卞少云

閱讀理解型問題能較好地考查學(xué)生的自學(xué)能力、閱讀理解能力、觀察分析能力、實(shí)踐能力、建模能力及數(shù)學(xué)歸納能力等. 它要求學(xué)生在解題時(shí)能夠運(yùn)用已掌握的知識(shí)和方法理解“新定義或新方法”，做到“化生為熟”，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，在一定程度上起到了促進(jìn)教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，是學(xué)生“可持續(xù)發(fā)展”理念的具體體現(xiàn)，因而受到一線教師的廣泛重視.編制出較好的閱讀理解型問題是初中數(shù)學(xué)教師一項(xiàng)重要的研究課題.在此，筆者想結(jié)合一道閱讀理解問題的編制過程談?wù)剬?shí)踐中的一些認(rèn)識(shí)與思考.

一、選材

已知在△ABC中，邊BC的長(zhǎng)與BC邊上的高的和為20.

（1）寫出△ABC的面積y與BC的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積為48時(shí)，BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)BC多長(zhǎng)時(shí)，△ABC的面積最大？最大面積是多少？

（3）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，是否存在其周長(zhǎng)最小的情形？如果存在，請(qǐng)說明理由，并求出其最小周長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)給予說明.

這時(shí)由作法可知BB′=20，所以B′C=10，∴l(xiāng)=10+10，因此當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，存在其周長(zhǎng)最小的情形，最小周長(zhǎng)為10+10.

【評(píng)析】這道試題的考查亮點(diǎn)，在于將初中階段的變量討論的兩種方法——“數(shù)”與“形”的方法有機(jī)地結(jié)合在了一起. 但本題的最后一問對(duì)學(xué)生的思維挑戰(zhàn)較高，要求從利用函數(shù)模型解決變量的最值問題中，迅速轉(zhuǎn)換到利用形的方法處理變量的最值問題中來.一方面，這種大跨度的思維切換，在短時(shí)間內(nèi)是大多數(shù)學(xué)生所不能完成的；另一方面，距離最短問題的基本模型的運(yùn)用相對(duì)來說學(xué)生不夠熟悉，更何況在綜合性問題中需要經(jīng)歷畫圖、理解、建模、再運(yùn)用，這一長(zhǎng)段的思維過程，需要的是對(duì)解題模型的清晰理解與認(rèn)識(shí)，才能在探索中不偏離方向.這也是造成本題的得分率很低的一個(gè)根本原因，本題的考查功能不能很好地得到發(fā)揮.因此，筆者想以此為題材進(jìn)行一次閱讀理解問題的編制嘗試.

二、編制

（一）初次編制，關(guān)注了方法，但學(xué)用脫節(jié)

試題呈現(xiàn)1：

閱讀理解

初中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為“數(shù)”和“形”兩部分，“數(shù)”與“形”是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合.作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：借助于“數(shù)”的精確性來闡明形的某些屬性；借助“形”的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.

例題

解：如圖2，作線段BC，分別構(gòu)造直角邊為1，x和（4-x），2的兩個(gè)直角三角形，當(dāng)它們的斜邊在一條直線上時(shí)，兩條斜邊的和最??；作EG⊥AB于點(diǎn)G，在Rt△AGE中，由勾股定理得，AE2=AG2+EG2，即AE=5，所以，最小值為5.

如圖3，在△ABC中， 高AD=3，BC=8，若D在邊BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BD等于多少時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最??？最小周長(zhǎng)是多少？請(qǐng)用上述方法解決該問題.

【同行的質(zhì)疑】如果不讀例題，都可以做出來，那要例題干什么？

【反思】本意是想將數(shù)形結(jié)合的方法結(jié)合起來，將一道“數(shù)”的問題用“形”的方法進(jìn)行闡述解決.從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模仿運(yùn)用，卻沒有想到由于只關(guān)注到題目的外部結(jié)構(gòu)上的變化，雖然給出了例題指導(dǎo)，但例題的問題特征是一個(gè)“數(shù)”的問題，而要求應(yīng)用的問題給出的是一個(gè)“形”上的問題，造成了例題的學(xué)習(xí)不能提供解決后續(xù)問題的幫助，形成了學(xué)與用的脫節(jié).

（二）再次編制，關(guān)注了指導(dǎo)，但指向不明

試題呈現(xiàn)2：

閱讀理解

在數(shù)學(xué)解題中，我們一方面常常以熟悉的問題解決方法作為原型，對(duì)新問題進(jìn)行類比轉(zhuǎn)化，另一方面結(jié)合重要的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探索，從而可以獲得解決問題的途徑.

原型1 兩點(diǎn)之間線段最短.

原型2 如圖4，已知A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得PA+PB最小.

