徐文彬

（南京師范大學(xué) 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210097）

近日，我們有幸先后 “連續(xù)”觀摩了江蘇的揚(yáng)州、無錫和淮安三所小學(xué)三年級(jí)第一學(xué)期同樣內(nèi)容的三節(jié)數(shù)學(xué)課：一一間隔排列。通過與授課教師及其同伴的課間、課后溝通與交流，認(rèn)為現(xiàn)如今小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中需要著力思考并解決這樣三個(gè)基本問題：如何認(rèn)識(shí)所教授的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容的心理過程或特點(diǎn)，以及如何選擇必要的教學(xué)技術(shù)支持。

一、學(xué)科內(nèi)容

“一一間隔排列”這節(jié)課的內(nèi)容大致是兩種（不同）物體一一間隔排列的含義及其所蘊(yùn)含的兩種物體之間 “數(shù)量關(guān)系”規(guī)律。因此，教材把其歸類于 “探索規(guī)律”之列，自有其道理之所在。教材的題名是 “間隔排列”，而三位授課老師均把其改為 “一一間隔排列”。何以會(huì)有如此之改動(dòng)，實(shí)為教材內(nèi)容之所限定考慮也。

就所教授學(xué)科內(nèi)容而言，盡管有些許不同 （有一位授課教師把 “排成一行”拓展至 “排成一圈”），但三位授課教師均基本依據(jù)教材內(nèi)容而施教，也都能夠達(dá)成課前所預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)或?qū)W習(xí)目標(biāo)。由此可見，總體而言，三位授課教師對(duì)教材的把握與對(duì)教學(xué)的掌控均值得肯定與鼓勵(lì)。那么，就“一一間隔排列”這一授課內(nèi)容而言，是否還有值得進(jìn)一步思考與改進(jìn)之處呢？

其實(shí)，值得改進(jìn)的地方或許還有很多，但數(shù)學(xué)思想方法及其所依據(jù)的數(shù)學(xué)思維可能最值得我們深思與謀劃。這里所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法既有 “一一對(duì)應(yīng)”，又有 “分類”，而其背后所依據(jù)的思維活動(dòng)則是抽象與概括，以及 “量化思維”，而所有這些數(shù)學(xué)思想方法與思維活動(dòng)都源自 “一一間隔排列”這一概念或活動(dòng)，與此同時(shí)，分析與綜合始終貫穿其中。概而言之，“一一間隔排列”這節(jié)課的授課學(xué)科內(nèi)容可以考慮但不必包括以下幾個(gè)方面。

1．兩種物體的 “一一間隔排列”之確切含義及其各種具體情況。具體而言，我們需要 “邏輯地”思考 “一一間隔排列”的內(nèi)涵與外延，即，何謂兩種物體的 “一一間隔排列”？它包括哪些具體情況？我們甚至還可以追問：兩種物體各一個(gè)能否構(gòu)成 “一一間隔排列”？?jī)煞N物體最少各有幾個(gè)或最少共有幾個(gè)才能夠構(gòu)成 “一一間隔排列”？

2．兩種物體的 “一一間隔排列”各種具體情況是否可以歸類或分類？分類的依據(jù)是否明確？具體而言，我們是否可以把 “一一間隔排列”的所有情況都列舉出來？如果可以，我們將如何對(duì)其歸類？如果不行，我們又將如何對(duì)其歸類？不管如何歸類，我們是否都可以明確其歸類的標(biāo)準(zhǔn)或依據(jù)？

3．由歸類是否可以較為簡(jiǎn)單地 “看出”（即概括出）兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系？具體而言，可先就每一類抽象概括出該類情況中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系，然后再抽象概括出 “一般情況”下兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系。

4．按照教材的說法，這里的兩種物 “一一間隔排列”中的 “排列”是 “排成一行”（其實(shí) “排成一列”也行）。但是，日常生活中隨處可見 “排成一圈”的情況。因此，我們似乎也可以適時(shí)地考慮 “排成一行”與 “排成一圈”之間的關(guān)系或轉(zhuǎn)換。

5．我們甚至還應(yīng)該知道，這里的兩種物 “一一間隔排列”其實(shí)只是組合數(shù)學(xué)中 “排列組合”知識(shí)模塊中的一點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)容而已。

由此，圖1可以是 “一一間隔排列”這節(jié)課授課學(xué)科內(nèi)容的一種選擇 （僅供參考）。

圖1 兩種物體 “一一間隔排列”知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

二、學(xué)習(xí)心理

行文至此，讀者尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教師們，可能會(huì)產(chǎn)生如下疑惑：我們小學(xué)三年級(jí)學(xué)生 （8歲左右的兒童）能夠如此嚴(yán)密地思考問題嗎？我們?nèi)绾尾拍軌蛉绱藝?yán)密地教授他們?nèi)绱藝?yán)密的思維呢？

