譚興龍，王 堅(jiān)，趙長(zhǎng)勝

1.江蘇師范大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，江蘇 徐州221116；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院，江蘇 徐州221116

1 前 言

由于難以得到GPS/INS組合系統(tǒng)中目標(biāo)狀態(tài)后驗(yàn)概率密度函數(shù)的完整描述，為實(shí)現(xiàn)最優(yōu)非線性濾波，常采用次優(yōu)近似的估計(jì)方法［1－5］。擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）是一種函數(shù)近似法。其基本思想是圍繞狀態(tài)估值對(duì)非線性模型進(jìn)行一階Taylor展開(kāi)，再結(jié)合經(jīng)典的卡爾曼濾波進(jìn)行估計(jì)，算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)［6－8］。但線性化引起的高階項(xiàng)截?cái)嗾`差會(huì)降低濾波器的精度，且需要計(jì)算非線性函數(shù)的雅克比矩陣。不敏卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）和粒子濾波（particle filter，PF）屬于基于采樣的近似估計(jì)算法。其中PF會(huì)隨機(jī)產(chǎn)生大量粒子，計(jì)算量龐大、實(shí)時(shí)性較差［9］。UKF采用確定的樣本點(diǎn)，通過(guò)樣本點(diǎn)逼近狀態(tài)向量后驗(yàn)概率密度函數(shù)的均值和協(xié)方差，避免了由線性化導(dǎo)致的跟蹤誤差，濾波解精度較高，實(shí)時(shí)性優(yōu)于前者［10－11］。

GPS/INS組合導(dǎo)航非線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)噪聲相關(guān)信息的不確定性以及狀態(tài)模型擾動(dòng)異常等都會(huì)影響UKF濾波解的精度。為此，文獻(xiàn)［12］提出采用預(yù)測(cè)殘差向量協(xié)方差矩陣構(gòu)造最優(yōu)自適應(yīng)因子算法；文獻(xiàn)［13—14］采用方差膨脹的原則將自適應(yīng)因子引入卡爾曼濾波；文獻(xiàn)［15］基于部分狀態(tài)不符值來(lái)構(gòu)造自適應(yīng)因子，降低狀態(tài)異常的權(quán)值。但每一個(gè)狀態(tài)的異常程度不同，單一的自適應(yīng)因子不能精確地修正所有狀態(tài)異常。文獻(xiàn)［16］采用整體異常檢驗(yàn)判斷是否存在異常，利用支持向量回歸算法預(yù)測(cè)次優(yōu)觀測(cè)值輔助自適應(yīng)濾波算法。文獻(xiàn)［17］基于假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)造多重漸消卡爾曼濾波。文獻(xiàn)［18］提出多重衰減因子自適應(yīng)估計(jì)卡爾曼濾波方法，對(duì)系統(tǒng)每個(gè)誤差狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行控制，提高濾波器的估計(jì)性能。文獻(xiàn)［19—20］基于相關(guān)觀測(cè)值的雙因子抗差估計(jì)理論提出多因子自適應(yīng)估計(jì)算法。文獻(xiàn)［21］利用開(kāi)窗法計(jì)算新息序列協(xié)方差的無(wú)偏估計(jì)獲得漸消因子矩陣，對(duì)不同的濾波通道提供不同的漸消速率。文獻(xiàn)［22］利用卡爾曼濾波取得最佳增益時(shí)殘差序列互不相關(guān)，在線自適應(yīng)地調(diào)整多個(gè)漸消因子，提高濾波性能。

以上多漸消因子自適應(yīng)濾波大都基于假設(shè)檢驗(yàn)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其理論前提是殘差向量符合高斯白噪聲的數(shù)字特征分布。而實(shí)際導(dǎo)航中，殘差向量常受到粗差或系統(tǒng)誤差影響失去其高斯白噪聲的數(shù)字特征分布?；诖?，本文在標(biāo)準(zhǔn)UKF算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（radial basis function neural network，RBFNN）算法、多重漸消因子（multiple fading factors，MF）和奇異值分解（singular value decomposition，SVD），提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法。

