包小東

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；活動(dòng)；“去數(shù)學(xué)化”；數(shù)學(xué)本質(zhì)

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）24—0123—01

隨著課程改革不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)逐漸增多，逐漸出現(xiàn)了“去數(shù)學(xué)化”的現(xiàn)象，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：學(xué)生活動(dòng)開(kāi)放過(guò)度，動(dòng)手操作關(guān)注表象，合作交流流于形式，學(xué)生并未能從課堂活動(dòng)中探究到問(wèn)題本質(zhì)。下面，筆者舉例淺析如何在數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

1.阿諾卡塔游戲

在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，教師先讓學(xué)生玩“阿諾卡塔游戲”：現(xiàn)有中間帶孔的圓木片，這些圓木片以從大到小的順序穿在一根竹竿A上，現(xiàn)在的任務(wù)是將這堆圓木片穿到其他竹竿B或C上，但必須遵循以下規(guī)則：①圓木片只能一一搬動(dòng)；②大的圓木片只能放在小的圓木片下面；③搬動(dòng)的次數(shù)盡可能少?，F(xiàn)有4塊圓木片組成的阿諾卡塔，則至少移動(dòng)幾次能完成任務(wù)？

下面是關(guān)于該問(wèn)題“去數(shù)學(xué)化”的教學(xué)片斷：

當(dāng)教師提出該問(wèn)題時(shí)，學(xué)生馬上動(dòng)手嘗試操作，并反復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄操作次數(shù)，進(jìn)行交流匯總，最后得到答案。學(xué)生在反復(fù)動(dòng)手操作的過(guò)程中，只是熟悉操作流程和防止圓木片移動(dòng)次數(shù)記錄錯(cuò)誤，沒(méi)有細(xì)化操作步驟之間的關(guān)系。筆者認(rèn)為，此題是有關(guān)遞歸方法學(xué)習(xí)的一道好題，教學(xué)中要把握好以下兩個(gè)解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)環(huán)節(jié)。

（1） 將該問(wèn)題向遞歸方向遷移

阿諾卡塔游戲中，我們先從最簡(jiǎn)單的情況思考：1塊時(shí)需要移動(dòng)1次，2塊時(shí)需要移動(dòng)3次（如圖1所示），3塊時(shí)需要移動(dòng)7次（如圖2所示）。啟示學(xué)生，移動(dòng)3塊可以先轉(zhuǎn)化為移動(dòng)2塊（如圖3所示）：第一步：將兩塊木片從A移動(dòng)到B，需要3次；第二步：將剩下的最大的木片從A移到C，需要1次；第三步：再將兩塊木片從B移動(dòng)到C，需要3次；所以移動(dòng)3塊共需要7次。移動(dòng)4次的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化成移動(dòng)3塊（如圖4所示），

因此，4塊的時(shí)候需要用“3個(gè)圓盤(pán)重新摞在一起的次數(shù)”+1次+“3個(gè)圓盤(pán)重新摞在一起的次數(shù)”=15次。

（2） 對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示

該游戲中，若有n塊圓木片時(shí)，至少需要移動(dòng)多少次呢？

移動(dòng)塊圓木片的游戲（移動(dòng)次數(shù)記為A（n））可以轉(zhuǎn)化為先移動(dòng)上面n-1塊，記移動(dòng)次數(shù)為A（n-1）；接著移動(dòng)最下面1塊；最后將上面的n-1塊重復(fù)移動(dòng)到上面，移動(dòng)次數(shù)為A（n-1），所以n塊圓木片的阿諾卡塔游戲移動(dòng)次數(shù)為A（n）=2A（n-1）+1（n≥2）。由A（1）=1，利用遞推關(guān)系可求得A（n）=2n-1。

2.學(xué)習(xí)平均分組問(wèn)題時(shí)，提出如下題目，讓學(xué)生小組討論

題目：將6名同學(xué)平均分成兩組有多少種不同的分法？

下面是關(guān)于該問(wèn)題“去數(shù)學(xué)化”的教學(xué)片斷：

編輯：謝穎麗endprint

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；活動(dòng)；“去數(shù)學(xué)化”；數(shù)學(xué)本質(zhì)