其實(shí)，這里可能存在著一個(gè)誤解。上述學(xué)科內(nèi)容的分析是針對(duì)我們教師而非學(xué)生而言的，也就是說，不管我們?nèi)绾谓淌谶@些學(xué)科內(nèi)容，教師首先必須嚴(yán)格地 “按照數(shù)學(xué)的內(nèi)在理據(jù)”來分析所教授學(xué)科的內(nèi)容，以便 “居高臨下”或 “高觀點(diǎn)”地把握這一 “課時(shí)內(nèi)容”，并有意無意、潛移默化地滲透之。因?yàn)椋┯腥绱?，我們才有可能在具體的課堂教學(xué)中做到游刃有余和得心應(yīng)手。至于如何教授這些內(nèi)容？則還需要我們從 “兒童的視角”尤其是其學(xué)習(xí)心理來進(jìn)一步思考與分析。

依據(jù)皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論，8歲左右的兒童其認(rèn)知發(fā)展水平主要處于從前運(yùn)算階段到具體運(yùn)算階段的認(rèn)知發(fā)展階段。而身處此認(rèn)知發(fā)展階段的兒童，其學(xué)習(xí)心理尤其是其認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)主要是通過對(duì)自身活動(dòng)的反身抽象，可達(dá)成 “對(duì)活動(dòng)對(duì)象”的相關(guān)認(rèn)識(shí)，并獲得相應(yīng)的概念認(rèn)知。就“一一間隔排列”學(xué)科內(nèi)容 （圖1所示）之學(xué)習(xí)而言，三年級(jí)學(xué)生可通過自身具體的操作活動(dòng)與反省觀察，以形成 “一一間隔排列”（排成一行）之概念，并通過 “社會(huì)協(xié)商”（即同伴之間的溝通、交流與研討）達(dá)成對(duì) “一一間隔排列”各種具體情況進(jìn)行分類的依據(jù)之認(rèn)同 （排成一圈則僅是其中一類的 “變形”）；至于 “一一間隔排列”中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系，三年級(jí)學(xué)生則可通過其已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn) （即此前的 “一一對(duì)應(yīng)”操作活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)及其認(rèn)知）或?qū)唧w事例的量化觀察、抽象與概括而較為容易地得出。

具體而言，就三年級(jí)學(xué)生之學(xué)習(xí)而言，“一一間隔排列”概念的獲得應(yīng)主要以概念形成的方式來達(dá)成，而 “分類依據(jù)”的認(rèn)同則應(yīng)主要以 “社會(huì)協(xié)商”活動(dòng)來求得，至于 “一一間隔排列”中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系則可通過 “再現(xiàn)” “一一對(duì)應(yīng)”活動(dòng)來獲得。

由此可見，圖2是小學(xué)三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí) “一一間隔排列”數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容 （圖1所示）的一種可能的心理過程 （僅供參考）。

圖2 兩種物體 “一一間隔排列”學(xué)習(xí)心理過程圖

其實(shí)，圖2中的 “上半部分”只是小學(xué)生學(xué)習(xí)這類數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的一般心理過程或認(rèn)知過程，而其 “下半部分”則是他們學(xué)習(xí) “一一間隔排列”這一數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容 （圖1所示）可能的具體心理過程或認(rèn)知過程。

三、技術(shù)支持

行文至此，讀者尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教師們，很可能會(huì)認(rèn)為，“一一間隔排列”（圖1所示）的教學(xué)設(shè)計(jì)之核心部分，即教學(xué)過程或教學(xué)環(huán)節(jié)已基本完成，即圖2。

其實(shí)，這里可能存在著另一個(gè)誤解。上述學(xué)習(xí)心理過程或認(rèn)知過程分析是一般抽象的 （即脫域的）而非具體實(shí)在的 （即浸域的，也即具有現(xiàn)實(shí)可行性）。也就是說，無論如何，我們也不能僅僅依據(jù)或直接運(yùn)用圖2來實(shí)施 “一一間隔排列”（圖1所示）的課堂教學(xué)。但是，如果沒有像圖2那樣所示的學(xué)習(xí)心理之分析 （可以不必像圖2那樣明確地給出，但心中得有數(shù)），那么我們的課堂教學(xué)實(shí)施就極有可能導(dǎo)致這樣一種結(jié)果，即實(shí)足的可信而與此同時(shí)卻又是確實(shí)的無效，也就是說，盡管課堂上師生表現(xiàn)出高度的一致，但學(xué)生卻并沒有切實(shí)地掌握或領(lǐng)會(huì)教師所教授的學(xué)科內(nèi)容。因?yàn)?，唯有如此，我們的課堂教學(xué)才有可能建立在科學(xué) （即有證據(jù)）的基礎(chǔ)之上，努力做到 “循證教育”。至于如何具體地設(shè)計(jì)教學(xué)過程或教學(xué)環(huán)節(jié)，則還需要我們從 “技術(shù)的視角”來加以考察與分析。

