江妙浩?趙汝菊

摘 要：在完全圖，完全二部圖，完全r部圖上分別定義H-Hopf模結(jié)構(gòu)，并證明它們的H-Hopf模結(jié)構(gòu)，并指出它們分別與一元多項(xiàng)式H-Hopf模，二元多項(xiàng)式H-Hopf模及r元多項(xiàng)式H-Hopf模是同構(gòu)的。

關(guān)鍵詞：H-Hopf模；完全圖；完全二部圖；完全r部圖；多項(xiàng)式H-Hopf模

完全圖與完全二部圖是圖論中較為重要的兩類圖，Schmitt W R[1][2]在完全圖上建立了關(guān)聯(lián)Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，趙燕[3]給出了完全圖與完全二部圖及完全r部圖的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，并指出它們分別與一元二元及r元多項(xiàng)式代數(shù) Hopf代數(shù)同構(gòu)。

本文在完全圖與完全二部圖及完全r部圖上建立H-Hopf模結(jié)構(gòu)并證明之，并指出它們分別與一元多項(xiàng)式H-Hopf模，二元多項(xiàng)式H-Hopf模及 r元多項(xiàng)式H-Hopf模是同構(gòu)的。

全文分四部分，第一部分列出我們要用到的一些定義及引理；第二部分在以完全圖為基生成的向量空間上建立H-Hopf模結(jié)構(gòu)，定義H-模的結(jié)構(gòu)映射，H-余模結(jié)構(gòu)映射；第三部分在完全二部圖為基生成的向量空間上建立H-Hopf模結(jié)構(gòu)，定義H-模的結(jié)構(gòu)映射，H-余模結(jié)構(gòu)映射；第四部分把上述結(jié)論推廣到完全r部圖的H-Hopf模結(jié)構(gòu)。

一、一些定義及引理

在這部分，我們復(fù)習(xí)一些將要用到的定義及引理。

定義1 ：完全圖Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。

代數(shù)結(jié)構(gòu)：M（Kn，Km）=Kn·Km=

Kn+m

單位元：空?qǐng)D K0=1

余代數(shù)結(jié)構(gòu)：Δ（Kn）=ΣC Ki×Kn-i

余單位：ε∶K↑к，Kn↑{

反積元：S（Kn）=（-1）nKn

定義2：完全二部圖Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。

代數(shù)結(jié)構(gòu)：若Kn，m=〈V1，V2，E〉，

Ks，t=〈V'1，V'2，E'〉，則 Kn+s，m+t=〈V1∪V'1，

V2∪V'2，E∪E'〉即M（Kn，m，Ks，t）=

Kn，m·Ks，t=Kn+s，m+t

單位元為空?qǐng)D，記為K0，0=1

余代數(shù)結(jié)構(gòu)：Δ（Kn，m）=ΣC C Ki，j×

Kn-i，m-j

余單位：ε（Kn，m）={

反積元：S（Kn，m）=（-1）n+mKn，m

定義3[4]：設(shè)G為n階無(wú)向簡(jiǎn)單圖，若G中每一個(gè)頂點(diǎn)均與其余的n-1個(gè)頂點(diǎn)相連，則G稱為n階無(wú)向完全圖，簡(jiǎn)稱n階完全圖，記作Kn，約定K0為空?qǐng)D即沒(méi)有任何邊圖。

定義4： 設(shè)G=〈V，E〉為一個(gè)無(wú)向圖，若V分V1為V2，且V1∪V2=V，

V1∩V2 =φ使得G中每條邊的兩端都是一個(gè)屬于V1，另一屬于V2，則稱G為二部圖，記為G=〈V1，V2，E〉，又若G是簡(jiǎn)單二部圖， V1中的每個(gè)項(xiàng)點(diǎn)均與V2中的所有頂點(diǎn)都相連，則G稱為完全二部圖，記為Kn，m，規(guī)定零圖為二部圖。

定義5：設(shè)G=〈V，E﹥?yōu)橐粋€(gè)n階無(wú)向圖，若V分成r（r≥2）個(gè)互不相交的子集V1，V2…，Vr，使得其中任何一條邊的兩端都不在同一個(gè)Vi（i=1，2，…，r），則稱G為r部圖，記為G=〈V1，V2，…，Vr，E〉。設(shè)G是簡(jiǎn)單r部圖，若對(duì)任意的i（i=1，2，…，r）， Vi中任一個(gè)頂點(diǎn)均與Vj（i≠j）中的所有頂點(diǎn)都相連，則稱G為完全r部圖，記為G=Kn ，n …n ，規(guī)定零圖為r部圖。

定義6[5]：一個(gè)K-代數(shù)是三個(gè)數(shù)組（A，M，u），其中A是一個(gè)K-空間，

M∶A×A↑A和u∶κ↑ A是K-同態(tài)，

使下兩式成立即M（I×M）=M（M×I），M（u×I）=1或M（I×u）=1

定義7：一個(gè)K-余代數(shù)是三個(gè)數(shù)組（C，Δ，ε），其中C是一個(gè)K-空間，Δ∶C↑C×C和ε∶C↑κ是K-同態(tài)，使下兩式成立即（I×Δ）Δ=（Δ×I）Δ ，Δ（ε×I）=1或Δ（I×ε）=1

