孫寶霞

[摘 要]解題是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù)之一，它能使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也是檢驗(yàn)知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的基本形式。有效地培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力，有助于展開有創(chuàng)造性的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，也可以促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。解題過程中，合理利用直觀形象的畫圖策略，可以提高學(xué)生審題能力，拓寬學(xué)生的解題思路，增強(qiáng)學(xué)生的反思能力，所以，在教學(xué)中要注重以畫圖為拐棍，讓學(xué)生嘗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無窮樂趣和成功體驗(yàn)，從而真正提高他們解題能力。

[關(guān)鍵詞]培養(yǎng) 畫圖 解題能力

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）35-063

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，形成初步的反思意識(shí)，這就要求學(xué)生有一定的解題能力。在小學(xué)階段，中年級(jí)學(xué)生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，學(xué)生的抽象思維過程仍然需要具體形象的支持。況且，形象化的實(shí)例容易引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

作為一線數(shù)學(xué)教師，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決沒有圖示的實(shí)際問題時(shí)會(huì)出現(xiàn)很多的錯(cuò)誤，除不能很好地審清題目、理解題意之外;更主要的是學(xué)生借助畫圖策略解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí)不強(qiáng)，繪圖能力不足，從而導(dǎo)致解決數(shù)學(xué)問題不力。為此，在平時(shí)教學(xué)過程中，筆者在畫圖解題方面做了很多的探索和嘗試，從而切實(shí)提高學(xué)生的解題能力。

一、畫圖教學(xué)，模型搭建直觀形象

教育大師蘇霍姆林斯基說過：“孩子的智慧在手指上?！睌?shù)學(xué)題的內(nèi)涵經(jīng)過學(xué)生靈巧又智慧小手繪制出來，無論是“力作”還是“劣作”，我們都要一視同仁地肯定其存在價(jià)值，都要盡可能地讓學(xué)生說出作品的意思以及自己的思想。在教學(xué)過程中，筆者和學(xué)生經(jīng)常會(huì)通過一些線段圖、集合圖等來幫助理清題目中的已知條件和所求問題，使問題簡(jiǎn)明直觀;其間可以展示其數(shù)學(xué)思維過程，窺視其數(shù)學(xué)建模情況，閃爍其數(shù)學(xué)思維火花。

1.多樣線段圖

線段圖簡(jiǎn)潔明了，形象易學(xué)。筆者在教學(xué)和倍、差倍問題時(shí)，根據(jù)題意作出線段圖，從圖中學(xué)生可以很快地理解和、差與一份數(shù)之間的關(guān)系，從而提升分析問題的能力。

例如：兩個(gè)小朋友去森林里采蘑菇，小紅采的個(gè)數(shù)比小麗的3倍還多5個(gè)，他們一共采了53個(gè)，兩人各采了多少個(gè)？

這個(gè)是變式后的和倍問題，學(xué)生通常很難一下子理解這個(gè)5到底該怎么處理，筆者就建議先畫圖看一看。

通過畫圖，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，53減去5之后正好就是小麗所采蘑菇的3倍，可以馬上求出小麗所采的蘑菇個(gè)數(shù)，接著就可以求小紅所采的個(gè)數(shù)了。簡(jiǎn)單的線段圖可以讓學(xué)生更直接地分析每個(gè)量之間的關(guān)系，使題意更直白、外顯，便于理解，提高解題速度和解題質(zhì)量。

另外，用畫線段圖來理解較復(fù)雜的行程問題也是再清楚不過的了。

例如：一輛貨從A地開向B地，每小時(shí)行45千米，行了3小時(shí)后休息，這時(shí)剛好離AB兩地的中點(diǎn)18千米，東西兩城相距多少千米？

通過畫圖發(fā)現(xiàn)，有兩幅圖都符合題意：

線段圖除了可以幫助我們整理題目中的條件和問題，還可以幫助我們更全面地理解題意。根據(jù)這兩幅圖我們就可以得到兩種不同的答案：

45×3=135（千米） 135+18=156（千米） 156×2=312（千米）

45×3=135（千米） 135-18=117（千米） 117×2=234（千米）

在不畫圖的情況下，多數(shù)學(xué)生都不會(huì)想到這一題會(huì)有兩種不同的答案，但就在畫線段圖的過程中，學(xué)生能更好地去理解題意，去考慮離中點(diǎn)18米的位置到底在哪。可見，畫圖可以讓學(xué)生更全面深入地思考，還可以讓學(xué)生在解題后更快更直觀地對(duì)結(jié)果的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.巧畫集合圖

例如：某班有學(xué)生42人，全班每人至少要訂一種報(bào)紙，訂數(shù)學(xué)報(bào)的有24人，訂語文報(bào)的有28人，問兩種報(bào)都訂的有多少人？

讀題后，學(xué)生自行畫圖（如右圖所示）。

引起爭(zhēng)議：24+28=52人，與題目中的42人矛盾。

引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么？該如何解決？

學(xué)生討論再作修改（如右圖所示）。

提問：為什么這樣修改？?jī)蓚€(gè)圓相交的部分是什么？

從題目中學(xué)生可以確定訂兩種報(bào)的人數(shù)之和應(yīng)為24+28=52（人），可是全班總?cè)藬?shù)只有42人，相差52-42=10（人），說明有10人兩種報(bào)紙都訂了。

在繪畫和理解集合圖的同時(shí)，學(xué)生也就找到了解題的鑰匙。運(yùn)用畫圖策略，讓冰冷的數(shù)學(xué)文字變?yōu)橐环鶊D，再配以形象生動(dòng)的語言描述，讓數(shù)學(xué)關(guān)系自然呈現(xiàn)。整個(gè)過程生動(dòng)活潑，學(xué)生學(xué)得輕松且高效。