一提到教學(xué)技術(shù)，我們一般都會(huì) “條件反射”地想到多媒體、網(wǎng)絡(luò)及至諸如模型、掛圖等 “實(shí)體技術(shù)”，而鮮有其他。其實(shí)，技術(shù)有軟、硬之別。上述教學(xué)技術(shù)多屬于 “硬技術(shù)”，而 “軟技術(shù)”在課堂教學(xué) （設(shè)計(jì)）中則多體現(xiàn)為教學(xué)思路的構(gòu)思，教學(xué)過程或教學(xué)環(huán)節(jié)的建構(gòu)， “硬技術(shù)”的呈現(xiàn)（出場(chǎng)與退場(chǎng)），教學(xué)活動(dòng)的組織與協(xié)調(diào)，以及教學(xué)語言的轉(zhuǎn)接與引導(dǎo)。事實(shí)上，教學(xué)過程或教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)不能只注重 “硬技術(shù)”的使用，可能更應(yīng)該看重 “軟技術(shù)”的支撐。因?yàn)椋ㄕn堂）教學(xué)是培育人的教育活動(dòng)，而非 “復(fù)制人”的生產(chǎn)活動(dòng)。

就 “一一間隔排列”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)而言，其教學(xué)思路可以如此構(gòu)思：首先，依據(jù)學(xué)科內(nèi)容分析（圖1所示），明確教學(xué)目標(biāo)或?qū)W習(xí)目標(biāo)；其次，參照學(xué)習(xí)心理分析 （圖2所示），建構(gòu)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)；再次，選擇適宜的 “操作”活動(dòng) （譬如，邀請(qǐng)授課班級(jí)的文體委員，請(qǐng)他／她就班上若干名男、女同學(xué)，進(jìn)行隊(duì)列變換），構(gòu)建教學(xué)過程或教學(xué)環(huán)節(jié)；最后，自我判斷與教學(xué)反思。

教學(xué)過程或教學(xué)環(huán)節(jié)，試可作如下建構(gòu)：第一，操作活動(dòng)，即兩種 （不同）“物體”的任意排列，譬如，上述教學(xué)思路中的 “操作活動(dòng)”，但應(yīng)明確提出對(duì)排列進(jìn)行分類的具體要求；第二，就學(xué)生對(duì)排列的分類進(jìn)行討論與交流，以明確其中的“間隔排列”與 “一一間隔排列”（一個(gè)隔著一個(gè)，至少三個(gè)）；第三，回到教材，就其中的三個(gè)案例請(qǐng)同學(xué)們指出其 “一一間隔排列”中的 “兩種不同物體”（兔子與蘑菇、木樁與籬笆、夾子與手帕）；第四，請(qǐng)同學(xué)們就 “操作活動(dòng)”中的 “一一間隔排列”進(jìn)行再次分類，并在討論、交流基礎(chǔ)上明確“男生與女生之間的數(shù)量關(guān)系” （相等或相差1）；第五，再次回到教材，就其中的三個(gè)案例請(qǐng)同學(xué)們指出其中 “兩種不同物體之間的數(shù)量關(guān)系”（都相差1）；第六，獨(dú)立思考，自主練習(xí)，完成教材中的兩個(gè)問題；第七，小結(jié) （“一一間隔排列”及其“兩種物體的數(shù)量關(guān)系”，以及如何分類）；第八是拓展 （盡可能多地列舉生活中一一間隔排列的實(shí)例，哪一類一一間隔排列能夠轉(zhuǎn)換成 “一個(gè)圈”而仍然是一一間隔排列？）。三位授課教師的教學(xué)過程盡管都有操作活動(dòng)，并滲透了 “一一對(duì)應(yīng)”，但幾乎毫無例外地都缺少對(duì) “分類”的關(guān)注。