引理1：設(shè)N是一個(gè)向量空間，H 是一個(gè)代數(shù)，φ‥H×N→N是一個(gè)K-同態(tài)，使得下兩式成立即：φ（I×φ）=φ（H×I），φ（μ×I）=1，則（N，φ）是一個(gè)左H-模。

引理2：設(shè)N是一個(gè)向量空間，C是一個(gè)余代數(shù)，ρ‥N→N×C是一個(gè)K-同態(tài)，使得下兩式成立即：（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ，（I×ε）ρ=1 ，則（N，ρ）是一個(gè)右C-余模。

引理3：設(shè)（H，M，μ，Δ，ε）是一個(gè)Hopf代數(shù)，N是一個(gè)右H模，φ‥N×H→N是一個(gè)K-同態(tài)，N是一個(gè)右H余模，ρ‥N→N×H是一個(gè)K-同態(tài)，如果φ‥N×H→N是一個(gè)余代數(shù)同態(tài)或ρ‥N→N×H是一個(gè)代數(shù)同態(tài)或ρ（mh）=Σm0h1×m1h2，則N是一個(gè)右H-Hopf模。

二、完全圖的H-Hopf模結(jié)構(gòu)

在這部分，我們將在完全圖上定義H-Hopf模結(jié)構(gòu)，并指出它與一元多項(xiàng)式的H-Hopf模結(jié)構(gòu)是同構(gòu)的。

設(shè)K是以所有完全圖為基的域κ上的向量空間，我們建立如下H-Hopf模結(jié)構(gòu)。

1.完全圖的H-模結(jié)構(gòu)

定義：n元完全圖Kn與m完全圖Km的乘積是將Kn中的n個(gè)頂點(diǎn)與Km中的m個(gè)頂點(diǎn)分別相連接，構(gòu)成n+m階完全圖Kn+m，即φ（Kn×Km）=Kn·Km=Kn+m

例如，·· ·▏= K1·K2=K3

▏· ▏= K2·K2=K4

▏· = K2·K3=K5

單位元：空?qǐng)D K0=1

定理：K在上述定義下構(gòu)成H-模結(jié)構(gòu)。

證明：顯然φ‥N×H→N是一個(gè)K-同態(tài)。

φ（I×φ）（Kn×Km×Kl）=φ[Kn×φ（Km×Kl）]=φ（Kn×Km·Kl）=Kn·Km+l=Kn+m+l=Kn+m·Kl=（Kn·Km）·Kl=M（Kn×Km）·Kl=φ[M（Kn×Km）×Kl]=φ（M×I）（Kn×Km·Kl）

∴φ（I×φ）=φ（M×I）

φ（μ×I）（k×Kn）=φ[μ（k）×Kn]=φ（k1H×Kn）=kKn=k·Kn

∴φ（μ×I）=1

2.完全圖的H-余模結(jié)構(gòu)

定義：ρ對(duì)Kn作用，將n元完全圖Kn分成所有可能的2個(gè)完全圖因子的張量積，再求和，即ρ（Kn）=ΣCnKi×Kn-i

例如，ρ（K3）=C31×K3+C3K1×K2+

C3K2×K1+C3K3×K0

用圖表示為：ρ（ ）=1× +3·×

▏+3▏×·+ ×1

定理：K在上述定義下構(gòu)成H-余模結(jié)構(gòu)。

證明：顯然ρ ‥N→N×H是一個(gè)K-同態(tài)。

（I×Δ）ρ（Kn）=ΣCn（I×Δ）（K1×Kn-i）=ΣCnKi×Δ（Kn-i）=ΣCnKi×（Kn-i）1×（Kn-i）2=ρ（Kn）×（Kn-i）2=（ρ×I）（Kn×K（n-i）2）=（ρ×I）ρ（Kn）

∴（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ

（I×ε）ρ（Kn）=（I×ε）（ΣCnKi×

Kn-i）=ΣCnKi×ε（Kn-i）=Kn

∴（I×ε）ρ=1

三、完全二部圖的H-Hopf模結(jié)構(gòu)

1.完全二部圖H-模結(jié)構(gòu)

定義：若Kn，m=〈V1，V2，E〉，Ks，t=〈V'1，V'2，E'〉 ，則它們的乘積是將V1與V'2中所有點(diǎn)連接，將V2與V'1中的所有點(diǎn)連接，則Kn+s，m+t= 〈V1∪V'1，

