黃麗瓊

（商洛學院數(shù)學與計算機應用學院，陜西商洛726000）

離散正系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制

黃麗瓊

（商洛學院數(shù)學與計算機應用學院，陜西商洛726000）

通過分析標準離散時間正系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，利用矩陣的奇異值分解方法，以線性規(guī)劃的形式給出單輸出離散時間正系統(tǒng)漸進穩(wěn)定和魯棒穩(wěn)定的三個充分必要條件。其次，通過構(gòu)造一個靜態(tài)輸出反饋控制器，給出多輸出離散正系統(tǒng)穩(wěn)定的一個充分必要條件。

正離散系統(tǒng)；穩(wěn)定性；靜態(tài)輸出反饋

正系統(tǒng)是指系統(tǒng)從一個非負初始狀態(tài)出發(fā)，系統(tǒng)的狀態(tài)都保持在一個正象限中，這類系統(tǒng)幾乎出現(xiàn)在所有的領(lǐng)域中，例如：生物系統(tǒng)，人口系統(tǒng)，經(jīng)濟系統(tǒng)，社會科學系統(tǒng)等，由于正系統(tǒng)的狀態(tài)變量是定義在一個錐上而不是像其他系統(tǒng)的狀態(tài)變量定義在一個線性空間上，所以正系統(tǒng)的研究更具有復雜性，文獻[1-2]給出了正系統(tǒng)的正性刻畫條件，文獻[3-4]給出了離散正系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，文獻[5-6]給出了離散正時滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，文獻[7]給出了含有動態(tài)輸出反饋控制的正系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，文獻[8]利用線性矩陣不等式及矩陣等式給出了含靜態(tài)或動態(tài)輸出系統(tǒng)的反饋控制器存在的充要條件，文獻[9]利用線性規(guī)劃(LP)方法給出了單輸入單輸出正離散線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，文獻[10]利用線性規(guī)劃的方法給出了連續(xù)正線性系統(tǒng)存在靜態(tài)輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)是正的且是漸進穩(wěn)定的充要條件。本文主要利用奇異值分解法，以線性規(guī)劃的形式討論離散正線性系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制問題。

1 定義與引理

考慮離散時間系統(tǒng)(1)

其中x(t)是變量，A是不變矩陣。

定義1[2]如果對每一個可容許初始狀態(tài)x(0)≥0，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡都是非負的，即x(k)≥0，(k∈N)，則稱系統(tǒng)(1)是正(非負)系統(tǒng)。

引理1[8]線性系統(tǒng)(1)是正(非負)的，當且僅當A∈Rn×n是正(非負)的。

定義2[2]矩陣A∈Rn×n是正的，當且僅當A∈Rn×n的所有元素都是正的。

引理2[8]線性系統(tǒng)(1)是漸進穩(wěn)定的，當且僅當A∈Rn×n是漸進穩(wěn)定的。

引理3[9]線性系統(tǒng)(1)是正的且是漸進穩(wěn)定的，當且僅當存在一個λ∈R+n，使得(A-I)λ＜0。

引理4[9]矩陣A-，A+為給定的方陣，在區(qū)間A-≤A≤A+上的所有矩陣是非負的且是漸進穩(wěn)定的，當且僅當A-是非負的，A+是漸進穩(wěn)定的。

2 定理及其證明

2.1 單輸出情況

考慮系統(tǒng)(2)

其中x(k)∈Rn是狀態(tài)變量，u(k)∈Rr是輸入變量，y(k)∈R是測量輸出，A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈R1×n≥0為不變矩陣。

假設(shè)系統(tǒng)(2)存在一個靜態(tài)輸出反饋控制器(3)

則得到閉環(huán)系統(tǒng)(4)

其中K∈Rr×1是反饋增益矩陣。

定理1系統(tǒng)(2)中的矩陣C可分解為CVT= [σ，0，…，0]，其中σ為C的奇異值，V為正交矩陣，那么存在一個靜態(tài)輸出反饋控制器(3)使得閉環(huán)系統(tǒng)(4)是正的且是漸進穩(wěn)定的，當且僅當存在向量p=[p1，p2，…，pn]T和z∈Rr×1使得

成立，其中A=[aij]，BT=[b1T，b2T，…，bnT]T，C=[c1，c2，…，cn]，增益矩陣K為

證明必要性：假設(shè)存在靜態(tài)輸出反饋(3)使得閉環(huán)系統(tǒng)(4)是正的且是穩(wěn)定的，由引理2可得存在一個λ＞0使得

(A+BKC-I)λ＜0，

設(shè)λ=VTp＞0，其中V是正交矩陣，則p=Vλ= [p1，p2，…，pn]T，又因C=[σ，0，…，0]V，z=p1K，則

又由引理1可得A+BKC≥0，即aij+biKcj≥0，設(shè)V=[v1，v2，…，vn]T，由p=Vλ及CVT=[σ，0，…，0]，得λ，又因C＞0，σ＞0，λ＞0，則得p1＞0，對aij+biKcj≥0左右兩端同乘p1，得aijp1+bizcj≥0，i，j=1，2…，n。

