尤婉+唐恒鈞

無論是在古中國(guó)還是西方，勾股定理都是數(shù)學(xué)史上的一顆明珠，且在不同的文化中都有著深入的探索，僅證明方法就達(dá)400余種.勾股定理也是世界各國(guó)重要的數(shù)學(xué)教育內(nèi)容，多數(shù)國(guó)家的數(shù)學(xué)課程中都有專門的章節(jié)加以學(xué)習(xí).本文擬從中國(guó)結(jié)、紙風(fēng)車等中國(guó)傳統(tǒng)民俗文化入手，挖掘其中蘊(yùn)含的勾股定理，并以此為基礎(chǔ)討論這些民俗文化元素的教育價(jià)值.

1由中國(guó)結(jié)到勾股定理的證明方法

中國(guó)的文化既悠久又豐富，中國(guó)的民間藝術(shù)豐富，其中中國(guó)結(jié)就是中國(guó)民間藝術(shù)的智慧結(jié)晶.中國(guó)結(jié)從頭到尾都是用一根絲線編結(jié)而成，每一個(gè)基本結(jié)又根據(jù)其形、意命名.把不同的結(jié)飾互相結(jié)合在一起，或用其它具有吉祥圖案的飾物搭配組合，就形成了造型獨(dú)特、絢麗多彩、寓意深刻、內(nèi)涵豐富的中國(guó)傳統(tǒng)吉祥裝飾物品.勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以從中國(guó)傳統(tǒng)的吉祥裝飾物品中體現(xiàn)出來，同樣這種數(shù)學(xué)元素也反映在非洲的裝飾品中[1]，如此一來，這一素材又反映了數(shù)學(xué)多元文化的特點(diǎn).具體地，圖1展現(xiàn)了“結(jié)”的前后表面形狀，圖2是“結(jié)”形狀的輪廓，包括可以看見的線條以及不可見的線條，由此可以看出中間是一個(gè)近似的正方形.

如果按照這個(gè)中國(guó)結(jié)的編織圖形（圖3）進(jìn)行分割，通過截取變化（圖4）便能得到并證明結(jié)論：SC=SA+SB.（圖5）

2由紙風(fēng)車到勾股定理的證明方法

紙風(fēng)車是一種來自民間的折紙藝術(shù)，做法簡(jiǎn)單，制作后的紙風(fēng)車形狀具有數(shù)學(xué)對(duì)稱美，而其形狀又成為了證明勾股定理的良好素材.通過觀察可以看出紙風(fēng)車的形狀成中心對(duì)稱，將紙風(fēng)車中的結(jié)點(diǎn)連接，大正方形被分割成一個(gè)小正方形和四個(gè)全等的四邊形（圖6）.將圖6中的幾何圖形進(jìn)行如圖7的拼接，可以巧妙地證明勾股定理.

3文化素材的教學(xué)應(yīng)用

多元文化數(shù)學(xué)的進(jìn)一步挖掘會(huì)使數(shù)學(xué)的教與學(xué)變得更加豐富多彩[2]，從教學(xué)的角度思考勾股定理的教學(xué)，將上述的文化素材切入勾股定理的學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)融入文化，并從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)設(shè)計(jì)一堂生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)文化課堂.具體而言，上述文化素材可以通過兩種方式加以應(yīng)用.

一是在形成了有關(guān)勾股定理的猜想之后，展現(xiàn)中國(guó)結(jié)與紙風(fēng)車等文化素材，通過數(shù)學(xué)化，將生活形狀抽象為幾何圖形，然后再利用拼圖游戲來直觀化地驗(yàn)證勾股定理.這樣做的目的有三.首先，適應(yīng)學(xué)生的幾何認(rèn)知水平.荷蘭學(xué)者范希爾夫婦經(jīng)過理論和實(shí)踐兩方面的長(zhǎng)期探索，指出學(xué)生的幾何思維存在5個(gè)水平：直觀（Visualization）、分析（Analysis）、推理（Inference）、演繹（Deduction）、嚴(yán)謹(jǐn)（Rigor）[3].初中學(xué)生的邏輯思維能力還不是太強(qiáng)，因此需要通過直觀、操作等手段幫助學(xué)生理解抽象的幾何關(guān)系與演繹邏輯.而借助中國(guó)結(jié)、紙風(fēng)車等為載體抽象出來的幾何圖形，通過拼圖能直觀地驗(yàn)證勾股定理，這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)尤其是抽象思維能力較弱的學(xué)生而言是極為重要的，降低了思維難度，但同時(shí)又提高了學(xué)生的參與度、興趣與信心.其次，密切數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián).在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，學(xué)生學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其生活是相互割裂的.這樣的學(xué)習(xí)也造成了很大的教育問題，即學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)未能被正當(dāng)?shù)刭x值，甚至有人還提出數(shù)學(xué)無用論.因此，在教學(xué)中需要借助學(xué)生生活中常見的素材，并由此學(xué)習(xí)這些素材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素與數(shù)學(xué)關(guān)系，這也即是“數(shù)學(xué)生活化”的教學(xué)設(shè)計(jì)邏輯[4].這即是指，教師首先確立的是“勾股定理”這一數(shù)學(xué)維度上的學(xué)習(xí)目標(biāo)，然后尋找到如中國(guó)結(jié)、紙風(fēng)車等生活中常見的素材，并使之融入到教學(xué)之中，以實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)生活化”.再次，為了學(xué)生文化浸潤(rùn)式的學(xué)習(xí).除了密切學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)之外，還要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的文化厚重感.即借助富有中國(guó)傳統(tǒng)特色的中國(guó)結(jié)、流傳歷史悠久的紙風(fēng)車來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能讓學(xué)生產(chǎn)生歷史厚重感.

