 6，1.000 000 0，1.000 000 0，

1.000 000 0，1.000 000 0}

3個旋轉軸運動則以直線形式進行描述。為了簡化說明，取該多軸聯動軌跡中的一段進行仿真實驗比較，曲線數據見表1。

X、Y、Z、A、B 軸的分辨率均為 1000 BLU/°，C 軸的分辨率為2777.78 BLU/°。傳統(tǒng)的數據采樣法對直線軸合成運動M1執(zhí)行離線粗插補，設其采樣間隔弧長為10 BLU。廣義單位弧長增量法的4個運動的弧長增量 Δs1、Δs4、Δs5和 Δs6的計算過程如下：

（1）求該段曲線內4個運動的弧長

（2）由式（9）可知 imax=6°

（3）由式（10）可求得各運動的每步弧長增量

可見，C軸運動M6的弧長最長，故M6每步的弧長增量為1 BLU；其余3個運動的弧長增量都不大于1 BLU。

表1 仿真軌跡數據

兩種插補法對所給曲線段的插補結果見表2。其中，弓高誤差來自于直線軸合成運動的參數曲線插補，其定義和計算方法來自文獻[19]。傳統(tǒng)數據采樣法粗插補生成了36個采樣點，6個軸共需216個變量來存儲采樣點；廣義單位弧長增量法存儲數據個數為節(jié)點向量中的數據個數（113）、控制點數據個數（3×4=12）、弧長參數個數（2）和旋轉軸端點個數（6）之和。注意到以廣義單位弧長增量法插補所給曲線段實際上只需用到節(jié)點向量中的一部分節(jié)點值，因此，實際上要存儲的數據個數可小于133。由表2可見，與傳統(tǒng)數據采樣法相比，廣義單位弧長增量法以較小的存儲空間實現了更高的插補精度，使弓高誤差遠小于1 BLU，在插補誤差中只占極小的一部分，主要的插補誤差由機床各軸的BLU長度決定，因而插補精度能控制在與機床分辨率相近的范圍內。

表2 一段多軸聯動軌跡的插補仿真結果

2.2 閉式整體葉盤加工實驗

為驗證廣義單位弧長增量法的穩(wěn)定性和可靠性，在HE70型六軸聯動電火花加工機床的數控系統(tǒng)上實現了廣義單位弧長增量法，并進行了閉式整體葉盤加工試驗。圖6是加工樣件。加工過程穩(wěn)定，直線軸和旋轉軸均按所給指令執(zhí)行同步進給運動，所有需要反向插補的抬刀、短路回退和暫停/退刀功能在執(zhí)行過程中均能準確地沿原軌跡回退和前進，工具電極與工件之間無干涉現象出現，證明廣義單位弧長增量法適用于多軸聯動電火花成形加工的場合。

圖6 閉式整體葉盤加工樣件

3 結語

本文從電火花加工數控系統(tǒng)插補器中常用的脈沖增量法出發(fā)，將單位弧長增量法推廣到多軸聯動電火花加工的應用中，形成了具有直線軸運動與旋轉軸運動同步功能的廣義單位弧長增量法。其中，直線軸的合成運動允許以一般的參數曲線形式進行描述，每個旋轉軸運動分別以直線形式描述，各運動之間以弧長參數為紐帶，按弧長比例決定每個運動的插補進度，并取定弧長最長的運動的每步弧長增量為1 BLU，使插補誤差控制在與機床分辨率相近的范圍內。由于該方法屬于能直接生成各軸進給脈沖的精插補方法，因此，不論是采用伺服電機還是步進電機的機床均可應用。

對閉式整體葉盤加工軌跡的插補仿真表明，廣義單位弧長增量法與傳統(tǒng)的數據采樣法相比，具有較低的存儲空間消耗和較高的插補精度。通過閉式整體葉盤加工實驗驗證了廣義單位弧長增量法的穩(wěn)定性和可靠性。

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