李 洋，張潤寧

航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094

1 引 言

重力異常反演精度和空間分辨率是衡量重力場模型的重要參數(shù)，數(shù)據(jù)源的精度和反演方法是影響重力異常反演精度和空間分辨率的兩大因素。從目前的研究現(xiàn)狀來看，由衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)反演重力場的方法可分為兩類。一類是以大地水準面高為數(shù)據(jù)源［1－2］，另一類以大地水準面梯度，即垂線偏差為數(shù)據(jù)源［3－5］，此類方法對長波誤差的影響不敏感，且能夠有效地檢測短波信號，較前一類方法具有明顯的數(shù)值穩(wěn)定性［6－7］。其中，文獻［3］發(fā)展起來的沿軌跡垂線偏差法是求解沿軌跡重力異常的常用方法，其基本思想是，根據(jù)大地水準面高、重力異常和垂線偏差等擾動場元的定義以及Laplace方程，推導出頻率域（波數(shù)域）內(nèi)沿軌跡垂線偏差與重力異常的線性關(guān)系式［4，9］。在求解沿軌跡重力異常的基礎(chǔ)上，通常采用交叉譜分析法求解沿軌跡空間分辨率［8，10－11］。

除反演方法的影響，海面高確定精度是影響沿軌跡重力異常反演的另一重要因素，文獻［12—13］分別采用不同的方法推導了海面高與重力異常的誤差傳播公式，但僅討論了海面高中隨機誤差對重力異常反演精度的影響，未涉及海面高測量過程中的關(guān)鍵載荷雷達高度計測距精度對反演的影響?；诖咕€偏差的反演方法，微分運算時有效地削弱了長波誤差，例如衛(wèi)星軌道高度觀測量、干濕對流層和電離層校正項、逆氣壓校正項以及深海區(qū)域的海面地形和潮汐，能量主要集中在長波部分［3，14－16］，進行微分運算時，在相鄰采樣點幾千米的間隔內(nèi)，上述物理量的梯度信息可以忽略，而高度計的測距誤差可認為是高斯白噪聲，微分后噪聲幅度增大，因此，定量分析高度計精度對沿軌跡重力異常反演的影響是十分必要的。

2 沿軌跡重力異常和空間分辨率的求解方法

2.1 求解沿軌跡重力異常的垂線偏差法

根據(jù)物理大地測量理論，大地水準面高hG的x軸（西向）分量η和y軸（北向）分量ξ與重力異常Δg的關(guān)系可表示為

式中，f（fx，fy）為二維頻率點，fx＝1/λx、fy＝1/λy，λx、λy為波長和ξ（f）分別為Δg、η和ξ的二維傅里葉變換，g0為平均重力加速度（9.81ms－2），i為復數(shù)虛部。實際測量中，雷達高度計采集沿星下點軌跡的一維數(shù)據(jù)，為此，需將式（1）轉(zhuǎn)換為一維表達式，以用于沿軌跡重力異常的計算，具體過程見文獻［4］和［9］，即

式中，sgn（）為符號函數(shù)；V（f）為沿軌跡垂線偏差v的傅里葉變換，v＝?hG/?ψ，ψ為沿軌跡的空間采樣間隔。式（2）表明，1×10－6rad的垂線偏差誤差對應(yīng)1×10－5ms－2的重力異常誤差。

2.2 求解空間分辨率的交叉譜分析法

式（2）描述了采樣間隔為ψ尺度上的沿軌跡重力異常計算式，根據(jù)奈奎斯特準則得，所能確定的最短重力場波長為2ψ。然而，由于噪聲的影響，最短波長將大于2ψ，即空間分辨率大于ψ。通常采用交叉譜分析法求解空間分辨率。

對于同一地面軌跡地球重力場信號的兩次采樣s1和s2，S1和S2分別為s1和s2傅里葉變換，則各自的功率譜密度P1（f）和P2（f）以及交叉功率譜密度P12（f）表示為：，＊為復數(shù)共軛運算，則交叉譜分析中一致性系數(shù)ρ（f）定義為：ρ（f）＝。地球重力場包含豐富的波長信息，將采樣序列分解成一系列代表固定波長的頻率點，一致性系數(shù)評估了兩次采樣序列在不同波長處的相關(guān)程度。若在兩次采樣過程中，均沒有引入噪聲，即兩序列完全相同，ρ（f）在頻域內(nèi)處處為1，則能夠確定的最短重力場波長為采樣間隔的2倍，即空間分辨率等于采樣間隔。在實際的采樣過程中，噪聲的引入使得各頻率點處的信號相關(guān)程度下降，ρ（f）界于0與1之間，由于地球重力場的功率譜密度隨著頻率的增大而減小，因此信號的相關(guān)程度在高頻部分比低頻部分下降明顯，ρ（f）隨著頻率的增加逐漸減小到0，當ρ（f）＝0.5時，將此處的1/f作為空間分辨率的估計［8，10－11］。

