袁訓(xùn)鋒，李磊, 魏蕾

（商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院,陜西商洛726000）

嫦娥3號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)

袁訓(xùn)鋒，李磊, 魏蕾

（商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院,陜西商洛726000）

軟著陸軌道設(shè)計(jì)是月球探測(cè)中的關(guān)鍵技術(shù)之一?；?014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題，針對(duì)嫦娥3號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)問題，運(yùn)用開普勒定律和能量守恒定律準(zhǔn)確獲得近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置和速度；根據(jù)軟著陸的動(dòng)力學(xué)方程，以消耗燃料量為最優(yōu)化條件，利用Matlab對(duì)嫦娥3號(hào)的最優(yōu)軟著陸軌道進(jìn)行仿真。結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的最優(yōu)軌道較好滿足所要求的約束條件，能夠?yàn)樘綔y(cè)器軟著陸軌道設(shè)計(jì)提供一定參考。

軟著陸；軌道設(shè)計(jì)；能量守恒

隨著現(xiàn)代航天科技的發(fā)展，月球探測(cè)研究不斷深入，眾多學(xué)者針對(duì)月球探測(cè)器著陸問題進(jìn)行了大量的科學(xué)研究。林勝勇等[1]采用月球垂直著陸的數(shù)學(xué)模型仿真了不同推力條件下的著陸軌道運(yùn)動(dòng)特性。和興鎖等[2]在分析有限推力最省燃料直接軟著陸軌道結(jié)果的基礎(chǔ)上，獲得開始制動(dòng)高度越低越省能量的結(jié)論。王明光等[3]在優(yōu)化軟著陸軌道算法的基礎(chǔ)上，使用偽光譜方法進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，乘子法處理約束條件，變尺度法求解。單永正等[4]詳細(xì)探討了如何選擇初始點(diǎn)和軟著陸軌道。郭景錄[5]、曹濤[6]分別采用蛙跳算法和組合優(yōu)化策略，對(duì)登月軟著陸軌道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。羅宗富等[7]應(yīng)用進(jìn)化策略對(duì)月球的軟著陸探測(cè)器軌道進(jìn)行了設(shè)計(jì)，采用STK仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)思路的有效性。

我國(guó)的月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”已經(jīng)順利開展，嫦娥3號(hào)是中國(guó)國(guó)家航天局嫦娥工程第二階段的登月探測(cè)器。蔣瑞等[8]針對(duì)嫦娥3號(hào)著陸控制方案建立數(shù)學(xué)模型，并使用Simulink軟件進(jìn)行仿真，獲得滿意的仿真結(jié)果，從而為嫦娥3號(hào)著陸控制方案的最終確定提供依據(jù)。嫦娥3號(hào)于2013年12月2日成功發(fā)射，12月6日順利抵達(dá)月球軌道，但是嫦娥3號(hào)的實(shí)際軟著陸過(guò)程與預(yù)先設(shè)計(jì)的最優(yōu)著陸軌道并不完全相同，該問題的核心是軟著陸軌道的設(shè)計(jì)與控制策略。在2014年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，將“嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略”作為A題，引起眾多學(xué)者的關(guān)注。杜劍平等[9]將軟著陸的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為主發(fā)動(dòng)機(jī)推力的泛函極值問題，通過(guò)求解計(jì)算獲得各階段的最優(yōu)控制函數(shù)和控制策略。冷建華[10]利用開普勒定律和能量守恒定律分析獲得嫦娥3號(hào)著陸準(zhǔn)備軌道的近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置及速度。何悠等[11]采用函數(shù)逼近法確定嫦娥3號(hào)的軟著陸軌跡，運(yùn)用Matlab圖像處理和改進(jìn)的局部最優(yōu)算法確定降落區(qū)域，獲得燃料消耗最少的控制策略。李祥宇[12]、劉林林[13]對(duì)嫦娥3號(hào)探測(cè)器推動(dòng)力和著陸控制過(guò)程進(jìn)行敏感性分析。

基于2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題，針對(duì)嫦娥3號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)問題，運(yùn)用開普勒定律和能量守恒定律計(jì)算近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置和速度；根據(jù)軟著陸的動(dòng)力學(xué)方程，以消耗燃料量為最優(yōu)化條件，利用Matlab仿真其軟著陸軌道。

1 近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)速度確定

嫦娥3號(hào)在準(zhǔn)備軟著陸時(shí)，首先從圓形軌道變軌，進(jìn)入一條遠(yuǎn)月點(diǎn)高度約為100 km，近月點(diǎn)高度約為15 km的橢圓形軌道。當(dāng)?shù)竭_(dá)近月點(diǎn)時(shí)，制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，嫦娥3號(hào)進(jìn)入減速下降段。當(dāng)嫦娥3號(hào)在橢圓形軌道運(yùn)行時(shí)，可以把嫦娥3號(hào)看做質(zhì)點(diǎn)來(lái)研究，即可以利用開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律來(lái)求解嫦娥3號(hào)所在軌道參數(shù)及著陸初始值。