2 基于多重漸消因子的GPS/INS組合系統(tǒng)自適應(yīng)SVD－UKF算法

以北東地（north－east－down，NED）為導(dǎo)航坐標(biāo)系，取GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)15維，分別為位置、速度、姿態(tài)誤差以及陀螺儀和加速度計(jì)分別在三軸上的漂移。根據(jù)INS誤差方程，結(jié)合GPS和INS在導(dǎo)航系下的位置和速度差，構(gòu)造GPS/INS組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程［23］

式中，xk和xk－1分別為k和k－1時(shí)刻的狀態(tài)向量；yk為觀測(cè)向量；f（·）為狀態(tài)模型；h（·）為觀測(cè)模型；wk為系統(tǒng)噪聲向量；vk觀測(cè)噪聲向量；wk、vk為高斯白噪聲且對(duì)應(yīng)方差分別為Qk、Rk。則SVD－UKF算法計(jì)算步驟如下。

2.1 SVD－UKF算法

2.1.1 狀態(tài)參數(shù)初始化

2.1.2 計(jì)算Sigma點(diǎn)

Sigma點(diǎn)采樣策略是UKF算法的關(guān)鍵，要求其在抓住輸入變量x的分布特征的同時(shí)，又能使逼近輸出性能指標(biāo)的代價(jià)函數(shù)達(dá)到最小。受觀測(cè)條件和模型擾動(dòng)影響，當(dāng)方差矩陣失去對(duì)稱正定性時(shí)，傳統(tǒng)UT變換中的Cholesky分解算法無(wú)法對(duì)Sigma點(diǎn)進(jìn)行取樣，導(dǎo)致程序中斷，穩(wěn)定性差，而SVD算法則可解決上述難點(diǎn)，性能優(yōu)于前者。為抑制方差矩陣負(fù)定性變化，采用基于SVD分解的對(duì)稱采樣策略，即對(duì)于均值為，方差為Pk－1∈Rm×m的m維隨機(jī)變量xk－1，產(chǎn)生的2m＋1個(gè)列向量χk－1（Sigma點(diǎn)）為

式中，Sk－1＝diag（s1，s2，…，sr），s1≥s2≥…≥sr≥0，s1、s2、…、sr為矩陣Pk－1的奇異值；r為Pk－1的秩；Uk－1、Tk－1的列向量分別為Pk－1的左右奇異向量；χk－1∈Rm×（2m＋1）為Sigma點(diǎn)；m為狀態(tài)參數(shù)個(gè)數(shù)；λ＝α2（m＋κ）－m為尺度因子；κ為常數(shù)，設(shè)置為0或3－m；α為Sigma點(diǎn)到的距離，一般取10－4≤α≤1。各個(gè)Sigma點(diǎn)權(quán)值為

2.1.3 時(shí)間更新

2.1.4 測(cè)量更新

2.1.5 濾波更新

式中，Kk為增益矩陣為估計(jì)狀態(tài)；Pk為估計(jì)狀態(tài)協(xié)方差矩陣。

2.2 多重漸消因子

根據(jù)式（1）和式（6），預(yù)測(cè)殘差向量為Vk＝，在濾波器穩(wěn)定狀態(tài)條件下Vk～N（0，Pyy），因此有

γk為服從自由度為m的χ2分布，構(gòu)建以下假設(shè)檢驗(yàn)判決函數(shù)

式中，ξ為假設(shè)檢驗(yàn)的比例因子；檢驗(yàn)門限ε由設(shè)置的置信水平借助χ2分布表取值。

若判決函數(shù)被拒絕，則認(rèn)為濾波器存在異常，采用多重漸消因子σi控制殘差向量中的異常值。令Vi，k為殘差向量Vk中的第i個(gè)元素，Aii為矩陣對(duì)角線中第i個(gè)元素，Bii為矩陣Rk對(duì)角線中第i個(gè)元素，此時(shí)根據(jù)式（6）和式（8）有

根據(jù)式（9），若要濾波器正常，則

由于漸消因子需大于等于1，因此

令多重漸消因子σ＝diag（σ1，σ2，…，σn），σ′＝diag（σ1，σ2，…，σn，1，1，…，1），n為觀測(cè)值個(gè)數(shù)。此時(shí)，SVD－UKF算 法中Pyy、Pxy、Pk更新如式（13）所示