二、畫圖教學(xué)，數(shù)形結(jié)合完美演繹

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系有過一段精彩的描述：“數(shù)與形本是相依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形少直覺，形少數(shù)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離?！痹诮虒W(xué)過程中，筆者嘗試數(shù)形結(jié)合的教學(xué)受到了學(xué)生的歡迎，也取得較好的教學(xué)效果。

1.利用列表法解題

例如：新華小學(xué)準(zhǔn)備建一個(gè)周長(zhǎng)是20米的長(zhǎng)方形花圃，你能設(shè)計(jì)出多少種不同的情況？

碰到這樣的問題，學(xué)生確定了長(zhǎng)、寬的關(guān)系后也很難一下子就把所有的情況全都表達(dá)清楚，所以建議學(xué)生用列表格的方法解決。表格為：

明確長(zhǎng)和寬的關(guān)系后，把每一種可能進(jìn)行列表整理，學(xué)生就可以非常清楚地看出有5種不同的情況，既直觀又明了。

另外，對(duì)于一些數(shù)據(jù)較多的問題，學(xué)生在理解時(shí)，往往會(huì)對(duì)不上號(hào)，如果用了列表的方法，就更容易理清題意，也易于揭示數(shù)量之間的關(guān)系，便于理順?biāo)悸?，進(jìn)行解答。

2.利用面積圖解題

數(shù)形結(jié)合是教學(xué)幾何初步知識(shí)與培養(yǎng)空間觀念的重要方法，在某些幾何題中可采用面積圖來解題。

例如：一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)增加4米，或?qū)捲黾?米，面積都增加24平方米，求原長(zhǎng)方形的面積。

根據(jù)題意可畫出右圖：

根據(jù)圖形學(xué)生進(jìn)行分析：要求原來的面積，需要知道長(zhǎng)和寬，但是，現(xiàn)在什么都不知道。在這樣的情況下，學(xué)生會(huì)根據(jù)需要繼續(xù)從圖形出發(fā)，從變化的圖中找到求原來的長(zhǎng)與寬的方法，結(jié)果，學(xué)生就得到了這樣的計(jì)算過程：

長(zhǎng)：24÷3=8（（米）

寬：24÷4=6（米）

所以原長(zhǎng)方形的面積為：8×6=48（平方米）

運(yùn)用面積圖不僅可以快速找到解題途徑，還能找到更巧妙的解題方法。

如在教學(xué)“用畫圖法解決面積計(jì)算”這一課之后，筆者給學(xué)生出了這樣一題：

張莊小學(xué)原有一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)，長(zhǎng)50米，寬40米，擴(kuò)建校園時(shí)，長(zhǎng)和寬都增加了10米，求：新增的面積是多少平方米？

某學(xué)生一口氣就找到了四種不同的解法。

方法一：（50+10）×（40+10）-50×40

方法二：40×10+（50+10）×10

方法三：40×10+50×10+10×10

方法四：（40+10）×10+50×10

運(yùn)用面積圖解題，實(shí)質(zhì)就是化抽象為形象。中年級(jí)學(xué)生的抽象能力原本就不強(qiáng)，加上很多學(xué)生對(duì)解決問題有一種本能的恐懼，所以更不愿意去深入思考題意。但如果能讓學(xué)生邊讀題邊畫出相應(yīng)的圖形，并標(biāo)上數(shù)據(jù)，在形象的幾何圖上來理解題意當(dāng)然要比讓他們?cè)谀X子中想象現(xiàn)實(shí)得多，也容易理解得多。所以利用幾何直觀圖不僅可以幫助學(xué)生理清解題思路，也能幫助他們提高解題能力。

三、畫圖教學(xué)，數(shù)學(xué)思維深入腦海

解題能力不僅是指解題時(shí)有辦法、有能力解題，而且是指解題后能夠很好地掌握同類題型的解法。而這一目標(biāo)的達(dá)成，一般要通過回顧整個(gè)解題過程來實(shí)現(xiàn)。

在教學(xué)“用畫圖法解決行程問題”時(shí)，筆者就是讓學(xué)生通過回憶整個(gè)解題的過程，最后達(dá)到作圖方法的優(yōu)化，把簡(jiǎn)單的行程問題的解法通過紙上圖到心里圖的升華深入腦海。

筆者在講授“雞兔同籠”問題時(shí)，教給了學(xué)生如何畫替換圖的方法。如有這樣一題題：雞兔同籠，頭共20個(gè)，足共62只，求雞與兔各有多少只？

學(xué)生先用假設(shè)法，假設(shè)全雞，20只雞，有40條腿。

分析：少了62-40=22（條）腿。因?yàn)橥米佑?條腿，才畫了2條腿，每只兔子需要再加2條腿。

因此，兔子有22÷2=11（只），雞有20-11=9（只）。

生動(dòng)、形象的圖例，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從簡(jiǎn)單中看到深?yuàn)W，學(xué)生很快找到了解題方法。

數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過畫圖，學(xué)生能仔細(xì)地審題、分析數(shù)量關(guān)系，做完后，與圖形的又一次對(duì)比，更能讓他們從中收獲巧妙的解題方法。

因此，從中年級(jí)開始我們就要注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用作圖的方法來解決實(shí)際問題。以畫圖為拐棍，讓學(xué)生嘗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無窮樂趣和成功體驗(yàn)，從而真正提高他們的解題能力;讓畫圖成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中簡(jiǎn)單實(shí)用而又快捷方便的一把“金鑰匙”。

（責(zé)編 羅 艷）