焦濰蘋

摘 要：高職數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的解決中應(yīng)用已十分廣泛，培養(yǎng)學(xué)生掌握應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是高職數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)，對(duì)高職經(jīng)管專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到相關(guān)經(jīng)濟(jì)專業(yè)課學(xué)習(xí)中去的能力.現(xiàn)結(jié)合高職院校經(jīng)濟(jì)管理類的專業(yè)特點(diǎn)舉例討論高等數(shù)學(xué)知識(shí)在解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟(jì)問(wèn)題 極限 導(dǎo)數(shù) 積分

中圖分類號(hào)：O1-4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）10（a）-0154-02

現(xiàn)代數(shù)學(xué)已不再是一門孤立的學(xué)科，它已越來(lái)越多地應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界的科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)生活、文化藝術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域，其中它在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用更是越來(lái)越廣泛。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用可追溯到17世紀(jì)90年代，在1690年出版的英國(guó)古典政治經(jīng)濟(jì)學(xué)創(chuàng)始人—— 威廉·配第的經(jīng)濟(jì)學(xué)論文《政治算術(shù)》中首先應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題[1-2]，到19世紀(jì)變量和函數(shù)的概念被引入到經(jīng)濟(jì)學(xué)中，再到20世紀(jì)大批運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的論著問(wèn)世，數(shù)學(xué)已與經(jīng)濟(jì)研究密切聯(lián)系在一起了[1]。而在當(dāng)今，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題已是無(wú)處不在，數(shù)學(xué)已成為研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的一個(gè)重要工具，高職數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力。下面應(yīng)用微積分知識(shí)解決幾個(gè)具體的實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，探討應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的方法。

1 極限在復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問(wèn)題中的應(yīng)用

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性概念，極限思想是貫穿高等數(shù)學(xué)始終的，它在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中最直接的應(yīng)用就是復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問(wèn)題。假設(shè)現(xiàn)有本金p元，存款n年，年利率為r，若每年到期后本金與利息作為本金自動(dòng)轉(zhuǎn)存，則n年到期時(shí)的本利和。若把一年平均分為期計(jì)息，每期利率可認(rèn)為，則n年到期時(shí)的本利和為 ，m=nt[2]。

假設(shè)計(jì)息期無(wú)限縮短，即令期權(quán)，由此可以得到連續(xù)復(fù)利的復(fù)利公式

[2]。

應(yīng)用上述公式可很容易解決復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問(wèn)題，下面以一個(gè)具體實(shí)例來(lái)探討。

例1：王先生用分期付款的方式購(gòu)買一套價(jià)值為100萬(wàn)的商品房，首付為30萬(wàn)，從銀行貸款70萬(wàn)，他想20年還完貸款，貸款的年利率為6%，計(jì)算王先生20年末還款的本利和。（1）按離散情況計(jì)算，每年計(jì)息一期；（2）按連續(xù)復(fù)利計(jì)算。

解：本例可以上述分析的公式來(lái)計(jì)算，本例中

（1）按離散情況計(jì)算，

（萬(wàn)元）

（2）按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，

（萬(wàn)元）。

由本例可看出，應(yīng)用連續(xù)復(fù)利公式可以很容易解決實(shí)際生活中的利息計(jì)算問(wèn)題，由本例也可得出，連續(xù)復(fù)利計(jì)息時(shí)的本利和要比離散計(jì)息的本利和高。

2 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中最廣泛的應(yīng)用是邊際分析和彈性分析，下面舉例說(shuō)明這兩方面的應(yīng)用。

2.1 邊際分析

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)定義為該函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)，這樣邊際成本是總成本函數(shù)C（x）的導(dǎo)函數(shù)，即MC=（x）[2]，因此際收入是收入函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)R（x），即MR=R（x），邊際利潤(rùn)是利潤(rùn)函數(shù)L（x）的導(dǎo)函數(shù)，即ML=L（x）。下面通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用。

例2、某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤(rùn)L（x）與產(chǎn)量X（斤）之間的函數(shù)關(guān)系為L(zhǎng)（）x，=-0.01x2+20x-1000，求x=500，1000，1500時(shí)的邊際利潤(rùn)，并給以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)解釋。

解：邊際利潤(rùn)函數(shù)為ML=L（x）=20- 0.02x。

當(dāng)x=500斤時(shí)，L（500）=10（元）。它表示在每天產(chǎn)量為500斤的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1斤，總利潤(rùn)將增加10元。

當(dāng)x=1000斤時(shí)，L（1000）=0（元）。它表示每天生產(chǎn)1000斤的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1斤，總利潤(rùn)沒(méi)有變化，即這一斤沒(méi)有產(chǎn)生利潤(rùn)。

當(dāng)x=1500斤時(shí)，L（1500）=-10（元）。它表示在每天生產(chǎn)1500斤的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1斤，利潤(rùn)會(huì)減少10元。這時(shí)雖然產(chǎn)量增加了，但利潤(rùn)反而減少了，這說(shuō)明并非產(chǎn)量越大，利潤(rùn)越高。

例3：若某廠每天生產(chǎn)的產(chǎn)品固定成本為1000元，生產(chǎn)x個(gè)單位產(chǎn)品的可變成本為0.01x2+10x，如果每單位產(chǎn)品的售價(jià)為30元，設(shè)每天生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售出，問(wèn)每天生產(chǎn)多少單位時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。