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）24—0123—01

隨著課程改革不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)逐漸增多，逐漸出現(xiàn)了“去數(shù)學(xué)化”的現(xiàn)象，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：學(xué)生活動(dòng)開(kāi)放過(guò)度，動(dòng)手操作關(guān)注表象，合作交流流于形式，學(xué)生并未能從課堂活動(dòng)中探究到問(wèn)題本質(zhì)。下面，筆者舉例淺析如何在數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

1.阿諾卡塔游戲

在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，教師先讓學(xué)生玩“阿諾卡塔游戲”：現(xiàn)有中間帶孔的圓木片，這些圓木片以從大到小的順序穿在一根竹竿A上，現(xiàn)在的任務(wù)是將這堆圓木片穿到其他竹竿B或C上，但必須遵循以下規(guī)則：①圓木片只能一一搬動(dòng)；②大的圓木片只能放在小的圓木片下面；③搬動(dòng)的次數(shù)盡可能少?，F(xiàn)有4塊圓木片組成的阿諾卡塔，則至少移動(dòng)幾次能完成任務(wù)？

下面是關(guān)于該問(wèn)題“去數(shù)學(xué)化”的教學(xué)片斷：

當(dāng)教師提出該問(wèn)題時(shí)，學(xué)生馬上動(dòng)手嘗試操作，并反復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄操作次數(shù)，進(jìn)行交流匯總，最后得到答案。學(xué)生在反復(fù)動(dòng)手操作的過(guò)程中，只是熟悉操作流程和防止圓木片移動(dòng)次數(shù)記錄錯(cuò)誤，沒(méi)有細(xì)化操作步驟之間的關(guān)系。筆者認(rèn)為，此題是有關(guān)遞歸方法學(xué)習(xí)的一道好題，教學(xué)中要把握好以下兩個(gè)解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)環(huán)節(jié)。

（1） 將該問(wèn)題向遞歸方向遷移

阿諾卡塔游戲中，我們先從最簡(jiǎn)單的情況思考：1塊時(shí)需要移動(dòng)1次，2塊時(shí)需要移動(dòng)3次（如圖1所示），3塊時(shí)需要移動(dòng)7次（如圖2所示）。啟示學(xué)生，移動(dòng)3塊可以先轉(zhuǎn)化為移動(dòng)2塊（如圖3所示）：第一步：將兩塊木片從A移動(dòng)到B，需要3次；第二步：將剩下的最大的木片從A移到C，需要1次；第三步：再將兩塊木片從B移動(dòng)到C，需要3次；所以移動(dòng)3塊共需要7次。移動(dòng)4次的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化成移動(dòng)3塊（如圖4所示），

因此，4塊的時(shí)候需要用“3個(gè)圓盤(pán)重新摞在一起的次數(shù)”+1次+“3個(gè)圓盤(pán)重新摞在一起的次數(shù)”=15次。

（2） 對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示

該游戲中，若有n塊圓木片時(shí)，至少需要移動(dòng)多少次呢？

移動(dòng)塊圓木片的游戲（移動(dòng)次數(shù)記為A（n））可以轉(zhuǎn)化為先移動(dòng)上面n-1塊，記移動(dòng)次數(shù)為A（n-1）；接著移動(dòng)最下面1塊；最后將上面的n-1塊重復(fù)移動(dòng)到上面，移動(dòng)次數(shù)為A（n-1），所以n塊圓木片的阿諾卡塔游戲移動(dòng)次數(shù)為A（n）=2A（n-1）+1（n≥2）。由A（1）=1，利用遞推關(guān)系可求得A（n）=2n-1。

2.學(xué)習(xí)平均分組問(wèn)題時(shí)，提出如下題目，讓學(xué)生小組討論

題目：將6名同學(xué)平均分成兩組有多少種不同的分法？

下面是關(guān)于該問(wèn)題“去數(shù)學(xué)化”的教學(xué)片斷：

編輯：謝穎麗endprint

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；活動(dòng)；“去數(shù)學(xué)化”；數(shù)學(xué)本質(zhì)