嫦娥3號(hào)橢圓軌道如圖1所示。根據(jù)開普勒第二定律，設(shè)軌道周期為T，嫦娥3號(hào)到月球的半徑在每秒種掃過(guò)相等面積S1=abπ/T。近月點(diǎn)距離：h=15 km，遠(yuǎn)月點(diǎn)距離：H=100 km，月球平均半徑：R=1737.013 km，橢圓長(zhǎng)半軸：a=(h+H+2R)/2= 1794.513 km，橢圓半焦距：c=a-h-R=42.5 km，橢圓短半軸：b=(a2-c2)1/2=1794.010 km。

圖1 橢圓軌道模型

嫦娥3號(hào)在近月點(diǎn)速度達(dá)到最大Vmax=lh，在遠(yuǎn)月點(diǎn)速度達(dá)到最小Vmin=lH。近似化處理過(guò)程如圖2所示。易知S1=0.5(R+h)lh，嫦娥3號(hào)在近月點(diǎn)的相對(duì)速度為1.7 km·s-1，則：

故在近月點(diǎn)的速度為1.7 km·s-1。方向?yàn)榇它c(diǎn)的切線方向。在遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度為1.62 km·s-1，方向?yàn)榇它c(diǎn)的切線方向。

圖2 近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)速度近似化過(guò)程

2 近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)位置的確定

嫦娥3號(hào)將在近月點(diǎn)15 km處以拋物線下降，相對(duì)月球速度每秒1.7 km逐漸降為零。下降過(guò)程中在豎直方向分量的反推力克服月球重力做功，使得著陸時(shí)豎直方向速度為零，即能量守恒Mg0=Fnh。下降過(guò)程中在水平方向分量的反推力做功，使得著陸過(guò)程中水平速度從1.7 km·s－1變?yōu)榱?，即能量守?.5MV2max= FτS。從而求解出嫦娥3號(hào)從近月點(diǎn)到達(dá)著陸點(diǎn)時(shí)的水平位移，進(jìn)而推算出近月點(diǎn)位置與遠(yuǎn)月點(diǎn)位置。

嫦娥3號(hào)軟著陸過(guò)程簡(jiǎn)化如圖3所示。由Mg0h=Fnh得：Fn≈4 000 N,即嫦娥3號(hào)在下降過(guò)程中受到的反推力在豎直方向上的平均分量為4 000 N。由于安裝在嫦娥3號(hào)下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1 500 N到7 500 N的可調(diào)節(jié)推力，經(jīng)過(guò)粗略計(jì)算分析，選取6 000 N作為嫦娥三號(hào)在下降過(guò)程中受到的反推力在水平方向上的平均分量，即Fτ=6 000 N。由能量守恒得0.5MV2max=FτS。解得：S≈578 km，即ob段為578 km。(在此求解過(guò)程中忽略bc段對(duì)下降高度及水平位移的影響,由于采用能量守恒求解，所以結(jié)果不受軟著陸軌道形狀的影響，即不考慮ab段形狀的影響)。

假設(shè)嫦娥3號(hào)軌道傾角為30°，運(yùn)行方向自西向東，經(jīng)緯度分析如圖4所示。

圖3 嫦娥3號(hào)軟著陸過(guò)程簡(jiǎn)化

圖4 經(jīng)緯度分析

由圖4解得：

所以近月點(diǎn)所在經(jīng)度為19.51+16.51=36.02°W，近月點(diǎn)所在緯度為44.12+9.53=53.65°N，高度為15 km，與之對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度為180-36.02= 143.98°E,53.65°S,高度為100 km。

3 最優(yōu)定點(diǎn)著陸問題描述

無(wú)量綱化后的軟著陸動(dòng)力學(xué)方程[14-15]為：

嫦娥3號(hào)的初始條件，位置約束：θ(τ0)=θ0，φ(τ0)=φ0，r(τ0)=RL+h0;速度約束：u(τ0)=0，v(τ0)=v0，w(τ0)=0。嫦娥3號(hào)的終端條件，位置約束：θ(τf)=θf(wàn)，φ(τf)=φf(shuō)，r(τf)=RL+hf；速度約束：u(τf)=0，v(τf)=0，w(τf)=0。推力方向角應(yīng)滿足：α∈[αmin,αmax],β∈[βmin,βmax]；著陸的過(guò)程中法向和側(cè)向速度應(yīng)滿足：u∈[umin,umax],ω∈[ωmin,ωmax];飛行器著陸過(guò)程所消耗的燃料mu應(yīng)滿足：mu≤mmax，性能指標(biāo)函數(shù)應(yīng)選取燃料最省，即：