3 高度計測距精度對沿軌跡重力異常反演精度的影響

由式（2）知，分析高度計測距誤差對沿軌跡重力異常的影響，需先分析高度計誤差對垂線偏差的影響。根據(jù)衛(wèi)星測高的基本原理，在計算沿軌跡垂線偏差時，對高度計的測距值r進行微分，測距噪聲同樣進行微分運算，微分后功率譜密度為，其中Pnr（f）為高度計測距噪聲的功率譜密度，因此可以認為，垂線偏差中由高度計測距噪聲引入的噪聲功率譜密度為Pnv（f）＝。高度計測距噪聲可認為是高斯白噪聲。根據(jù)隨機信號理論，高斯白噪聲的功率譜密度Pnr（f）＝n0，n0為正常數(shù)。當采樣頻率為Fs，功率譜密度在頻域內(nèi)積分得平均功率，而平均功率等于方差，即，其中為高度計測距噪聲的方差，所以Pnr，而Fs＝1/ψ，因此，垂線偏差中由高度計測距噪聲引入的噪聲功率譜密度為Pnv再聯(lián)合式（2）得，沿軌跡重力異常中由高度計測距噪聲引入的噪聲功率譜密度為

在測高數(shù)據(jù)的處理過程中，通常根據(jù)采樣間隔以及噪聲的大小，采用低通濾波器將大于截止頻率fs的噪聲濾除，濾波后沿軌跡重力異常中由高度計測距噪聲引入的噪聲平均功率為

式（5）表明，沿軌跡重力異常反演精度與高度計測距精度呈線性關(guān)系，與空間采樣間隔成開平方關(guān)系，因此，高度計測距精度相對于空間采樣間隔，在一定程度上對沿軌跡重力異常反演精度起主導作用。

4 高度計測距精度對沿軌跡空間分辨率的影響

首先推導交叉譜分析中一致性系數(shù)與信噪比的數(shù)學表達式，再以此為基礎(chǔ)，理論分析高度計測距精度對空間分辨率的影響。

對同一信號s的兩次采樣序列s1＝s＋n1、s2＝s＋n2，n1、n2為均值為零、方差相同、互不相關(guān)的噪聲，且均與s不相關(guān)，設(shè)S、S1、S2、N1、N2分別為以上空域序列的傅里葉變換，s、s1和s2的功率譜密度分別為：Ps（f）＝SS＊、P1（f）＝的功率譜密度為Pn有s1＝s2＋n1－n2，s1的功率譜密度為

n1和n2互不相關(guān)，有，式（6）變?yōu)?，?/p>

式中，頻率點f處信噪比Q（f）＝Ps（f）/Pn（f），其具體含義為：在頻率點f附近很小的領(lǐng)域內(nèi)，分別對信號和噪聲的功率譜密度Ps（f）和Pn（f）進行積分，得出信號功率和噪聲功率，兩者相除得到在頻率點f處的信噪比，由于在頻率點f附近很小的領(lǐng)域內(nèi)積分，信噪比可表示為Q（f）＝Ps（f）/Pn（f）。由式（10）知，當ρ（f）＝0.5時，Q（f）＝2.414。

若已知沿軌跡重力異常與其噪聲的功率譜密度，則可求得信噪比為2.414所對應(yīng)的頻率點f0.5，從而計算1/f0.5為空間分辨率。大地水準面高短波部分的功率譜密度為［17］：其中b、c為大于零的常數(shù)，與區(qū)域地質(zhì)結(jié)構(gòu)相關(guān)。f（fx，fy）為二維頻率點，。在沿地面軌跡的一維方向［18］

令fy＝ufx，有dfy＝fxdu，得

由式（3）知沿軌跡重力異常的噪聲功率譜密度，在頻率點f處信噪比Q（f）為

當Q（f）＝2.414時，得空間分辨率D＝1/f為

上式表明，高度計測距精度σr提高m倍，相應(yīng)的空間分辨率D提高倍。因常數(shù)b和c與區(qū)域地質(zhì)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，所以空間分辨率因區(qū)域的不同而不同。對于全球平均空間分辨率的估計，可利用大地水準面高短波部分的全球平均功率譜密度函數(shù)，通過上述推導過程得出。例如EGM2008模型短波部分的功率譜密度函數(shù)中的常數(shù)b＝1.611×10－19，c＝5.306（文獻［19］），則全球平均空間分辨率ˉD為

