侯文濤, 王 輝, 胡志興, 廖福成

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 北京 100083)

具有治療和疫苗接種的SVIR模型的穩(wěn)定性分析

侯文濤, 王 輝, 胡志興, 廖福成

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 北京 100083)

研究了一類具有分段治療和疫苗接種的SVIR傳染病模型.首先討論了系統(tǒng)在不同情況下各個平衡點(diǎn)的存在條件；然后研究了系統(tǒng)各個平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性,并說明了系統(tǒng)會出現(xiàn)后向分支的充分條件；最后對所得結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬.

治療; 接種; 平衡點(diǎn); 穩(wěn)定性

0 引言

近年來,關(guān)于預(yù)防和控制傳染病的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)被廣泛研究.文獻(xiàn)[1]研究了一個包含疫苗接種和多個平衡點(diǎn)的SIS傳染病模型,文獻(xiàn)[2]研究了一類包含疫苗接種的SVIR傳染病模型,文獻(xiàn)[3]研究了一類帶有分段治療函數(shù)的SIR模型，文獻(xiàn)[4]研究了一類具有疫苗接種和治療的SIVS傳染病模型. 基于此,本文根據(jù)文獻(xiàn)[5]建立的數(shù)學(xué)模型,添加治療函數(shù),并將治愈后的個體變?yōu)榛謴?fù)者,建立了一個具有治療函數(shù)和疫苗接種的SVIR模型,并研究了模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性.

1 模型的建立

下面研究一類具有治療函數(shù)和疫苗接種的SVIR模型：

(1)

(2)

容易驗(yàn)證Ω是系統(tǒng)(1)的正向不變集.

當(dāng)0≤I≤I0時,系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(3)

當(dāng)I>I0時,系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(4)

為了方便計(jì)算,記

2 平衡點(diǎn)的存在性

2.1 無病平衡點(diǎn)

(5)

2.2 染病平衡點(diǎn)

當(dāng)I>I0時,令系統(tǒng)(4)右端為0，經(jīng)計(jì)算可以得到

(6)

和關(guān)于I的方程式β(μ+γ)I2+BI+μk(1+ψκ0)=0，其中：B=μ(μ+γ)(1+ψκ0)+βk-Aβ.若B≥0,方程顯然沒有正根.因此假設(shè)B<0,可得

(7)

要使方程有正根還必須滿足Δ≥0，其中：Δ=B2-4μkβ(μ+γ)(1+ψκ0)，可得

(8)

定理1E*是系統(tǒng)(2)的一個正平衡點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)1

定理2 如果 R0(ψ)

① 如果p1

② 如果p1

③ 如果p1≥p2,那么平衡點(diǎn)E1不存在.當(dāng) R0(ψ)>p2時,平衡點(diǎn)E2存在；當(dāng) R0(ψ)≤p2時，平衡點(diǎn)E2不存在.

推論1 如果p1

證明 由定理2①知，當(dāng)p1

3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

根據(jù)文獻(xiàn)[6-7]可知：

當(dāng)0≤I≤I0時,系統(tǒng)(1)化為

(9)

當(dāng)I>I0時,系統(tǒng)(1)化為

(10)

3.1 無病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

定理3 如果 R0(ψ)<1,那么無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)(9)在無病平衡點(diǎn)(S0,0)處的特征方程為

(11)

3.2 染病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

定理4 如果 R0(ψ)>1,那么正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)(9)在正平衡點(diǎn)(S*,I*)處的特征方程為

(12)

(13)

顯然可證，當(dāng) R0(ψ)>1時，(13)只可能有負(fù)實(shí)部的根，從而定理4得證.

證明 系統(tǒng)(10)在正平衡點(diǎn)Ei(i=1,2)處的特征方程為

(14)

(15)

4 數(shù)值模擬

例1 取A=235,β=0.004,μ=0.01,ψ=0.15,ε=1.2,γ=0.1,α=0.03,I0=400， R0(ψ)=15.106 5,p0=34.159 0,p1=36.596 6,p2=34.684 2.此時滿足定理1①的條件,E*=(327.500 0,167.514 3)，E*唯一存在且是局部漸近穩(wěn)定的(圖1).

例2 取A=120,β=0.005,μ=0.1,ψ=0.4,ε=2,γ=0.05,α=0.15,I0=100， R0(ψ)=2.683 4,p0=2.565 2,p1=2.127 0,p2=2.923 1.此時滿足定理2①的條件，E1=(298.746 7,148.839 0),E2=(115.868 7,465.827 6)，平衡點(diǎn)E1不穩(wěn)定,E2是局部漸近穩(wěn)定的.另外，還存在E*=(430.000 0,87.534 9)且是局部漸近穩(wěn)定的(圖2).

5 小結(jié)

[1] Li Jianquan, Ma Zhien, Zhou Yicang. Global analysis of SIS epidemic model with a simple vaccination and multiple endemic equilibria[J]. Acta Math Sci, 2006, 26(1):83-93.

[2] Liu Xianning, Takeuchi Y, Iwami S. SVIR epidemic models with vaccination strategies[J]. Theor Bio, 2008, 253 (1):1-11.

[3] Wang Wendi. Backward bifurcation of an epidemic model with treatment[J]. Math Biosci, 2006, 201(1/2):58-71.

[4] Li Xuezhi, Wang Jing, Ghosh M. Stability and bifurcation of an SIVS epidemic model with treatment and age of vaccination[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34 (2):437-450.

[5] Duan Xichao, Yuan Sanling, Li Xuezhi. Global stability of an SVIR model with age of vaccination[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 226:528-540.

[6] Iannelli M. Mathematical Theory of Age-structured Population Dynamics[M].Pisa:Giardini Editori, 1994:12-46.

[7] Miller R K. Nonlinear Volterra integral equations[J].J London Math Soc,1971,217(3):503-510.

(責(zé)任編輯：孔 薇)

Stability Analysis of an SVIR Model with Treatment and Vaccination

HOU Wentao, WANG Hui, HU Zhixing, LIAO Fucheng

(SchoolofMathematicsandPhysics,BeijingUniversityofScienceandTechnology,Beijing100083,China)

An SVIR epidemic model with staged treatment and vaccination was studied. Firstly, the existence conditions of the equilibrium points in different cases were discussed. Then, the local asymptotically stability of the equilibrium points was studied, and the sufficient conditions for the system to occur the backward bifurcation were illustrated. Finally, the results were obtained by numerical simulation.

treatment; vaccination; equilibrium point; stability

2015-06-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號61174209; 北京科技大學(xué)冶金工程研究院基礎(chǔ)研究項(xiàng)目，編號YJ2012-001.

侯文濤(1989—)，男，山西平遙人，碩士研究生，主要從事生物數(shù)學(xué)研究，E-mail:1282086420@qq.com.

侯文濤，王輝，胡志興，等.具有治療和疫苗接種的SVIR模型的穩(wěn)定性分析[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，47(4)：38-42.

O175

A

1671-6841(2015)04-0038-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.007