本文中取推力大小為常值，因此性能指標(biāo)函數(shù)等價(jià)于著陸時(shí)間最短，即：

直接利用初始位置參數(shù)和著陸過(guò)程狀態(tài)要求作為上述方法的初始值和約束條件。

4 仿真求解最優(yōu)著陸軌道

動(dòng)力下降初始及終端條件為：h0=15 km，θ0=36.02°，φ0=53.65°，u0=0，ν0=1.7 km·s-1，ω0=0；hf=-2.641 km，θf(wàn)=19.5°，φf(shuō)=44.12°，uf=0，νf=0，ωf=0。月球引力常數(shù)μ=4902.802 km3·s-2，自轉(zhuǎn)角速度ω=2.6617×10-6rad·s－1，月球半徑RL=1737.013 km，著陸器初始質(zhì)量m0=2.4×103kg，初始軌道傾角i0=30°，制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力T=6 000 N，比沖Isp=2940 m·s－1。求解過(guò)程中約束推力方向角α∈[-50°,40°], β∈[130°,220°]，法向和側(cè)向速度的取值范圍為[-110,110]m·s－1，著陸過(guò)程燃料消耗mu≤300 kg。代入初始參數(shù)，通過(guò)Matlab仿真得到不同視角下最優(yōu)著陸軌道如圖5所示。從仿真結(jié)果可以看出，最優(yōu)軟著陸軌道具有良好的光滑性，即在實(shí)際工程當(dāng)中具較高的可實(shí)現(xiàn)性與可操作性。

5 結(jié)論

針對(duì)嫦娥3號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)問題，運(yùn)用開普勒定律求得在近月點(diǎn)的速度為1.7 km·s-1，方向?yàn)榇它c(diǎn)的切線方向；在遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度為1.62 km·s-1，方向?yàn)榇它c(diǎn)的切線方向。采用能量守恒定律計(jì)算獲得近月點(diǎn)所在經(jīng)度為19.51+16.51=36.02°W，近月點(diǎn)所在緯度為44.12+9.53=53.65°N,高度為15 km；與之對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度為180-36.02=143.98°E,53.65°S,高度為100 km。利用Matlab對(duì)嫦娥3號(hào)的最優(yōu)軟著陸軌道進(jìn)行仿真，結(jié)果表明設(shè)計(jì)的最優(yōu)軌道較好滿足所要求的約束條件，能夠?yàn)樘綔y(cè)器軟著陸軌道設(shè)計(jì)提供一定參考。

圖5 不同視角下最優(yōu)著陸軌道

[1]林勝勇,李珠基,和興鎖.月球垂直軟著陸軌道初步設(shè)計(jì)[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù),2005(2)：47-51.

[2]林勝勇,李珠基,和興鎖.月球探測(cè)器直接軟著陸最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)[J].宇航學(xué)報(bào),2007,28(2)：409-413.

[3]王明光,裴聽國(guó),袁建平.基于偽光譜方法月球軟著陸軌道快速優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].中國(guó)空間科學(xué)與技術(shù),2007(5)：27-32.

[4]單永正,段廣仁,張烽.月球精確定點(diǎn)軟著陸軌道設(shè)計(jì)及初始點(diǎn)選取[J].宇通學(xué)報(bào),2009,30(6)：2099-2104.

[5]郭景錄,付平.登月著陸軌道優(yōu)化算法研究[J].計(jì)算機(jī)仿真,2009,26(12)：70-73.

[6]曹濤,董長(zhǎng)虹.基于組合優(yōu)化策略的月球軟著陸最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2012,38(11)：1537-1541.

[7]羅宗富,孟云鶴,湯國(guó)建.基于進(jìn)化策略的月球軟著落探測(cè)軌道設(shè)計(jì)[J].空間科學(xué)學(xué)報(bào),2012,32(1)：92-98.

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[9]杜劍平,韓中庚.嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略的優(yōu)化模型[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用,2014,3(4)：39-53.

[10]冷建華.嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)[J].山東工業(yè)技術(shù), 2014,32(24)：3-4.

[11]何悠,羅琦,劉金華.嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略[J].硅谷,2014,13(23)：14-15.

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[14]彭祺擘,李海陽(yáng),沈紅新,等.基于Gauss偽譜法和直接打靶法結(jié)合的月球定點(diǎn)著陸軌道優(yōu)化[J].國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2014,34(2)：120-123.

[15]雍恩米,唐國(guó)金,陳磊.基于Gauss偽譜方法的高超聲速飛行器再入軌跡快速優(yōu)化[J].宇航學(xué)報(bào),2008,29 (6)：1766-1772.

（責(zé)任編輯：李堆淑）

Design of Chang'e-3 Soft Landing Orbit

YUAN Xun-feng,LI Lei,WEI Lei
（CollegeofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShangluoUniversity,Shangluo726000,Shaanxi）

The soft landing orbital design is one of the key technologies in lunar exploration.Based on Problem A of Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling 2014 for college students, for the Chang'e-3 soft landing orbital design's problem,using the Kepler's law and velocity of perilune and apolune,with the kinetic equation of soft landing,and the amount of fuel consumption as the optimization conditions,Matlab to Chang'e-3 optimization soft landing orbit is utilized to proceed simulation.The results show that the optimization orbit of the design can better meet the requivement of the constraint equation.It will bring about reference for the exploration of soft landing orbit.

soft landing;orbital design;energy conservation

V412.41

A

1674-0033（2015）02-0024-04

10.13440/j.slxy.1674-0033.2015.02.007

2014-12-18

陜西省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃資助項(xiàng)目（SGH13401）

袁訓(xùn)鋒，男，湖北神農(nóng)架人，博士，講師