蒲大勇

模型思想是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》新增加的核心概念之一.模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.模型思想不僅包括建構基本的數(shù)學模型，更重要地是把已有的數(shù)學模型進行推廣，演繹出更多的數(shù)學模型，達到會一個到會一類、以一當十之功效，從而提升學生的數(shù)學建模能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.下面，以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級（上）134“最短路徑問題”為例，結合近兩年全國各地中考試題談談數(shù)學模型的建構與演繹，不妥之處敬請指正.

1數(shù)學模型的建構

數(shù)學模型的建構是對復雜現(xiàn)象進行分析，用數(shù)學語言來描述其中的關系或規(guī)律，抽象出恰當?shù)臄?shù)學關系，并將其實際問題轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題，同時運用數(shù)學系統(tǒng)的知識方法對數(shù)學問題進行求解，對現(xiàn)實問題作出解釋的過程.數(shù)學模型的建構要經(jīng)過“具體情境——抽象數(shù)學問題——分析數(shù)量關系或變化規(guī)律——建立模型（方程、不等式、函數(shù)等）”等一系列過程.

問題如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

圖1圖2解題分析在河邊飲馬的地點有多處，把這些地點與A、B兩點連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程.問題的關鍵是怎樣找出使兩條線段的長度之和為最短的那個點.在圖2中，過點B作河邊l的垂線，垂足為點D，延長BD到點B′.點B′是點B對于河邊l的對稱點.連接AB′，交河邊l于點C，那么點C就是題目中所求的飲馬地點.

模型建構：這是中國古代數(shù)學問題——牧童飲馬問題，其方法是在已知直線上尋找與同側(cè)兩點距離之和最小的點，對其中一個點作軸對稱變換，把同側(cè)點轉(zhuǎn)化為異側(cè)點，利用“兩點之間線段最短”求最值，這可歸結為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離之和的最小值”的問題的數(shù)學模型.

關鍵點分析本質(zhì)結構——利用軸對稱思想，將同側(cè)的兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點.

數(shù)學原理——解決線段的和最短的問題，需要尋求和其中一條線段長度相等的線段，從而將線段的和最短轉(zhuǎn)化為線段最短的問題.

思維障礙——模型建構的依據(jù)（軸對稱的性質(zhì)）；線段最短的理論根據(jù)，即在定直線上另找一點，通過證明說明方法的合理性.

評析上述案例中“牧童飲馬問題”，在建構“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離之和的最小值”數(shù)學模型過程中，按照“具體情境——抽象數(shù)學問題——分析數(shù)量關系或變化規(guī)律——建立模型”的歷程，從現(xiàn)實的飲馬情境中抽象出“已知直線同側(cè)的兩點，求已知直線上一點與這兩點的距離和最短”這個數(shù)學問題，然后通過觀察、邏輯思考等數(shù)學活動，結合軸對稱有關知識，將“兩條線段的和”轉(zhuǎn)化為與之相等的“一條線段”，利用添加輔助線建立了“最短距離”這個數(shù)學模型.在這個過程中，學生要突破“怎樣才算最短”“模型建構的依據(jù)”“為什么最短”等思維障礙，并在充分直觀感知、分拆重組和操作的基礎上通過觀察、歸納、類比產(chǎn)生模型特征的猜想，然后對產(chǎn)生的模型進行合乎邏輯的理性思考與檢驗，對模型進行修改，最終建立模型.

2數(shù)學模型的演繹

數(shù)學模型的演繹是個體在內(nèi)源或外源需求的驅(qū)動下產(chǎn)生模型建構的需要和目標體系，并在目標體系的引導下產(chǎn)生從上到下和從下到上的注意加工，產(chǎn)生合理的注意選擇，在此基礎上搜索經(jīng)驗中的已有數(shù)學模型，并在內(nèi)在目標評價和環(huán)境啟發(fā)中對已有的模型進行反復分拆、重組和變換，直到形成符合目標體系的新的模型，并用適當?shù)姆椒▽π碌哪Ｐ瓦M行數(shù)學解析，形成新的知識經(jīng)驗.數(shù)學模型的演繹要經(jīng)過“源驅(qū)動——已有數(shù)學模型——條件變換——建立新模型”等歷程.數(shù)學模型的演繹在對已有數(shù)學模型進行反復地分拆、交叉、重組和變換過程中，豐富和有條理的圖形圖式化的數(shù)學模型的存儲，有助于個體對這些模型進行直觀的分拆、交叉、重組和變換，有助于新的數(shù)學模型的建構.

例1（2014年資陽）如圖3，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為.