需要指出的是，基于多重漸消因子的自適應(yīng)濾波算法的理論前提是預(yù)測(cè)殘差向量符合均值為零的高斯白噪聲。而當(dāng)GPS觀測(cè)向量中含有觀測(cè)粗差或系統(tǒng)誤差時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響預(yù)測(cè)殘差向量的數(shù)字分布特征，導(dǎo)致算法失效。

3 RBFNN輔助多重漸消因子自適應(yīng)濾波

3.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

RBFNN為兩層的前饋網(wǎng)絡(luò)，輸入層和輸出層由線性神經(jīng)元組成，通過(guò)隱層節(jié)點(diǎn)核函數(shù)對(duì)輸入矢量產(chǎn)生局部響應(yīng)，輸出層對(duì)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出線性加權(quán)，從而實(shí)現(xiàn)輸入空間到輸出空間的映射，使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)函數(shù)逼近和回歸［24］。本文中RBFNN的隱層節(jié)點(diǎn)中的基函數(shù)采用高斯核函數(shù)，則有

式中，Ψk（xi）為隱層的第k個(gè)隱節(jié)點(diǎn)的輸出，xi為第i個(gè)輸入矢量；Ck為第k個(gè)隱節(jié)點(diǎn)的中心；σk為第k個(gè)隱節(jié)點(diǎn)的寬度；j為隱節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。則徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

式中，yi為第i個(gè)輸入矢量；ωk為輸出層與隱層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)間的連接權(quán)值；l為總樣本數(shù)。

值得注意的是模型參數(shù)選取決定擬合效果，文中采用最近鄰聚類學(xué)習(xí)算法確定隱節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)及核函數(shù)中心，基于最小二乘算法求解網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值，采用遺傳算法計(jì)算最優(yōu)核函數(shù)隱節(jié)點(diǎn)的寬度。

3.2 RBFNN輔助自適應(yīng)算法模型

鑒于RBFNN具有較強(qiáng)的非線性映射能力，能以任意精度全局逼近一個(gè)非線性函數(shù)，且運(yùn)算速度快，文中采用RBFNN算法削弱觀測(cè)向量中的粗差或系統(tǒng)誤差對(duì)預(yù)測(cè)殘差向量的影響。由于等歷元時(shí)間間隔內(nèi)GPS觀測(cè)值的位移和速度增量與前一時(shí)刻系統(tǒng)速度、姿態(tài)、INS系統(tǒng)在該時(shí)間間隔內(nèi)的加速度和角速度增量存在某種非線性關(guān)系［25］，基于RBFNN算法建立這種非線性模型的映射關(guān)系。當(dāng)組合系統(tǒng)存在異常時(shí)，利用訓(xùn)練好的映射模型預(yù)測(cè)出下一時(shí)刻的近似觀測(cè)值，削弱可能存在的觀測(cè)異常，再基于多重漸消因子的自適應(yīng)SVD－UKF算法消除潛在的狀態(tài)異常，達(dá)到提高組合系統(tǒng)導(dǎo)航解可靠性和精度的目的。技術(shù)路線如圖1所示，具體步驟如下：

步驟1：基于SVD－UKF算法對(duì)k時(shí)刻的輸入的GPS/INS數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間和測(cè)量更新，通過(guò)判決函數(shù)判斷預(yù)測(cè)殘差向量是否存在異常。

步驟2：若判決函數(shù)被接受，則認(rèn)為系統(tǒng)無(wú)異常，濾波更新后計(jì)算導(dǎo)航解。

步驟3：將k－1時(shí)刻導(dǎo)航解中的速度、姿態(tài)、k時(shí)刻加速度和角速度增量作為輸入，k時(shí)刻觀測(cè)值的位移和速度增量作輸出，進(jìn)行RBFNN訓(xùn)練后，轉(zhuǎn)到步驟1計(jì)算k＋1時(shí)刻。

步驟4：若判決函數(shù)被拒絕，則認(rèn)為系統(tǒng)存在異常，則認(rèn)為觀測(cè)異?；騽?dòng)力學(xué)異常至少存在一項(xiàng)，基于已訓(xùn)練出的映射模型和k－1時(shí)刻導(dǎo)航解中的速度、姿態(tài)、k時(shí)刻加速度和角速度增量作為輸入，預(yù)測(cè)出k時(shí)刻觀測(cè)值代替原觀測(cè)值進(jìn)行測(cè)量更新（削弱潛在的觀測(cè)異常），計(jì)算多重漸消因子（削弱潛在的狀態(tài)異常），進(jìn)行濾波更新計(jì)算出k時(shí)刻的導(dǎo)航解，轉(zhuǎn)到步驟3。