解：設(shè)每天的產(chǎn)量為X單位，因?yàn)楣潭ǔ杀綜0=1000，可變成本V（x）=0.01x2+10x，所以總成本函數(shù)C（x）=C0+V（x）=1000+0.01x2+10x；因?yàn)槊刻焐a(chǎn)的產(chǎn)品能全部售出，所以總收益函數(shù)R（x）=30x。

因此總利潤(rùn)函數(shù)L（x）=R（x）-C（x）=20x-0.01x2-1000；

則L′（x）=20-0.02x=0，得x=1000，又L″（x）=-0.01<0；

所以當(dāng)每天產(chǎn)量為1000單位時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為9000元。

由本例看出，當(dāng)L′（x）=0時(shí)，R（x）=C′（x），即=MC=MR，此時(shí)利潤(rùn)最大。這說(shuō)明廠商為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平。這也是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要結(jié)論。

由以上兩例可以看出應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以方便地解決經(jīng)濟(jì)中的一些復(fù)雜問(wèn)題，并且也能剖析經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)質(zhì)。

2.2 彈性分析

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)常要分析一個(gè)經(jīng)濟(jì)量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量變化反應(yīng)的靈敏程度，這時(shí)單靠導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行分析是不行的，因而需要引入新的數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)中，我們稱為函數(shù)的相對(duì)變化率或彈性，能反映函數(shù)f（x）對(duì)自變量x變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或敏感度[2]。下面應(yīng)用彈性這個(gè)工具來(lái)分析商品的需求量對(duì)市場(chǎng)價(jià)格反應(yīng)的靈敏程度。一般稱某商品的市場(chǎng)需求量Q與該商品的價(jià)格p所構(gòu)成的函數(shù)Q（P）為需求函數(shù)，如果需求函數(shù)Q（p）可導(dǎo)，則該函數(shù)的彈性為，常稱為需求彈性，記為，即，需求彈性表示某商品的需求量Q對(duì)價(jià)格p變化的反應(yīng)程度：當(dāng)商品的價(jià)格上漲（或下跌）1%時(shí)，需求量將減少（或增加）[2]。下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在彈性分析中的應(yīng)用。

例4：設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=1000-50p（Q是需求量，p是價(jià)格），求p=5，10，15時(shí)的需求彈性，并給以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)解釋。

解：需求彈性

。

（1）當(dāng)p=5時(shí)，，此時(shí)價(jià)格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加） 0.33%，這時(shí)需求量的變化小于價(jià)格的變化，稱為是低彈性的情況。

（2）當(dāng)p=10時(shí)，，此時(shí)價(jià)格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加）1%，這時(shí)需求量的變化與價(jià)格的變化相當(dāng)，稱為是單位彈性的情況。

（3）當(dāng)p=15時(shí)，，此時(shí)價(jià)格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加）3%，這時(shí)需求量的變化大于價(jià)格的變化，稱為是高彈性的情況。

由此可看出，應(yīng)用需求函數(shù)的彈性來(lái)分析價(jià)格對(duì)需求量的影響是很方便的。

3 積分在投資問(wèn)題中的應(yīng)用

積分在經(jīng)濟(jì)中的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算投資問(wèn)題中收入現(xiàn)值與投資回收期。在投資問(wèn)題中，假若現(xiàn)有資金a萬(wàn)元，投入t年，按年利率r作連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則t年后的本息共為aert萬(wàn)元；反之，假若t年后的本息和為a萬(wàn)元，則現(xiàn)應(yīng)有資金為ae-rt萬(wàn)元，這稱之為資本現(xiàn)值[2]。

3.1 總收入現(xiàn)值的計(jì)算

設(shè)在時(shí)間段0到T年內(nèi)的收入率f（t）（單位時(shí)間內(nèi)的收入）是均勻的，即f（t）=A（A為常數(shù)），年利率r也是常數(shù)，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則在[0，T]內(nèi)的資本現(xiàn)值為

[2]。

3.2 純收入（貼）現(xiàn)值的計(jì)算

投資T年后獲總收入現(xiàn)值為，所以投資獲得的純收入（貼）現(xiàn)值為

[2]。

3.3 投資回收期的計(jì)算

投資回收期是指用投資項(xiàng)目所得的凈收益償還原始投資所需要的年限，即總收入現(xiàn)值等投資，即有，解之得：[2]。

例4：若某企業(yè)投資為500萬(wàn)元，年利率r=10%，預(yù)計(jì)在10年內(nèi)的均勻收入率為120萬(wàn)元/年，試求：（1）該投資的純收入（貼）現(xiàn)值；（2）收回該筆投資的年限是多少。

解：（1）由2知該投資中a=500，A=120，r=10%=0.1，T=10，所以純收入（貼）現(xiàn)值為

（萬(wàn)元）

（2）由3知投資回收期

（年）。

應(yīng)用積分得出的結(jié)論可以很容易解決投資中的收入現(xiàn)值及投資回收期的計(jì)算問(wèn)題。

4 結(jié)論

由上述分析可得出，高職院校學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用是很廣泛的，數(shù)學(xué)知識(shí)為解決某些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題提供了新的方法，它可從數(shù)學(xué)的角度去分析解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，有時(shí)還能剖析某些問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

在高職經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的數(shù)學(xué)課教學(xué)中應(yīng)注重與專業(yè)課的銜接，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)及方法解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的方便之處，讓學(xué)生學(xué)以致用。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳堅(jiān).淺談微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[J].科技風(fēng)，2009（7）：102-103.

[2] 李宏家.激流中的智慧—— 論威廉·配第[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2006.

[3] 竇連江，林漪.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011.