解題分析要求△BEQ周長的最小值，由于EB是定值（為1），其實質(zhì)求EQ+BQ的值為最小值，關鍵把Q點的位置確定，點Q在AC上有無數(shù)點，同時，EQ，BQ不能直接求，可考慮利用對稱性作輔助線把EQ，BQ轉(zhuǎn)化為一條線段，從而確定點Q的位置.如圖4，正方形ABCD中，點B和點D關于直線AC對稱，所以DE的長即為EQ+BQ的最小值，利用勾股定理就可以算出其值為5，進而求得△BEQ周長的最小值為6.

模型演繹分析此題的背景圖為正方形，模型原型是“牧童飲馬問題”，把正方形的一條對角線（即對稱軸AC）作為定直線，動點Q在對角線AC上，兩個定點E、B都在對角線AC的同側(cè)，且在軸對稱圖形（正方形）上，利用其對稱性把“兩條線段之和”轉(zhuǎn)化為“一條線段”.

例2（2013年蘇州）如圖5，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上.頂點B的坐標為（3，3），點C的坐標為（12，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）.

解題分析要使PA+PC為最小值，把PA、PC轉(zhuǎn)化在同一條線段求最小值，如圖6，在平面直角坐標系中以OB為對稱軸，作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，先求出AM，AD，再求出DN、CN，根據(jù)勾股定理求出CD，即可得出312.

模型演繹分析此題與坐標平面相結合，呈現(xiàn)方式由“牧童飲馬問題”的純幾何方式變?yōu)閿?shù)形結合方式，以Rt△OAB的斜邊OB為定直線，動點P在定直線OB上，兩個定點A、C在定直線OB的同側(cè)且在直角坐標系的橫軸上，在直角坐標系中利用對稱性把“兩條線段之和”轉(zhuǎn)化為“一條線段”.

例3（2013年鄂州）如圖7，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=230.試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（）.endprint

解題分析要使AM+MN+NB的長度和最短，MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可，如圖8，作點A關于直線a的對稱點A′，連接A′B交直線b與點N，過點N作NM⊥直線a，連接AM，則可判斷四邊形AA′NM是平行四邊形，得出AM=A′N，由兩點之間線段最短，可得此時AM+NB的值最小.過點B作BE⊥AA′，交AA′于點E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB.

模型演繹分析此題以平行線為背景圖，這里的定直線和定點“一變二”，定直線為直線a、b，動點M、N分別在定直線a、b上，兩個定點A、B在定直線a、b的兩側(cè)，解答的突破口在于以定直線a（或定直線b）為基礎，確定一動點N（或動點M），構建“牧童飲馬問題”模型，再利用對稱性、平行四邊形性質(zhì)把“兩條線段之和”轉(zhuǎn)化為“一條線段”.

評析從近年全國各地的中考看，在對“牧童飲馬問題”模型的演繹過程中，無論把各種軸對稱圖形（如正方形、菱形、等腰梯形、線段、角等）作為背景圖，還是把直角坐標系或者是平行線或是二次函數(shù)的拋物線作為背景圖，其本質(zhì)是通過對已有的“牧童飲馬問題”進行分拆、交叉、重組和變換，利用對稱性將不在同一直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化在同一直線上.在這個數(shù)學思維活動過程中，學生要對腦海中已有模型并結合現(xiàn)實的背景圖進行充分地直觀感知、分拆重組和變換操作，在此基礎上通過觀察、歸納、類比產(chǎn)生模型特征和模型之間關系的猜想；然后，學生對產(chǎn)生的模型進行合乎邏輯的理性思考與檢驗，對模型進行修改，并建立模型與特征、模型與模型之間的聯(lián)系，最后，推演出新的數(shù)學模型.

3教學啟示

3.1數(shù)學教育要重視數(shù)學模型的建構與演繹活動的開展

恩格斯曾說：“由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式不是無聊的游戲而是數(shù)學的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠.”數(shù)學模型是數(shù)學思維的支撐點，也是數(shù)學知識的附著點，也是數(shù)學應用的突破點[1].數(shù)學模型承載數(shù)學信息，對數(shù)學模型的結構、特征和關系的觀察、歸納、類比和邏輯思考構成了數(shù)學學習的核心活動.數(shù)學教育的核心價值在于發(fā)展學生的模型建構和與之相聯(lián)系的數(shù)學思維水平.根據(jù)學生的數(shù)學思維發(fā)展水平，設計適合學生認知水平的數(shù)學模型理解、表征、建構和相互聯(lián)系等數(shù)學操作和數(shù)學推理活動，是促進學生數(shù)學素養(yǎng)長遠發(fā)展的有效途徑[2].所以，在數(shù)學教育中，我們要把數(shù)學教育與數(shù)學模型的建構和演繹有機的結合起來，在各個環(huán)節(jié)中注意加強數(shù)學模型意識的培養(yǎng)，使學生自覺的應用數(shù)學知識、方法去觀察、分析、解決實際問題，積極主動的建構自己的認知結構，促使學生由知識型向能力型轉(zhuǎn)變.