二是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理之后，向?qū)W生展現(xiàn)中國(guó)結(jié)和紙風(fēng)車圖片，要求學(xué)生抽象出其中的數(shù)學(xué)元素，并由此探索這些數(shù)學(xué)元素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.與前一種將文化素材作為驗(yàn)證勾股定理的載體不同，這里將其后置到定理學(xué)習(xí)之后作為拓展性的問題讓學(xué)生探索.這種用法的價(jià)值除了具有前述“密切數(shù)學(xué)與生活之間的關(guān)系”、“為了學(xué)生文化浸潤(rùn)式的學(xué)習(xí)”等兩個(gè)方面之外，還有以下意義.首先，為了知識(shí)的鞏固與活化.學(xué)生在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，除了常規(guī)的練習(xí)之外，事實(shí)上更重要的是要將知識(shí)遷移到類似的但又不那么封閉與明確的情境之中.后者不僅在于鞏固知識(shí)，同時(shí)也使知識(shí)得到活化.因?yàn)?，無論是中國(guó)結(jié)還是紙風(fēng)車，都需要學(xué)生作一定程度的數(shù)學(xué)化，并將不熟悉的問題化歸為剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理相關(guān)的問題，顯然這就不僅僅是知識(shí)的鞏固了.其次，從教育目標(biāo)的角度來看，這種做法還期待培養(yǎng)學(xué)生“生活數(shù)學(xué)化”的能力.關(guān)于數(shù)學(xué)價(jià)值，不同的人也許有著不同的理解.但顯見的是，在數(shù)學(xué)上研究越深入的人越能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值.造成這種現(xiàn)象的一個(gè)重要原因在于，數(shù)學(xué)的價(jià)值有時(shí)是非常內(nèi)隱的，甚至很難為人所感知的.如果在教學(xué)中不去挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值，有時(shí)就會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)，甚至?xí)J(rèn)為數(shù)學(xué)只是用于計(jì)算.也正因如此，我們強(qiáng)調(diào)這些文化素材在數(shù)學(xué)教學(xué)中加以應(yīng)用，就是希望所培養(yǎng)的學(xué)生能逐漸擁有用數(shù)學(xué)思考問題的意識(shí)和習(xí)慣，擁有用數(shù)學(xué)更好地組織生活的能力.就本案例而言，中國(guó)結(jié)與紙風(fēng)車都是我們文化生活中所常見的，但我們更習(xí)慣于用工藝品（或藝術(shù)品）的角度來理解，而很少會(huì)從數(shù)學(xué)的角度研究這類物品.但事實(shí)是，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的角度來理解生活中的這些事和物的時(shí)候，往往能帶來驚喜：原來我們身邊處處有數(shù)學(xué).再次，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.過去我們所理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣往往指的是學(xué)生伏在案頭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣.我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣除了上述方面外，一個(gè)更高的層次是學(xué)生隨時(shí)而自然地會(huì)想著用數(shù)學(xué)的角度思考問題.后者當(dāng)然是理想的狀態(tài)，但教學(xué)中的有意識(shí)培養(yǎng)也能幫助學(xué)生朝著這個(gè)方向前進(jìn).其中一個(gè)重要的培養(yǎng)策略就是讓學(xué)生嘗試探索也許表面上與數(shù)學(xué)風(fēng)馬牛不相及的素材中的數(shù)學(xué)元素，除了中國(guó)結(jié)、紙風(fēng)車，還有包括建筑物等素材.需要進(jìn)一步說明的是，與前一種用法相比，這種用法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)要求也更高，當(dāng)然所培養(yǎng)的探索能力也會(huì)更強(qiáng)一些.

總之，數(shù)學(xué)文化的觀念已引起人們?cè)絹碓蕉嗟年P(guān)注，關(guān)于數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程教學(xué)的整合也是研究的熱點(diǎn)問題之一.但關(guān)于富含數(shù)學(xué)元素的民俗文化的挖掘與教育學(xué)轉(zhuǎn)換還比較有限，本文也是在這一方向上的一種努力.

參考文獻(xiàn)

[1]張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化[M].上海：上海教育出版社，2011：233.

[2]唐恒鈞，張維忠.民俗數(shù)學(xué)及其教育學(xué)轉(zhuǎn)化-基于非洲民俗數(shù)學(xué)的討論[J].民族教育研究，2014（2）：115-119.

[3]Nancy C.Whitman，Nobuhiko Nohda，and Morris K. Laietc.Mathematics Education：ACross-Cultural Study[J].Peabody Journal of Education，1997，72（1）：215—232.

[4]陳碧芬，張維忠，唐恒鈞.“數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活”：回顧與反思[J].全球教育展望，2012（1）：86-92.endprint