上式表明，高度計測距精度提高m倍，全球平均空間分辨率提高m0.4644倍。

5 數(shù)值仿真及結(jié)果分析

考慮到仿真結(jié)果的驗證，選取文獻［8］和［10］中均涉及的兩個區(qū)域以及Geosat衛(wèi)星的精密重復軌道模式為例，分析高度計測距精度對沿軌跡重力異常精度和空間分辨率的影響。兩區(qū)域的地理位置為：大西洋赤道附近區(qū)域A，30°S—30°N，0°W—50°W；南太平洋區(qū)域B，65°S—40°S，90°W—165°W。

具體仿真框圖見圖1，將Geosat GDR（geophysical data record）中0.1s間隔的海面高測量數(shù)據(jù)平均為0.5s的數(shù)據(jù)，則空間采樣間隔為3.37km，將其中1s間隔的地面軌跡位置數(shù)據(jù)插值成0.5s的位置數(shù)據(jù)［20］，并采用EGM2008重力場模型根據(jù)文獻［21］中的相關(guān)公式計算沿衛(wèi)星地面軌跡的大地水準面高和重力異常，并將此重力異常值作為參考值，依據(jù)衛(wèi)星測高數(shù)學模型和沿軌跡重力異常的垂線偏差反演方法，對加入高度計噪聲的沿軌跡大地水準面高進行微分、濾波，截至頻率fs取1/16cyc/km，將處理后得到的重力異常估計值與重力異常參考值進行比較，得到沿軌跡重力異常的估計精度。采用交叉譜分析法計算空間分辨率的估計值，最后將仿真結(jié)果與文獻［8］和［10］中Geosat衛(wèi)星的實際測高數(shù)據(jù)處理結(jié)果比較，從而驗證仿真模擬以及理論分析的正確性。

在區(qū)域A和B內(nèi)，Geosat衛(wèi)星高度計的實際精度分別為3.2cm和4.9cm（文獻［20］）。當區(qū)域A加入的高度計測距噪聲為3.2cm時，沿軌跡重力異常精度的仿真結(jié)果為4.63×10－5ms－2，與文獻［8］中對實際測高數(shù)據(jù)的處理結(jié)果4.68×10－5ms－2基本一致。當區(qū)域B加入的高度計噪聲為4.9cm時，沿軌跡重力異常精度的仿真結(jié)果為7.08×10－5ms－2，略小于文獻［8］中的處理結(jié)果7.36×10－5ms－2，是因為實際測高數(shù)據(jù)中包含了海洋現(xiàn)象中短波成分引入的噪聲。數(shù)值仿真結(jié)果與實際測高數(shù)據(jù)處理結(jié)果基本一致，證明了沿軌跡重力異常精度數(shù)值仿真設(shè)計的正確性。

圖1 沿軌跡重力異常精度和空間分辨率仿真框圖Fig.1 Simulation scheme for accuracy and spatial resolution of along－track gravity anomaly

圖2為兩區(qū)域內(nèi)不同高度計測距精度對應(yīng)的沿軌跡重力異常精度仿真結(jié)果，理論值由式（5）得出。仿真結(jié)果表明：當加入的高度計噪聲相同時，沿軌跡重力異常精度的仿真結(jié)果相同；重力異常精度與高度計測距精度成正比關(guān)系；兩區(qū)域沿軌跡重力異常精度與理論值基本一致，證明了沿軌跡重力異常誤差分析的正確性。

當區(qū)域A加入的高度計噪聲為3.2cm時，其空間分辨率的仿真結(jié)果見圖3。其中，圖3（a）為沿軌跡重力異常和其噪聲的功率譜密度，圖3（b）中虛線為一致性系數(shù)曲線，實線為其多項式擬合趨勢線。從中可以看出，重力異常的功率譜密度隨著頻率增加而下降。噪聲的功率譜密度先隨著頻率的增加而增大，是由微分運算引起的，之后下降是低通濾波器作用的結(jié)果。當一致性系數(shù)下降到0.5處時，信噪比為2.414，空間分辨率為31.9km，與文獻［10］中實際空間分辨率估計結(jié)果33km基本一致。當區(qū)域B加入的高度計噪聲為4.9cm時，空間分辨率的仿真結(jié)果為49.5km，見圖4，略小于文獻［10］中實際空間分辨率估計結(jié)果52 km，因為實際數(shù)據(jù)中包含了海洋現(xiàn)象中短波成分引入的噪聲。兩區(qū)域空間分辨率的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻［10］中實際空間分辨率的估計結(jié)果基本一致，證明了空間分辨率數(shù)值仿真設(shè)計的正確性。從圖3和圖4中可以看出信噪比與一致性系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，當一致性系數(shù)下降到0.5時，信噪比均為2.414，證明了一致性系數(shù)與信噪比的表達式（式（10））理論推導的正確性。

