王 杰，孔慶忠，徐祿均

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

0 引言

倒立擺的穩(wěn)定控制在生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛。傳統(tǒng)的PID控制雖然能夠完成響應(yīng)，如果效果不是特別明顯，如果將小車控制器設(shè)計(jì)成模糊PID控制器，并與擺桿閉環(huán)控制進(jìn)行封裝，形成一個(gè)雙閉環(huán)PID控制器，就能夠更好地實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的控制。

1 直線一級倒立擺的穩(wěn)定性

直線一級倒立擺系統(tǒng)由小車、擺桿等組成，它們之間自由連接。在進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時(shí)，一般可以應(yīng)用LaSalle’s Theorem或者是李亞普諾夫穩(wěn)定性理論。本文根據(jù)系統(tǒng)未進(jìn)行矯正時(shí)的階躍響應(yīng)曲線來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用MATLAB進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 系統(tǒng)未矯正時(shí)小車位置的階躍響應(yīng)曲線

圖2 系統(tǒng)未矯正時(shí)擺桿擺角的階躍響應(yīng)曲線

從圖1和圖2中可以看出，在階躍響應(yīng)信號的作用下，擺桿的角度以及小車的位置曲線都是發(fā)散的，即在沒有使用控制器進(jìn)行矯正之前，本系統(tǒng)在期望的平衡位置是一個(gè)非穩(wěn)定系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)需要矯正，使其變得穩(wěn)定。由于直線一級倒立擺在平衡位置是能控的、可觀的，因此可以進(jìn)行PID控制器設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

2 倒立擺擺桿與小車的傳統(tǒng)PID控制

2.1 倒立擺擺桿的傳統(tǒng)PID控制

把小車置于導(dǎo)軌中間位置，打開實(shí)驗(yàn)設(shè)備，并且將擺桿手動提起置于倒立位置保持不動，然后單純對擺桿進(jìn)行PID控制。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)仿真可知：當(dāng)PID控制器中比例系數(shù)Kp=30，積分系數(shù)Ki=20，微分系數(shù)Kd=2.5時(shí)，得到的仿真效果最佳。所以，將3個(gè)參數(shù)按照此值進(jìn)行調(diào)節(jié)，得到的仿真曲線如圖3、圖4所示。

圖3 傳統(tǒng)PID控制 下擺桿仿真曲線

圖4 傳統(tǒng)PID控制下小車位置仿真曲線

在0.3s～0.5s時(shí)刻，為手動提起過程，從圖3、圖4可知，此過程中擺桿的角度不斷增加，當(dāng)時(shí)間達(dá)到0.5s之后，擺桿在PID控制器的控制下能夠自動保持倒立不倒，維持平衡不倒，小車也能維持短暫平衡狀態(tài)；時(shí)間達(dá)到1.3s時(shí)，小車曲線出現(xiàn)突然下降，此時(shí)擺桿的角度突然增大，之后小車位置不再變化，擺桿的角度在此后出現(xiàn)大幅度震蕩，擺桿在重力作用下向初始位置運(yùn)動，此時(shí)小車在導(dǎo)軌上運(yùn)動到極限位置，出現(xiàn)阻礙后就不再運(yùn)動，也就不能給擺桿倒立不倒的力；在2s之后，小車的位置保持不變，也就是處于靜止?fàn)顟B(tài)，擺桿在重力作用下，由于慣性作用繼續(xù)左右擺動，能夠維持短暫的自由擺動，直至能量消耗完就靜止。所以，單獨(dú)對擺桿進(jìn)行PID控制器控制，能夠達(dá)到最終目的，但是穩(wěn)定效果不是特別明顯。

2.2 倒立擺小車的模糊PID控制

為保證擺桿直立運(yùn)動，小車必須擁有合適的位移以及速度。但是對于由伺服電機(jī)帶動的小車來說，不能精確地給出數(shù)學(xué)模型以及傳遞函數(shù)。因此，在對擺桿進(jìn)行角度檢測之后，對小車的控制采用模糊PID控制。當(dāng)擺桿在直立的平衡位置范圍內(nèi)擺動時(shí)，控制小車的速度及位移，使擺桿直立不倒。對于擺桿來說，起擺的速度和加速度比較大，當(dāng)達(dá)到平衡位置時(shí)，加速度在較小范圍內(nèi)變化。用模糊PID控制倒立擺小車得到的仿真曲線如圖5所示，此時(shí)倒立擺擺桿的仿真曲線如圖6所示。

圖5 模糊PID控制下小車位置仿真曲線

圖6 模糊PID控制 下擺桿仿真曲線

在這種單一對小車進(jìn)行模糊控制的情況下，小車運(yùn)動穩(wěn)定，倒立擺擺桿的運(yùn)動在單位時(shí)間內(nèi)是穩(wěn)定的，但是在整個(gè)控制過程中是不穩(wěn)定的。這種控制效果雖然也能夠達(dá)到讓倒立擺擺桿倒立穩(wěn)定的目的，但是，控制效果并不理想。為了能使擺桿得到更加優(yōu)良的控制，實(shí)現(xiàn)理想的控制效果，還可以尋找更好的控制方法。

3 倒立擺擺桿與小車的新型PID控制

根據(jù)上述兩種控制進(jìn)行綜合分析，單純對擺桿進(jìn)行PID控制可以使系統(tǒng)維持短暫時(shí)間的穩(wěn)定，當(dāng)小車遇到極限位置時(shí)系統(tǒng)停止運(yùn)動；單純對小車進(jìn)行PID控制時(shí)，系統(tǒng)更加不穩(wěn)定，魯棒性能效果不理想，穩(wěn)定時(shí)間變得更小。因此，在上述理論的基礎(chǔ)上，分別將兩個(gè)控制器進(jìn)行組合，形成雙PID控制組合，得到的倒立擺系統(tǒng)閉環(huán)PID控制器如圖7所示。利用這種雙閉環(huán)控制器，得到倒立擺的實(shí)時(shí)控制仿真曲線，如圖8、圖9所示。

從圖8、圖9可以很清晰地看到，擺桿在兩個(gè)控制器的控制下維持倒立穩(wěn)定，雖然小車仿真曲線出現(xiàn)震蕩，但是小車可以在導(dǎo)軌上的某個(gè)范圍內(nèi)一直運(yùn)動，保證擺桿倒立不倒。本實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果顯示：雙閉環(huán)控制器對此倒立擺系統(tǒng)具有很好的控制作用。

圖7 倒立擺系統(tǒng)閉環(huán)PID控制器

圖8 閉環(huán)PID控制下小車位置仿真曲線

圖9 閉環(huán)PID控制 下擺桿仿真曲線

4 結(jié)論

單獨(dú)對擺桿進(jìn)行PID控制器控制，能夠達(dá)到最終目的，但是穩(wěn)定效果不是特別明顯。單獨(dú)對小車進(jìn)行模糊PID控制，也能達(dá)到最終目的，效果仍然不是特別明顯。在分析這兩個(gè)單獨(dú)的控制器的基礎(chǔ)上，將兩個(gè)獨(dú)立的控制器進(jìn)行組合封裝，形成一個(gè)雙閉環(huán)PID控制器，能夠很好地實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的控制，最終達(dá)到理想的效果。

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