3.2數(shù)學教學活動要正確處理數(shù)學模型建構與演繹的關系

數(shù)學模型的建構是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律.數(shù)學模型的建構過程是遵循先直觀后邏輯的順序進行的，要用邏輯檢驗、駕馭數(shù)學直覺.數(shù)學模型的演繹是對已有數(shù)學模型進行反復地分拆、交叉、重組和變換的過程.數(shù)學模型的演繹過程，來源于現(xiàn)實中的客觀事物的數(shù)學抽象和已有模型的進一步數(shù)學抽象，來源于對已有模型的分拆、重組和變換.數(shù)學模型的建構與演繹不是“母子關系”，也不是“包容關系”，而是一種“基礎與拓展”的關系，已有的數(shù)學模型是演繹新的數(shù)學模型的基礎（或原有圖式），數(shù)學模型的演繹是在新的現(xiàn)實背景下對已有數(shù)學模型（或原有圖式）的拓展，數(shù)學模型的不斷演繹過程形成了具有一定層次關系的模型鏈和許多模型鏈組成的模型系統(tǒng).當然，也可以把數(shù)學模型的演繹看成新的數(shù)學模型的建構過程.因此，數(shù)學教學活動中正確處理數(shù)學模型建構與演繹的關系，有利于促進初中生數(shù)學思維能力的發(fā)展.

3.3數(shù)學模型的建構與演繹教學活動的注意事項

3.31忌“簡單套用”，宜數(shù)學直覺與邏輯的有機結合

數(shù)學模型的建構與演繹是一種“基礎與拓展”的關系，在應用已有數(shù)學模型演繹新的數(shù)學模型過程，切忌“簡單套用”，做到數(shù)學直覺與邏輯、數(shù)學合情推理與邏輯推理相結合.數(shù)學直覺主要體現(xiàn)在對模型的直觀想象、分拆、重組和變換過程中，這是平行加工過程，而數(shù)學邏輯則是體現(xiàn)在對形成的模型進行邏輯檢驗和建立模型與特征、模型之間關系的活動過程中[3].因此，在教學過程中，要讓學生對模型進行充分地直觀感知、分拆重組和變換操作，在此基礎上通過觀察、歸納、類比產(chǎn)生模型特征和模型之間關系的猜想，然后引導學生對產(chǎn)生的模型進行合乎邏輯的理性思考與檢驗，對模型進行修改，并建立模型與特征、模型與模型之間的聯(lián)系.

3.32忌“一步到位”，宜循序漸進

數(shù)學模型的建構與演繹活動，具有思維發(fā)展的高度價值，其思維發(fā)展的高度價值是基于活動中需要數(shù)學直覺與邏輯并用，數(shù)學合情推理與邏輯推理相融合，是高層次的思維活動[4].高思維參與的數(shù)學活動需要學生的深度參與和積極思考，這就要求在教學中對數(shù)學模型的建構不能“一步到位”，要循序漸進，所設計的模型建構與演繹活動與學生的認知發(fā)展水平相匹配.另一方面，數(shù)學模型的建構和演繹需要個體具有比較豐富的基礎模型作為支撐，這是建構和演繹新模型的基礎.數(shù)學模型的學習活動根據(jù)學生的認知水平從模型建構走向模型演繹；從對模型的經(jīng)驗與直觀走向邏輯建構；從以合情推理為主、邏輯推理為輔走向合情推理與邏輯推理的綜合運用[5].

3.33忌“模型化”，宜動態(tài)生成

科學的、適合初中生認知發(fā)展水平的數(shù)學模型建構與演繹活動，對培養(yǎng)初中生思維品質(zhì)的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高解題速度是十分有益的.但切忌“模型化”，切忌要求學生記“模型”、背“模型”.這是因為數(shù)學模型的建構與演繹，與數(shù)學模型的有向多元表征緊密聯(lián)系.一方面，對已有數(shù)學模型的有向多元表征是實現(xiàn)高效合理的模型建構的基礎，另一方面，對建構的新模型進行有向多元表征是在新模型建構的過程和結果中產(chǎn)生新知識和新觀念的基礎[6].

參考文獻

[1]朱振榮.數(shù)學建模在課標課程教學中的實踐[J].福建中學數(shù)學，2013（09）：20-23.

[2][3][4][5][6]吳增生.數(shù)學模型理解與建構的心理機制及其教育啟示[J].基礎教育論壇，2010（01）：3-7.endprint