圖2 沿軌跡重力異常精度隨高度計測距精度的變化Fig.2 Accuracy of along－track gravity anomalies versus altimeter noise

圖3 區(qū)域A功率譜密度和一致性系數(shù)Fig.3 Power spectral density and coherence versus frequency（1/wavelength）for areaA

圖4 區(qū)域B功率譜密度和一致性系數(shù)Fig.4 Power spectral density and coherence versus frequency（1/wavelength）for area B

當高度計測距精度從5cm提高到1cm時，圖5和圖6分別為區(qū)域A和區(qū)域B的一致性系數(shù)多項式擬合曲線。比較兩圖，共同點：空間分辨率隨著高度計測距精度的提高而提高；不同點：高度計測距精度相同時，區(qū)域A和區(qū)域B的空間分辨率存在明顯差異。因為區(qū)域地質(zhì)結(jié)構(gòu)是影響短波重力場功率譜密度的主要因素，相比于區(qū)域A，區(qū)域B的斷裂破碎帶較少，海底地形較為平緩，所以，兩區(qū)域的重力異常功率譜密度不同，可以從圖3（a）和圖4（a）中看出。當高度計測距精度相同時，重力異常噪聲的功率譜密度相同，由于兩區(qū)域的重力異常功率譜密度不同，則對應(yīng)于信噪比為2.414的頻率點不同，即空間分辨率不同，因此，高度計測距精度對區(qū)域A和區(qū)域B空間分辨率的影響存在差異。

圖7為兩區(qū)域在不同高度計測距精度下，空間分辨率的變化圖，對數(shù)據(jù)進行冪函數(shù)擬合得出，兩區(qū)域空間分辨率DA、DB與高度計測距精度σr的關(guān)系為，擬合相關(guān)系數(shù)分別為0.989 4和0.993 7，說明空間分辨率與高度計測距精度成冪函數(shù)的關(guān)系，驗證了式（15）的正確性。將擬合表達式中的參數(shù)代入式（15）得：bA＝5.358×10－21、cA＝5.720、bB＝1.120×10－18、cB＝5.089。當高度計測距精度提高m倍，區(qū)域A和區(qū)域B的空間分辨率分別提高m0.4238和m0.4891倍。采用式（16）對全球平均空間分辨率進行估計，如圖7所示，即高度計測距精度提高m倍，全球平均空間分辨率提高m0.4644倍。

圖5 不同高度計測距精度下區(qū)域A的一致性系數(shù)Fig.5 Comparison of smoothed coherence between different altimeter noise for areaA

圖6 不同高度計測距精度下區(qū)域B的一致性系數(shù)Fig.6 Comparison of smoothed coherence between different altimeter noise for areaB

圖7 空間分辨率隨高度計測距精度的變化Fig.7 Spatial resolution versus altimeter noise

6 結(jié) 論

基于衛(wèi)星測高的數(shù)學模型和沿軌跡重力異常的反演方法，本文開展了高度計測距精度與沿軌跡重力異常反演精度以及空間分辨率的關(guān)聯(lián)性研究，以Geosat衛(wèi)星的高度計數(shù)據(jù)為對象進行仿真，并通過與相關(guān)文獻中實測數(shù)據(jù)的處理結(jié)果比較，驗證了理論分析的正確性，得到如下主要結(jié)論：

（1）根據(jù)求解沿軌跡重力異常的垂線偏差法，給出沿軌跡重力異常的誤差傳播方程，得出沿軌跡重力異常的反演精度與高度計測距精度成正比關(guān)系。

（2）推導出交叉譜分析法中一致性系數(shù)與信噪比的解析關(guān)系，得出當一致性系數(shù)為0.5時信噪比為2.414的結(jié)論，為沿軌跡空間分辨率的估計提供了新的解決思路。

（3）以上述結(jié)論為基礎(chǔ)，建立了空間分辨率與高度計測距精度的關(guān)聯(lián)性模型，表明空間分辨率與高度計測距精度成冪函數(shù)的關(guān)系，即高度計測距精度提高m倍，全球平均空間分辨率提高m0.4644倍。

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