充分性：假設(shè)存在向量p=[p1，p2，…，pn]T∈Rn×1和z∈Rr×1使得(5)-(7)成立，由K=p1-1z，得z=p1K，從必要性的證明中得知p1＞0，由(7)式得aijp1+bizcj=(aijbiKcj)p1≥0，i，j=1，2…，n因此得A+BKC是非負矩陣，則閉環(huán)系統(tǒng)(4)是正系統(tǒng)。又因

則閉環(huán)系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的。

定理2假設(shè)系統(tǒng)(2)對矩陣C存在定理1中的奇異值分解，設(shè)A=[aij]，BT=[b1T，b2T，…，bnT]T，C=[c1，c2…，cn]，則存在一個靜態(tài)輸出反饋控制器(3)使得閉環(huán)系統(tǒng)(4)是正的且是穩(wěn)定的，當且僅當存在向量p=[p1，p2，…，pn]T∈Rn×1和z∈Rr×1使得(9)式的兩個LP問題至少有一個成立。

增益矩陣K有參數(shù)形式K=p1-1z。

2.2 魯棒穩(wěn)定

考慮區(qū)間正離散系統(tǒng)(10)

其中A-，A+，B-，B+是未知非負矩陣，C≥0。

定理3假設(shè)系統(tǒng)(10)對矩陣C≥0存在定理1中的奇異值分解，定義A-=[aij-]，[B-]T=[(b1-)T，(b2-)T]，…，(bn-)T，C=[c1，c2，…，cn]，則存在靜態(tài)輸出反饋控制器(3)使得閉環(huán)系統(tǒng)是正的且是魯棒穩(wěn)定的，當且僅當存在向量p=[p1，p2，…，pn]T∈Rn×1和z∈Rr×1滿足

增益矩陣K有參數(shù)形式K=-p1-1z。

證明必要性：假設(shè)存在矩陣K=-p1-1z＜0使得閉環(huán)系統(tǒng)對于任意非負矩陣A，B是正的且是魯棒穩(wěn)定的，則知A+BKC是正的，又因A∈[A-，A+]，B∈[B-，B+]，取A=A-，B=B+有A-+B+KC是正的，由定理1必要性證明知p1＞0，可得aij-p1-bi+zcj≥0，又因(A+BKC-I)λ＜0取λ=VTp，得(A+-I)VTp-B-σz＜0。

充分性：由于A∈[A-，A+]，B∈[B-，B+]由定理1的必要條件知p1＞0，則K＜0得

由于aij-p1-bi+zcj=aij-p1+bi+p1Kcj=(aij-+bi+Kcj)p1≥0，則知A-+B+KC≥0，由引理4知A+BKC≥0，則知閉環(huán)系統(tǒng)是正的。設(shè)λ=VTp，又由于

由引理4知(A+BKC-I)λ＜0，即閉環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

2.3 多輸出情況

考慮多輸出系統(tǒng)(11)

定理4假設(shè)存在固定參數(shù)v使得vC＞0，對vC進行奇異值分解vCVT=[σ，0，…，0]，其中σ＞0是vC的奇異值，V為正交矩陣，則存在靜態(tài)輸出反饋控制器u(k)=Kvy(k)使得閉環(huán)系統(tǒng)是正的且是漸進穩(wěn)定的，當且僅當存在向量p=[p1，p2，…，pn]T∈Rr×1及z∈Rr×1使得LP問題(12)成立：

其中增益矩陣K為K=p1-1z。

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（責任編輯：李堆淑）

Static Output Feedback Control for Discrete-time Positive Systems

HUANG Li-qiong
（College of Mathematics and Computer Application,Shangluo University,Shangluo726000,Shaanxi）

Through analysis of the stability conditions of the positive standard discrete-time system,by using the singular value decomposition approach,necessary and sufficient conditions for the stability, robust stability are established in term of standard linear programming problems(LP).Specifilly,through constructing the static output feedback controler,necessary and sufficient condition for the stability of the multi-output discrete-time positive systems is given.

positive discrete-time system;stability;static output feedback

O231

A

1674-0033（2015）02-0009-03

10.13440/j.slxy.1674-0033.2015.02.003

2015-01-26

商洛學院科研基金項目(14SKY008)

黃麗瓊，女，陜西洛南人，碩士，助教