我們只要作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′（如圖5），根據(jù)對(duì)稱性可知，PB=PB′.因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于AP+PB′最小，顯然當(dāng)A，P，B′在一條直線上時(shí)AP+PB′最小，聯(lián)結(jié)AB′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.

（1） 請(qǐng)用原型1方法求解.

（2） 請(qǐng)用原型2方法求解（提示，頂點(diǎn)A的路線是一條與BC平行的直線）.

【同行的質(zhì)疑】原型方法的說明并不具體，方法運(yùn)用的指向不明.

【反思】本意是想從解題的基本原理出發(fā)，給學(xué)生提供切實(shí)可以的解法參考，一是構(gòu)造位于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，形成原型1，從而解決問題；二是構(gòu)造位于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，形成原型2，即“將軍飲馬”問題，從而獲得解題途徑.但實(shí)際的情形卻是，大篇幅的敘述，給出更多的是束縛，而不是啟示——兩個(gè)原型圖，再加上一個(gè)例題示范圖，學(xué)生不知道參考什么，也就不能在自身已有的知識(shí)水平上，通過閱讀理解獲得有效的方法指導(dǎo)，從而領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì).

（三）三次編制，關(guān)注了心理，終得以成慧

試題呈現(xiàn)3：

問題研究

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了利用函數(shù)模型解決變量最值問題后，研究了這樣一道題：如圖8，在四邊形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=1，BC=2，DC=4，點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DP等于多少時(shí)，AP+BP的值最?。渴嵌嗌?？

總結(jié)規(guī)律

小明在解題后進(jìn)行了反思：當(dāng)兩個(gè)直角三角形的一組直角邊為已知數(shù)，另一組直角邊的和為定值，那么它們的斜邊長(zhǎng)之和的最短問題，都可以用這樣的軸對(duì)稱構(gòu)圖方法進(jìn)行解決.

如圖10，在△ABC中，若D在邊BC上運(yùn)動(dòng)，AD⊥BC， AD=3，BC=8，當(dāng)BD等于多少時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最?。孔钚≈荛L(zhǎng)是多少？

【學(xué)生的解答】

解答1：如圖11，將圖10中的△ABD，△ADC重新擺放成示例中的位置形式，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解答2：如圖12，學(xué)生想到點(diǎn)A的動(dòng)路徑是一條與BC平行的直線，于是直接構(gòu)圖解出.

【反思】“兩個(gè)思考”，既闡明了“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，又為后續(xù)的兩個(gè)問題指明了求解的方向和解答的示范；“總結(jié)規(guī)律”，是將問題中的關(guān)鍵性特征與圖形擺放形式予以再次明晰和強(qiáng)調(diào)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行關(guān)注；“類比嘗試”，是給出一個(gè)較易模仿的表層問題，讓學(xué)生在解題中加深對(duì)基本方法的認(rèn)識(shí)和理解，為最后一問的探索做好相應(yīng)的儲(chǔ)備和助力；“深入應(yīng)用”的環(huán)節(jié)，是本道題的難點(diǎn)所在，一方面，圖形上與示例圖差距較大，學(xué)生不能直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另一方面，解法的運(yùn)用可以留給學(xué)生更多可供發(fā)揮的空間，由于有了前面示例的對(duì)舊知的喚醒，有了從類比實(shí)踐中獲得的解題啟示，讓學(xué)生對(duì)本道題的操作得以從外而內(nèi)，從領(lǐng)會(huì)到領(lǐng)悟的升華，進(jìn)入“學(xué)而得智”，“思而達(dá)慧”的理想的解答狀態(tài).

三、結(jié)語

好的試題編制素材的發(fā)現(xiàn)與收集，需要在長(zhǎng)期的教學(xué)研究過程中多留心，多思考，只有通過對(duì)原素材進(jìn)行長(zhǎng)期揣摩與推敲，設(shè)想多種可能的情形，并多次在實(shí)踐中請(qǐng)教同行專家，傾聽他們的寶貴意見，在“一句驚醒夢(mèng)中人”后有所收獲；而另一方面，通過觀察學(xué)生的解答樣本，與學(xué)生交流對(duì)話，從中分析學(xué)習(xí)者的心理困惑與感受，可以更真切地獲得有效的改編路徑.一如本案例中，通過觀察與交流，筆者的關(guān)注點(diǎn)從定位于題，到定位于學(xué)，再到關(guān)注更為重要的初中生的學(xué)習(xí)心理.而正是抓住了對(duì)學(xué)習(xí)者內(nèi)在的心理規(guī)律的分析，才使得“自主探索，理解其內(nèi)容、思想方法，把握本質(zhì)”的閱讀理解成為可能，才使得“閱讀—分析—理解—?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用”的解題過程更為順暢，而當(dāng)聽到學(xué)生回答為什么能解答最后一問時(shí)的回答——“直覺”時(shí)，編題者終覺釋然.