“硬技術(shù)”的出場(chǎng)與退出，試可作如下設(shè)想：就上述教學(xué)過程而言，“硬技術(shù)”（譬如，黑板板書或媒體課件）應(yīng)在兩次分類討論、交流時(shí)出場(chǎng)，而在其他教學(xué)環(huán)節(jié)可不出場(chǎng) （但也可以選擇出場(chǎng)，譬如，小結(jié)環(huán)節(jié)）。

教學(xué)活動(dòng)的組織與協(xié)調(diào)，試可作如下謀劃：首先，由于操作活動(dòng)是 “男女生的隊(duì)列變換”，所以應(yīng)考慮教室空間大小的問題；其次，還應(yīng)考慮學(xué)生多少的問題 （即班額問題）；再次，必須提出明確的操作要求 （譬如，如何把每一種變換隊(duì)列記錄下來？），以有序地協(xié)調(diào)隊(duì)列變換 “操作活動(dòng)”；最后，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生有效地使用教材 （就上述教學(xué)過程而言，至少有三次）。

教學(xué)語言的轉(zhuǎn)接與引導(dǎo)，試可作如下思考：就上述教學(xué)過程而言，這里至少有四種語言之間需要轉(zhuǎn)換或引導(dǎo)，即活動(dòng)語言、數(shù)學(xué)語言、書面語言和口頭語言。第一，操作活動(dòng)需要在書面語言或口頭語言的引導(dǎo)下形成其活動(dòng)語言；第二，活動(dòng)語言的記錄則需要口頭語言的轉(zhuǎn)接而形成數(shù)學(xué)語言，并用書面語言保存下來；第三，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言的理解、把握乃至運(yùn)用則需要教師口頭語言或身體語言（活動(dòng)語言之一種）的引導(dǎo)。其實(shí)，這里還有教師語言與學(xué)生語言之間的區(qū)分及其轉(zhuǎn)接。這里的關(guān)鍵問題與要點(diǎn)是教師應(yīng)依據(jù)對(duì)學(xué)生語言的瞬時(shí) “情景分析”和長(zhǎng)期 “修煉反思”，來組織自己的語言，以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)與開展教學(xué)。三位授課教師都有不同程度地忽視學(xué)生語言的現(xiàn)象，忽視學(xué)生語言其實(shí)就是忽視學(xué)生思維，因?yàn)檎Z言是思維的外在形式，而學(xué)生思維既是我們教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是我們教學(xué)的旨趣所在，更是我們教學(xué)契機(jī)把握的切入口。

上述關(guān)于課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中的三個(gè)基本問題的分析與論述，盡管只是結(jié)合小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期“一一間隔排列”這一具體內(nèi)容來展開與呈現(xiàn)的，其實(shí)它也不失為 “一般課堂教學(xué)設(shè)計(jì)”分析框架之可能選擇的一種。

［1］ 徐文彬．現(xiàn)實(shí)社會(huì)中兒童學(xué)習(xí)若干現(xiàn)象的檢討［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，（1）：17-20．

［2］ 徐文彬．試論數(shù)學(xué)文化視域中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) ［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，（1）：13-17．

［3］ 徐文彬．關(guān)于數(shù)學(xué)文化視域中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的構(gòu)想［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，（5）：1-5．

［4］ 徐文彬．關(guān)于數(shù)學(xué)文化視域中數(shù)學(xué)教學(xué)的若干思考［J］．課程·教材·教法，2012，（11）：39-44．

［5］ 侯正海，徐文彬．試論小學(xué)數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的時(shí)機(jī)把握 ［J］．課程·教材·教法，2013，（9）：56-59．

［6］ 徐文彬．如何認(rèn)識(shí) “義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中的三重聯(lián)系 ［J］．江蘇 教育 （小學(xué)教學(xué)），2013，（2）：23-25．

［7］ 徐文彬，彭亮．循證教育的方法論考察 ［J］．教育研究與實(shí)驗(yàn)，2014，（4）：10-14．

［8］ 古鐵雷斯，伯拉．?dāng)?shù)學(xué)教育心理學(xué)研究手冊(cè) ［M］．徐文彬，喻平，孫玲，譯．桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2009．

［9］ 國(guó)際教育局編．教育實(shí)踐系列 （1999-2007）［M］．徐文彬，編譯．桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2012．

［10］ M·杰恩·弗利納著．課程動(dòng)態(tài)學(xué)：再造心靈［M］．綠聯(lián)芳，邵華，譯．北京：教育科學(xué)出版社，2013．

［11］ 小威廉E·多爾，M·杰恩·弗利納，唐娜·楚伊特，約翰·圣·朱利恩．混沌、復(fù)雜性、課程與文化：一場(chǎng)對(duì)話 ［M］．余潔，譯．北京：教育科學(xué)出版社，2014．