圖1 RBFNN輔助多重漸消自適應(yīng)SVD－UKF算法Fig.1 RBFNN aided multiple fading factors in adaptive SVD－UKF algorithm

4 計(jì)算與分析

儀器采用Leica 1200Base ＆Rover GPS System和SPAN－CPT，采集2166sGPS－RKT（1Hz）和IMU（200Hz）實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。設(shè)GPS－RTK測(cè)量值在緯度、經(jīng)度和高程方向位置中誤差分別為0.1m、0.1m 和0.3m，速度中誤差分別為0.04m/s、0.04m/s和0.08m/s；INS北東地初始位置誤差分別為1m、1m和2m；北東地初始速度為0.5m/s；俯仰翻滾和航向初始姿態(tài)誤差分別為1°、1°和3°；陀螺漂移和加速度偏置誤差分別為5°/h和50μg；陀螺儀和加速度相關(guān)時(shí)間分別為100s和60s。采用后處理計(jì)算導(dǎo)航解驗(yàn)證提出的算法。

4.1 預(yù)測(cè)殘差向量數(shù)字特征分析

預(yù)測(cè)殘差向量為均值等于零的高斯白噪聲，是構(gòu)建文中多漸消因子的前提條件?；赟VD－UKF算法，圖2為位置和速度預(yù)測(cè)殘差向量的自相關(guān)函數(shù)（非偏估計(jì)）及其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)。結(jié)果顯示：①預(yù)測(cè)殘差序列的自相關(guān)函數(shù)中，延遲為零時(shí)，緯度、經(jīng)度和高程方向的殘差自相關(guān)系數(shù)分別0.01m2/s、0.01m2/s、0.1m2/s，速度北東地方向的殘差自相關(guān)系數(shù)分別0.001m2/s3、0.001m2/s3、0.003m2/s3，數(shù)值上約為預(yù)設(shè)GPS觀測(cè)中誤差的二次方，與實(shí)際相符；②從預(yù)測(cè)殘差向量的概率密度函數(shù)中可以看出，預(yù)測(cè)殘差隨機(jī)變量符合高斯分布；③二者皆服從本文多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF濾波的理論前提。

圖2 預(yù)測(cè)殘差向量自相關(guān)函數(shù)與概率密度函數(shù)Fig.2 Autocorrelation functions and probability density functions of the predicted residual vectors

為驗(yàn)證觀測(cè)值含粗差時(shí)預(yù)測(cè)殘差向量的數(shù)字特征，選取觀測(cè)質(zhì)量較好的600～800s實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在GPS觀測(cè)值緯度方向每間隔20s加入均值為3m、中誤差0.1m的觀測(cè)粗差；在速度東方向每間隔20s加入均值為0.3m/s、中誤差0.01m/s的觀測(cè)粗差。圖3為加入觀測(cè)粗差后，采用SVD－UKF算法，緯度和速度東方向預(yù)測(cè)殘差向量的自相關(guān)函數(shù)（非偏估計(jì)）與概率密度函數(shù)。從圖中可以看出：①觀測(cè)值含有粗差或系統(tǒng)誤差時(shí)，觀測(cè)新息的預(yù)測(cè)殘差向量的具有較強(qiáng)的相關(guān)性，不符合白噪聲的特征分布；②緯度方向和速度東方向上的預(yù)測(cè)殘差向量分別在3m、0.3m/s處存在較突出的概率密度分布（箭頭處），與所加觀測(cè)粗差一致，不符合高斯白噪聲的零均值正態(tài)分布。