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）24—0123—01

隨著課程改革不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)逐漸增多，逐漸出現(xiàn)了“去數(shù)學(xué)化”的現(xiàn)象，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：學(xué)生活動(dòng)開(kāi)放過(guò)度，動(dòng)手操作關(guān)注表象，合作交流流于形式，學(xué)生并未能從課堂活動(dòng)中探究到問(wèn)題本質(zhì)。下面，筆者舉例淺析如何在數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

1.阿諾卡塔游戲

在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，教師先讓學(xué)生玩“阿諾卡塔游戲”：現(xiàn)有中間帶孔的圓木片，這些圓木片以從大到小的順序穿在一根竹竿A上，現(xiàn)在的任務(wù)是將這堆圓木片穿到其他竹竿B或C上，但必須遵循以下規(guī)則：①圓木片只能一一搬動(dòng)；②大的圓木片只能放在小的圓木片下面；③搬動(dòng)的次數(shù)盡可能少?，F(xiàn)有4塊圓木片組成的阿諾卡塔，則至少移動(dòng)幾次能完成任務(wù)？

下面是關(guān)于該問(wèn)題“去數(shù)學(xué)化”的教學(xué)片斷：

當(dāng)教師提出該問(wèn)題時(shí)，學(xué)生馬上動(dòng)手嘗試操作，并反復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄操作次數(shù)，進(jìn)行交流匯總，最后得到答案。學(xué)生在反復(fù)動(dòng)手操作的過(guò)程中，只是熟悉操作流程和防止圓木片移動(dòng)次數(shù)記錄錯(cuò)誤，沒(méi)有細(xì)化操作步驟之間的關(guān)系。筆者認(rèn)為，此題是有關(guān)遞歸方法學(xué)習(xí)的一道好題，教學(xué)中要把握好以下兩個(gè)解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)環(huán)節(jié)。

（1） 將該問(wèn)題向遞歸方向遷移

阿諾卡塔游戲中，我們先從最簡(jiǎn)單的情況思考：1塊時(shí)需要移動(dòng)1次，2塊時(shí)需要移動(dòng)3次（如圖1所示），3塊時(shí)需要移動(dòng)7次（如圖2所示）。啟示學(xué)生，移動(dòng)3塊可以先轉(zhuǎn)化為移動(dòng)2塊（如圖3所示）：第一步：將兩塊木片從A移動(dòng)到B，需要3次；第二步：將剩下的最大的木片從A移到C，需要1次；第三步：再將兩塊木片從B移動(dòng)到C，需要3次；所以移動(dòng)3塊共需要7次。移動(dòng)4次的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化成移動(dòng)3塊（如圖4所示），

因此，4塊的時(shí)候需要用“3個(gè)圓盤(pán)重新摞在一起的次數(shù)”+1次+“3個(gè)圓盤(pán)重新摞在一起的次數(shù)”=15次。

（2） 對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示

該游戲中，若有n塊圓木片時(shí)，至少需要移動(dòng)多少次呢？

移動(dòng)塊圓木片的游戲（移動(dòng)次數(shù)記為A（n））可以轉(zhuǎn)化為先移動(dòng)上面n-1塊，記移動(dòng)次數(shù)為A（n-1）；接著移動(dòng)最下面1塊；最后將上面的n-1塊重復(fù)移動(dòng)到上面，移動(dòng)次數(shù)為A（n-1），所以n塊圓木片的阿諾卡塔游戲移動(dòng)次數(shù)為A（n）=2A（n-1）+1（n≥2）。由A（1）=1，利用遞推關(guān)系可求得A（n）=2n-1。

2.學(xué)習(xí)平均分組問(wèn)題時(shí)，提出如下題目，讓學(xué)生小組討論

題目：將6名同學(xué)平均分成兩組有多少種不同的分法？

下面是關(guān)于該問(wèn)題“去數(shù)學(xué)化”的教學(xué)片斷：

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