劉 揚(yáng)

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)部，遼寧 遼陽(yáng) 111003）

0 引言

中學(xué)物理只能解決常量和恒矢量等簡(jiǎn)單特殊的一類物理問(wèn)題，依靠初等數(shù)學(xué)和物理概念就可以解決；大學(xué)物理解決的是更具一般性復(fù)雜的變量問(wèn)題，采用微積分的思想和方法解決復(fù)雜變化的問(wèn)題，使大學(xué)物理相比于中學(xué)物理有質(zhì)的飛躍。相對(duì)于高等數(shù)學(xué)只注重微積分性質(zhì)和計(jì)算，大學(xué)物理側(cè)重于應(yīng)用微積分對(duì)物理模型的建立。其中最關(guān)鍵的是如何應(yīng)用微元思想恰當(dāng)?shù)倪x取微元，以體現(xiàn)元過(guò)程，元作用和元貢獻(xiàn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)[1]。

1 微元思想

對(duì)所研究問(wèn)題的區(qū)間進(jìn)行無(wú)限分割，在分割后足夠小的區(qū)間內(nèi)選擇微元，變化的物理量就可以近似看作常量或者恒量，這樣把復(fù)雜變化的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單特殊的物理模型，然后對(duì)分割后的所有區(qū)間累加求和，應(yīng)用定積分的思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

1.1 如何選取微元

選取微元的目的是把變化的物理量在分割后的區(qū)間內(nèi)近似為不變的物理量，把不均勻的物理量在分割后的區(qū)間內(nèi)近似為均勻的物理量，把曲線在分割后的區(qū)間內(nèi)近似為直線。如圖1萬(wàn)有引力的功的計(jì)算。質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M物體的引力場(chǎng)中，沿路徑L由A點(diǎn)（r?

1）運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)（r?2）所做的功[2]。 設(shè)C為曲線上任意一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)M在C點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力C 處于不同的位置，F(xiàn)?的大小和方向都不同。用中學(xué)方法無(wú)法之間求解，應(yīng)用微積分思想把路徑無(wú)限分割成無(wú)限多的小區(qū)間dl，在dl內(nèi)F?大小近似相等，方向一致，此時(shí)變力轉(zhuǎn)化為恒力，由于dl足夠小，曲線近似為直線，在區(qū)間dl內(nèi)F?的元功dW=F cosθdl=F?·dr?，然后對(duì)所有區(qū)間累加求和，即對(duì)每個(gè)區(qū)間的元功積分有

圖1

圖2

圖3

1.2 微元選取不唯一時(shí)應(yīng)考慮構(gòu)造的被積函數(shù)盡可能簡(jiǎn)單，并且能用一元積分就不用重積分，能用線積分就不用面積分。如圖2求電荷面密度為σ的均勻帶電薄圓盤(pán)在其軸線上x(chóng)處的場(chǎng)強(qiáng)分布，設(shè)圓盤(pán)半徑為R。如果把圓環(huán)在直角坐標(biāo)系下分割成無(wú)限小區(qū)間ds=dxdy或者在極坐標(biāo)下分割為ds=ρdρdθ，直角坐標(biāo)系下構(gòu)造的被積函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜，積分難度大；極坐標(biāo)系下，由于距離不同，被積函數(shù)難以構(gòu)造。

因此我們采用轉(zhuǎn)化的思想分兩步求解，第一步先求半徑為R帶電量為q的均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)x的場(chǎng)強(qiáng)分布。取如圖3所示坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)距離環(huán)心O的距離為x，在環(huán)上取微元段dl，所帶電量為dq=在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為r，由于電荷分布的對(duì)稱性可知圓環(huán)上各電荷元在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)dE?分布也具有對(duì)稱性，即dE?大小相等，方向分別沿頂角為2θ的圓錐面母線方向。因此，dE?沿垂直于x軸方向的分量dE?⊥相互抵消，即E?⊥=0。而各電荷元在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)dE?沿x軸的分量dE?‖都具有相同的方向， 且dE?

x=dE?cosθ， 故P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為，方向沿x軸。

第二步再把帶電圓盤(pán)可以看作是許多帶電細(xì)圓環(huán)組成，取半徑為r，寬為 dr的細(xì)圓環(huán)，此環(huán)帶的電荷為 dq=σds=σ·2πrdr，應(yīng)用均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)分布方向沿 x 方向）[3]，可以用一元積分解決。設(shè)選取的圓環(huán)距離中心不同，半徑r不同，圓環(huán)所帶電量不同，所以d都是沿x方向，對(duì)所有圓環(huán)的

2 結(jié)論

微元思想的貫穿于大學(xué)物理的多個(gè)章節(jié)，學(xué)會(huì)應(yīng)用微元思想恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造物理模型，確定積分上下限，求解更為復(fù)雜的物理問(wèn)題對(duì)初學(xué)者顯得尤為重要。

［1］韓風(fēng)華.談物理學(xué)解題的微積分應(yīng)用[J].現(xiàn)代物理知識(shí),2000(增刊)：151-152.

［2］王少杰,顧牧.新編基礎(chǔ)物理學(xué)[M].高等教育出版社,2009：41-42.

［3］馬文蔚,等.物理學(xué)[M].高等教育出版社,2006：159-160.