為驗(yàn)證多重漸消因子自適應(yīng)效果，在上述的試驗(yàn)樣本中，載體坐標(biāo)系Z方向上INS輸出比力再加入N（0，2）的隨機(jī)誤差。圖4為速度地方向加入狀態(tài)異常、緯度和速度東方向加入觀測(cè)粗差后的多重漸消因子。圖中可以看出：①速度地方向的漸消因子由所加入的狀態(tài)異常導(dǎo)致，該漸消因子可以合理調(diào)節(jié)該處的狀態(tài)方差，削弱此異常狀態(tài)對(duì)導(dǎo)航解的貢獻(xiàn)；②緯度和速度北方向未出現(xiàn)異常，高程方向存在較小的異常由GPS高程方向精度較弱導(dǎo)致；③緯度和速度東方向的漸消因子由觀測(cè)粗差導(dǎo)致，該漸消因子錯(cuò)誤地將觀測(cè)粗差歸結(jié)到狀態(tài)異常，進(jìn)一步放大了觀測(cè)粗差對(duì)導(dǎo)航解的影響。

圖3 預(yù)測(cè)殘差自相關(guān)函數(shù)與概率密度函數(shù)（含觀測(cè)粗差）Fig.3 Autocorrelation functions and probability density（observation abnormalities contained）

圖4 多重漸消因子（含觀測(cè)粗差和狀態(tài)異常）Fig.4 Multiple fading factors（observation and state abnormalities contained）

4.2 RBFNN輔助多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法分析

當(dāng)觀測(cè)值含有粗差或系統(tǒng)誤差時(shí)，預(yù)測(cè)殘差向量為有色噪聲，多漸消因子自適應(yīng)算法失去了應(yīng)用的理論前提。為削弱觀測(cè)向量中有色噪聲的影響，采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測(cè)次優(yōu)觀測(cè)值代替觀測(cè)粗差。以200～600s數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本（INS速度、姿態(tài)、加速度增量、姿態(tài)增量為訓(xùn)練輸入，GPS位置增量為訓(xùn)練輸出），構(gòu)建回歸模型。圖5為采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)緯度坐標(biāo)增量和速度東方向增量的訓(xùn)練及預(yù)測(cè)結(jié)果。其中，緯度方向訓(xùn)練、預(yù)測(cè)中誤差分別為0.068m、0.16m；速度東方向訓(xùn)練、預(yù)測(cè)中誤差分別為1.48e－4m/s、2.43e－4m/s?？梢钥闯鲈撍惴ㄔ谖恢煤退俣壬项A(yù)測(cè)誤差約為訓(xùn)練誤差的2倍，位置和速度都可以獲得較高精度。

利用SVD－UKF算法解算不含觀測(cè)粗差和狀態(tài)異常原始觀測(cè)值，以解算出的車載組合系統(tǒng)的導(dǎo)航解作為真值。圖6為采用標(biāo)準(zhǔn)SVD－UKF算法（SVD－UKF）、多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法（MFUKF）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法（NNMFUKF），對(duì)速度地方向含狀態(tài)異常、緯度和速度東方向含觀測(cè)粗差的600～800s數(shù)據(jù)進(jìn)行解算的誤差圖。表1為圖6的統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯觯孩賹?duì)標(biāo)準(zhǔn)SVDUKF算法而言，由于INS短時(shí)精度高，INS結(jié)果在濾波器中對(duì)導(dǎo)航解的貢獻(xiàn)較大，因而高程方向上存在的狀態(tài)異常引起導(dǎo)航解誤差較大，緯度和速度東方向存在觀測(cè)粗差對(duì)導(dǎo)航解影響較?。虎诙嘀貪u消因子自適應(yīng)算法可以單獨(dú)調(diào)整每個(gè)濾波通道，較好地消除了高程方向狀態(tài)異常，但當(dāng)觀測(cè)值含粗差時(shí)會(huì)擴(kuò)大觀測(cè)粗差對(duì)導(dǎo)航解的貢獻(xiàn)；③神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的多重漸消因子自適應(yīng)SVDUKF算法即能同時(shí)消除觀測(cè)粗差和狀態(tài)異常對(duì)導(dǎo)航解的貢獻(xiàn)。