V2∪V'2，E∪E'〉，即φ（Kn，m×Ks，t）=Kn，m·Ks，t=Kn+s，m+t

例如， ▏· = K1，1·K1，2=K2，3

單位元：空?qǐng)D，記為K0，0=1

定理：K2在上述定義下構(gòu)成H-模結(jié)構(gòu)。

證明：顯然φ‥A×H→N是一個(gè)K-同態(tài)。

φ（I×φ）（Kn，m×Ks，t×Kl，h）=

φ[Kn，m×φ（Ks，t×Kl，h）]=φ（Kn，m×Ks，t·

Kl，h）=Kn，m·Ks+l，t+h=Kn+s+l，m+l+h=Kn+s，m+l·

Kl，h=M（Kn，m×Ks，t）·Kl，h=φ[M（Kn，m×

Ks，t）×Kl，h]=φ（M×I）（Kn，m×Ks，t

×Kl，h）

∴φ（I×φ）=φ（M×I）

φ（μ×I）（k×Kn，m）=φ[μ（k）×

Kn，m]=φ（k1H×Kn，m）=kKn，m=k·Kn，m

∴φ（μ×I）=1

2.完全二部圖的H-余模結(jié)構(gòu)

定義：ρ對(duì)Kn，m作用，將Kn，m分為所有可能的兩個(gè)完全圖因子的張量積，

再求和，即ρ（Kn，m）=ΣΣCnCmKi，j×

Kn-i，m-j

例如，ρ（K1，2）=C1C2K0，0×K1，2+C1C2K0，1×K1，1+C1C2K0，2×K1，0+C1C2K1，0×K0，2+C1C2K1，1×K0，1+C1C2K1，2×K0，0=1×K1，2+2K0，1×K1，1+K0，2×K1，0+K1，0×K0，2+2K1，1×K0，1+K1，2×1

用圖表示為：ρ（ ）=·× +2·×

▏+ ×·+·× +2▏×·+ ×1

定理：K2在上述定義下構(gòu)成右H-余模結(jié)構(gòu)。

證明：顯然ρ ‥N→N×H是一個(gè)K-同態(tài)。

（I×Δ）ρ（Kn，m）=ΣΣCnCm（I×

Δ）（Ki，j×Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×Δ（Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×（Kn-i，m-j）1×

（Kn-i，m-j）2=ρ（Kn）×（Kn-i）2=（ρ×I）（Kn×K（n-i）2）=（ρ×I）ρ（Kn，m）

∴（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ

（I×ε）ρ（Kn，m）=（I×ε）（Σ

ΣCnCmKi，j×Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×ε（Kn-i，m-j）=Kn，m

∴（I×ε）ρ=1

四、完全r部圖的H-Hopf模結(jié)構(gòu)

下面我們將完全二部圖推擴(kuò)到完全r部圖。

定義：在n階完全r部圖G=Kn ，n …，n中，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)n=Σni，邊數(shù)m=Σninj，在以{Kn ，n …，n ，n1，n2，…nr≥0}為基的向量空間k上，定義H-Hopf模結(jié)構(gòu)。

φ（Kn …，n ×Km ，…，m ）=Kn …，n ·

Km ，…，m =Kn +m ，…，n +m

ρ（Kn …，n ）=ΣCn Cn …Cn Ki ，i ，…，i ×

Kn -i ，n -i ，…，n -i

ρ（Kn …，n ，Km ，…，m ）=Σ（Kn …，n ）0

（Km ，…，m ）1×（Kn …，n ）1 （Km ，…，m ）2

可以證明Kr是一個(gè)H-Hopf模。

r元多項(xiàng)式空間是以{x1 x2 …xr│n1，…，nr≥0}為基的數(shù)域κ上向量空間，在這個(gè)空間上的H-Hopf模結(jié)構(gòu)如下： x1 x2 …xr ，x1 x2 …xr ∈Kr

φ（x1 x2 …xr ×x1 x2 …xr ）=x1 x2 …xr ·x1 x2 …xr =x1 …xr

ρ（x1 x2 …xr ）= Σ Cn Cn …Cn x1 x2…xr ×x1 x2 …xr

ρ[（x1 x2 …xr ）·（x1 x2 …xr ）]=Σ

（x1 x2 …xr ）0（x1 x2 …xr ）1×（x1 x2 …xr ）1（x1 x2 …xr ）2

結(jié)論：完全r部圖H-Hopf模Kr與r元多項(xiàng)式H-Hopf模K[x1 x2 …xr ]是同構(gòu)的。

只要做對(duì)應(yīng)Kr→K[x1，x2，…，xr ]，

Kn ，n …，n → x1 x2 …xr ，結(jié)論就可證明。

參考文獻(xiàn)：

[1]Schmitt W·R. Incidence Hopf algebras[J]. Journal of Pure and Applied Algebra，1994，96（03）：299—330.

[2]Schmitt W·R. Hopf algebra methods in graph theory[J]. Journal of Pure and Applied Algebra，1995，101（01）：77—90.

[3]趙 燕.完全圖與完全二部圖上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，33（03）： 25—29.

[4]盧開(kāi)澄，盧華明. 圖論及其應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1995.

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（作者單位：廣西師范學(xué)院）