車淑琴 薛亞奎

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西 太原030051）

0 引言

禽流感（Avian Influenza），全名鳥禽類流行性感冒，它是一類復(fù)雜的病毒，不僅能感染家禽（雞鴨），也能感染一些哺乳類動(dòng)物（豬、狗、馬），隨著禽流感病毒的不斷突變，它甚至可以感染人類，并造成較高的死亡率，禽流感突變和蔓延及其嚴(yán)重使得人類對(duì)它的研究預(yù)防和控制變的非常困難。數(shù)學(xué)建?？梢灾庇^有效的幫助我們研究禽流感的發(fā)展規(guī)律，最早人們研究的是鳥類遷徙的禽流感傳播模型[1]，后來(lái)人們主要研究的對(duì)象是人類，預(yù)防控制也集中在人類如文獻(xiàn)[2-5]，這樣確實(shí)可以有效的減少禽流感對(duì)人類的傷害；也有一些文章開始著重于解決禽流感對(duì)家禽的感染情況，如文獻(xiàn)[6]分析了H5N1在種群內(nèi)的傳播。

本文中把禽類分為三個(gè)倉(cāng)室：易感者(X)，染病者(Y)，接種免疫者(V)，人類分為易感者(S)，染病者(I)，隔離治療者(T)。μA為禽類的出生率，μ和d分別為禽類和人類的自然死亡率，α和δ分別為染病的禽類和人類的因病死亡率，q2(0fflt;q2fflt;1)是新生禽類具有免疫力的比例，q1=1-q2是新生禽類不具有免疫力的比例，p為禽類預(yù)防接種比例；ε是免疫失效比例，β和σβ(0fflt;σfflt;1)分別為染病的禽類感染易感禽類和具有免疫力禽類的感染率，Λ為人口的出生率，ω為染病的禽類感染易感人類的傳染率，θ是隔離者的康復(fù)率，γ是患者的隔離率，這些參數(shù)均為正參數(shù)。模型如下：

文章組織如下：在第二部分中，證明了無(wú)病平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的存在性；在第三部分中，證明了該系統(tǒng)無(wú)病平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；最后，分析結(jié)果。

1 平衡點(diǎn)的存在性

系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)E+(X*,V*,Y*,S*,I*,T*)可以由方程組（2）計(jì)算得出

由方程組（2）可以得到：

并且有

其中σ0=(p+μ)(q2μ+p)σ2+σ[p(q1μ+ε)+ε(q2μ+p)]+(μ+ε)(q1μ+ε)，

所以函數(shù)當(dāng)Y＞0時(shí)，H(Y)是單調(diào)遞減的。

因此，由H(Y)的單調(diào)性得，當(dāng)R0＞1時(shí)，H(Y)=0在區(qū)間(0,A)上存在唯一的正根；當(dāng)R0≤1時(shí)在區(qū)間(0,A)上不存在正根。

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在E0處的Jacobian矩陣為

特征方程為

顯然，該方程的根均有負(fù)實(shí)部的充要條件是R0≤1，于是得到：

定理2 當(dāng)R0≤1時(shí),則E0是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)且僅當(dāng)X=X0,V=V0時(shí)，L1′=0。由Lasalle不變集原理[9]，可以得到下面的定理：

定理3 當(dāng)R0≤1時(shí),則E0是全局漸近穩(wěn)定的。

2.2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在E+處的Jacobian矩陣為

顯然，J在正平衡點(diǎn)E+的特征值由M和B的特征值決定。很明顯，矩陣B的特征根均具有負(fù)實(shí)部，而矩陣M的特征方程是

其中，

由Routh-Hurwitz判據(jù)[10]可知，矩陣M的的特征根均有負(fù)實(shí)部。于是有下面的定理：

定理4 當(dāng)R0＞1時(shí),則E+是局部漸近穩(wěn)定的。

定理5 當(dāng)R0＞1時(shí),則E+是全局漸近穩(wěn)定的。

3 結(jié)論

本文構(gòu)造了一個(gè)具有接種免疫，并且考慮了新生個(gè)體免疫性能的SIV-SIT動(dòng)力學(xué)模型，通過下一代矩陣原理得出了系統(tǒng)的基本再生數(shù)R0，并且運(yùn)用Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)僅有一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)E0且是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，疾病消亡；當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)存在唯一的正平衡點(diǎn)E+且是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，疾病將持續(xù)成一種地方病。為了防止該疾病的進(jìn)一步流行，需減少患病禽類與其他禽類或者人類的接觸，并且增強(qiáng)免疫接種率，這樣就可以有效的減少禽類對(duì)其他易感個(gè)體的傳染，從而對(duì)禽流感的控制起到積極作用。

［1］S.C.Inyama.mathematical model for bird flu disease transmission with no bird migration[J].global journal of mathematical sciences.2009,8(2)：75-81.

［2］Mills C E,Robins J M,Bergetrom C T,Lipsitch M,Pandemic influenza：risk of multiple introductions and the need to prepare for them[J].PloSMedicine,2006,3(6)：1-5.

［3］Ferguson N M,Cummings D A T,Cauchemez S,et.al.,Strategies for containing an emerging influenza pandemic in Southeast Asia[J].Nature,2005,437：209-214.

［4］Germann T C,Kadau K,Longini Jr I M,Macken C A,Mitigation strategier for pandemic influenza in the United States[J].Eur JEpidem,2003,18：1065-1072.

［5］Shuqin Che,Yakui Xue.The stability of highly pathogenic Avian inuenza epidemic model with saturated contact rate[J].Applied Mathematics,2014,5(21)：3365-3371.

［6］Menach A Le,et al.Key strategies for reducing spread of avian influenza among commerical poultry holdings：lessons for transmission to humans[J].Proc R Soc B,2006,273：2467-2475.

［7］P.van den Driessche,J.Watmough,Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Math.Biosci,2002,180：29-48.

［8］A Korobeinikov,Lyapunov function and global stability for SIR and SIRS epidemiological models with non-linear transmission[J].Bull.Math.Biol.,2006,68：615-626.

［9］Lasalle J P.The Stability of Dynamical System[J].Regional confererce series in applied mathematics philadelphia.SIAM 1976.

［10］Horst R T.Persistence under relaxed point dissipativity(with application to an endemic model)[J].SIAM Journal on Mathermatical Analysis,1993,24(2)：407-435.