表1 3種算法誤差統(tǒng)計(jì)Tab.1 Errors statistics comparison of the three algorithms

分析上述結(jié)果可以看出：①當(dāng)觀測(cè)向量不受粗差或系統(tǒng)誤差影響時(shí)，預(yù)測(cè)殘差向量符合高斯白噪聲的數(shù)字特征分布，將漸消因子引入SVDUKF算法中，能夠準(zhǔn)確消除各狀態(tài)中不同幅度的異常，提高了導(dǎo)航解精度；②當(dāng)觀測(cè)向量受粗差或系統(tǒng)誤差影響時(shí)，基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法可以同時(shí)削弱觀測(cè)粗差、消除系統(tǒng)狀態(tài)異常，提高了濾波器導(dǎo)航解的可靠性。

5 結(jié) 論

UKF算法采用確定性采樣策略逼近非線性分布，具有精度高、計(jì)算簡(jiǎn)單、不需計(jì)算雅可比矩陣等優(yōu)點(diǎn)，將其引入GPS/INS組合導(dǎo)航非線性系統(tǒng)計(jì)算導(dǎo)航解，采用SVD分解代替?zhèn)鹘y(tǒng)的UT算法，抑制先驗(yàn)協(xié)方差矩陣負(fù)定性變化，提高了濾波算法中的數(shù)值穩(wěn)定性。通過(guò)理論推導(dǎo)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)殘差向量的數(shù)字特征分析，驗(yàn)證了多重漸消因子用于SVD－UKF自適應(yīng)算法的可行性。引入徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法削弱觀測(cè)異常對(duì)預(yù)測(cè)殘差向量高斯白噪聲分布特性的影響，拓展了多重漸消自適應(yīng)算法應(yīng)用范圍。使得該算法能在觀測(cè)值存在異常的情況下，實(shí)現(xiàn)每個(gè)濾波通道下不同幅度的自適應(yīng)效果，為GPS/INS組合導(dǎo)航非線性系統(tǒng)次優(yōu)估計(jì)算法提供了一種解決思路。

圖5 RBFNN訓(xùn)練及預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.5 Results of RBFNN trained and predicted data

圖6 3種方案誤差對(duì)比（含觀測(cè)粗差和狀態(tài)異常）Fig.6 Errors comparison of SVD－UKF，MFUKF and NNMFUKF（observation and state abnormalities contained）

［1］MOHAMED A H，SCHWARZ K P.Adaptive Kalman Filtering for INS/GPS［J］.Journal of Geodesy，1999，73（4）：193－203.

［2］YANG Y，HE H，XU G.Adaptively Robust Filtering for Kinematic Geodetic Positioning［J］.Journal of Geodesy，2001，75（2－3）：109－116.

［3］YANG Y，GAO W，ZHANG X.Robust Kalman Filtering with Constraints：A Case Study for Integrated Navigation［J］.Journal of Geodesy，2010，84（6）：373－381.

［4］LI Bofeng，SHEN Yunzhong.Equivalent Residual Product Based Outlier Detection for Variance and Covariance Component Estimation［J］.Acta Geodaetica et Cartographic Sinica，2011，40（1）：10－14.（李博峰，沈云中.基于等效殘差積探測(cè)粗差的方差－協(xié)方差分量估計(jì)［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40（1）：10－14.）

［5］QIN Yongyuan，ZHANG Houyue，WANG Shuhua.Kalman Filter and Integrated Navigation Principle［M］.Xi’an：Northwest Industry University Press，2012：25－48.（秦永元，張洪鉞，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2012：25－48.）

［6］DING W，WANG J，RIZOS C，et al.Improving Adaptive Kalman Estimation in GPS/INS Integration［J］.Journal of Navigation，2007，60（3）：517－529.

［7］SHI Xingxi，WANG Tiesheng，HUANG Bo.Integrated Localization Algorithm for DGPS/DR Based on SUT－EKF［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（5）：528－533.（石杏喜，王鐵生，黃波，等.基于SUTEKF的DGPS/DR組合定位算法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2010，39（5）：528－533.）

［8］HIDE C，MOORE T，SMITH M.Adaptive Kalman Filtering for Low－cost INS/GPS［J］.Journal of Navigation，2003，56（1）：143－152.

［9］ARULAMPALAM M S，MASKELL S，GORDON N，et al.A Tutorial on Particle Filters for Online Nonlinear/non－Gaussian Bayesian Tracking［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2002，50（2）：174－188.

［10］JULIER S J，UHLMANN J K.New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems［C］∥Aero Sense’97.［S.l.］：International Society for Optics and Photonics，1997：182－193.

［11］JULIER S J，UHLMANN J K.Reduced Sigma Point Filters for the Propagation of Means and Covariances through Nonlinear Transformations［C］∥Proceedings of the American Control Conference.Anchorage：IEEE，2002：887－892.

［12］YANG Y，GAO W.An Optimal Adaptive Kalman Filter［J］.Journal of Geodesy，2006，80（4）：177－183.

［13］GAO Weiguang，HE Haibo，CHEN Jinping.An Adaptive UKF Algorithm and Its Application for GPS/INS Integrated Navigation System［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2008，28（6）：505－509.（高為廣，何海波，陳金平.自適應(yīng)UKF算法及其在GPS/INS組合導(dǎo)航中的應(yīng)用［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（6）：505－509.）

［14］GAO Weiguang，YANG Yuanxi，ZHANG Ting.Neural Network Aided Adaptive Filtering for GPS/INS Integrated Navigation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36（1）：26－30.（高為廣，楊元喜，張婷.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的GPS/INS組合導(dǎo)航自適應(yīng)濾波算法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2007，36（1）：26－30.）

［15］WU Fumei.Error Compensation and Extension of Adaptive Filtering Theory in GNSS/INS Integrated Navigation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（3）：401－401.（吳富梅.GNSS/INS組合導(dǎo)航誤差補(bǔ)償與自適應(yīng)濾波 理 論 的 拓 展［J］.測(cè) 繪 學(xué) 報(bào)，2010，40（3）：401－401.）

［16］TAN Xinglong，WANG Jian，HAN Houzeng.SVR Aided Adaptive Robust Filtering Algorithm for GPS/INS Integrated Navigation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43（6）：590－606.（譚興龍，王堅(jiān)，韓厚增.支持向量回歸輔助的GPS/INS組合導(dǎo)航抗差自適應(yīng)算法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2014，43（6）：590－606.）

［17］ZHANG Chaowei，F(xiàn)U Li，F(xiàn)AN Yuezu.Multiple Fading Kalman Filter Based on Hypothesis Testing［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2004，30（1）：18－22.（莊朝文，富立，范躍祖.一種基于假設(shè)檢驗(yàn)的多重漸消卡爾曼濾波［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，30（1）：18－22.）

［18］GENG Yanrui，GUO Wei，CUI Zhongxing.Comparative Research on Multiple Fading Kalman Filter in Integrated Navigation System［J］.Journal of Chinese Inertial Technology，2004，12（2）：18－22.（耿延睿，郭偉，崔中興.組合導(dǎo)航系統(tǒng)多重衰減因子自適應(yīng)估計(jì)算法比較研究［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2004，12（2）：18－22.）

［19］CUI X，YANG Y.Adaptively Robust Filtering with Classified Adaptive Factors［J］.Progress in Natural Science，2006，16（8）：846－851.

［20］YANG Y，CUI X.Adaptively Robust Filter with Multi Adaptive Factors［J］.Survey Review，2008，40（309）：260－270.

［21］GAO W，MIAO L，NI M.Multiple Fading Factors Kalman Filter for SINS Static Alignment Application［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2011，24：476－483.

［22］QIAN Minghua，GE Lei，PENG Yu.Multiple Fading Factors Kalman Filter and Its Application in SINS Initial Alignment［J］.Journal of Chinese Inertial Technology，2012，20（3）：287－291.（錢華明，葛磊，彭宇.多漸消因子卡爾曼濾波及其在SINS初始對(duì)準(zhǔn)中的應(yīng)用［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，20（3）：287－291.）

［23］KAYGISIZ B H，ERKMEN A M，ERKMEN I.Enhancing Positioning Accuracy of GPS/INS System during GPS Outages Utilizing Artificial Neural Network［J］.Neural Processing Letters，2007，25（3）：171－186.

［24］SESHAGIRI S，KHALIL H K.Output Feedback Control of Nonlinear Systems Using RBF Neural Networks［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2000，11（1）：69－79.

［25］XU Z，LI Y，RIZOS C，et al.Novel Hybrid of LS－SVM and Kalman Filter for GPS/INS Integration［J］.Journal of Navigation，2010，63（2）：289－299.