孫 祺，那 彥，劉 波

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071)

圖像融合是將不同傳感器對(duì)同一場(chǎng)景的成像融合成一幅新的圖像，以獲得更多信息的過程。融合后的圖像可信度更高、模糊較少，為計(jì)算機(jī)視覺檢測(cè)、分類、識(shí)別等提供必要的準(zhǔn)備，具有重要的意義［1］。1986年K.T.Atanassov教授在模糊理論的基礎(chǔ)上提出直覺模糊理論［2］，創(chuàng)造性地引入了“非隸屬度”這一參數(shù)，使直覺模糊集不僅可以描述對(duì)象“亦此亦彼”的模糊概念，還可以描述其“非此非彼”的中立概念，具有良好的應(yīng)用前景。

最早將模糊理論引入圖像融合的是加拿大的A Nejatali和 IR Ciric［3］，隨著近年來的發(fā)展，基于模糊理論的圖像融合算法得到了廣泛的研究［4－5］，也出現(xiàn)了少量基于直覺模糊理論的圖像融合算法［6］。但這些算法只引入了直覺模糊邏輯，算法復(fù)雜、不靈活，針對(duì)這些問題本文提出一種基于Mamdani型直覺模糊推理的圖像融合算法，通過制定合理的融合規(guī)則確定直覺模糊推理系統(tǒng)，將待融合圖像作為系統(tǒng)輸入即可得到融合圖像，操作簡(jiǎn)便、效果良好，通過改變推理規(guī)則可完成不同的融合目標(biāo)。由于直覺模糊集較模糊集更加細(xì)膩地描述了客觀事物的不確定性，因此基于直覺模糊集的推理系統(tǒng)較傳統(tǒng)的模糊推理系統(tǒng)更具優(yōu)勢(shì)，推理結(jié)果也較好。

1 直覺模糊推理系統(tǒng)

1.1 直覺模糊集

直覺模糊子集A定義為［2］

其中，μA(x)∶X→［0，1］和vA(x)∶X→［0，1］分別代表A的隸屬度函數(shù)μA(x)和非隸屬度函數(shù)vA(x)，且對(duì)于A上所有x∈X，0≤μA(x)+vA(x)≤1成立。X上的全體直覺模糊子集記作IF(X)。在不引起混淆的情況下，直覺模糊子集也稱為直覺模糊集。

由定義可知，論域X上的直覺模糊子集A由隸屬度函數(shù)μA(x)和非隸屬度函數(shù)vA(x)來表征，μA(x)的大小反映了x對(duì)于直覺模糊子集A的隸屬程度，而vA(x)反映了x對(duì)于直覺模糊子集A的非隸屬度程度，二者之和＜1。

1.2 直覺模糊推理系統(tǒng)

直覺模糊推理本質(zhì)上是一個(gè)從輸入到輸出的映射，并且該映射可以是復(fù)雜的非線性映射。實(shí)現(xiàn)這一映射的主要機(jī)制是一組被稱為規(guī)則的“if－then”語句，也稱為“if－then”規(guī)則庫，它是整個(gè)推理系統(tǒng)的核心。一個(gè)簡(jiǎn)單的“if－then”規(guī)則具有如下形式［7］

它表示“如果輸入(x)是A，那么輸出(y)是B”，它是一種用自然語言描述的輸入和輸出之間的映射關(guān)系。其中A和B是自然語言描述的概念，具有一定的模糊性，在推理時(shí)用論域X和論域Y上的直覺模糊集來表示，也可以認(rèn)為A和B就是直覺模糊集。例如圖像灰度“暗”、“正?！薄ⅰ傲痢边@3個(gè)模糊概念就可分別用3個(gè)直覺模糊集表示。“if－then”規(guī)則描述的輸入輸出間的關(guān)系，稱為直覺模糊蘊(yùn)含關(guān)系，記為A→B，用直覺模糊蘊(yùn)含矩陣R(A→B)(x，y)或R表示，使用直覺模糊蘊(yùn)含算子計(jì)算［8］。

直覺模糊推理的基本原理是已知輸入輸出間的映射關(guān)系(“if－then”規(guī)則)和現(xiàn)在的輸入“A”，然后計(jì)算直覺模糊蘊(yùn)含矩陣R，再將R與A'做合成運(yùn)算，即可得到輸入A'對(duì)應(yīng)的輸出B'。其計(jì)算公式表示為

其中，A、A'、B和B'均為由直覺模糊集表示的模糊概念;“·”為合成算子。A'和A雖不同，但卻并非完全不同，其之間也較為相似，且系統(tǒng)輸出的B'和B也相似，因此直覺模糊推理是一種近似推理。

不難發(fā)現(xiàn)，以上介紹的直覺模糊推理其輸入輸出均為直覺模糊集表示的模糊概念，當(dāng)系統(tǒng)的輸入輸出需要為精確值時(shí)，就要對(duì)系統(tǒng)的精確輸入進(jìn)行直覺模糊化，系統(tǒng)的模糊輸出進(jìn)行解模糊運(yùn)算。這種輸入輸出均為精確值的推理系統(tǒng)即為Mamdani型推理系統(tǒng)。

2 基于Mamdani型模糊推理圖像融合算法

在圖像融合中，圖像的研究對(duì)象、背景、輪廓、邊緣等都是一些模糊信息，對(duì)于一個(gè)像素點(diǎn)，很難對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的分類。對(duì)于圖像中這種不確定信息，直覺模糊集合提供了較好的解決方法，它為每一個(gè)像素點(diǎn)提供一對(duì)隸屬度、非隸屬度值來描述其和某一個(gè)集合的關(guān)系，這樣每個(gè)像素點(diǎn)可以同時(shí)屬于多個(gè)不同的集合，但它們對(duì)集合的隸屬程度不同。直覺模糊推理系統(tǒng)針對(duì)不同的直覺模糊集合提供不同的融合規(guī)則，并根據(jù)推理算子和決策算子給出最終的融合結(jié)果，使得融合圖像更加符合人類的視覺感知，獲得更好的融合效果。

2.1 直覺模糊規(guī)則庫的設(shè)計(jì)

本文針對(duì)CT、MRI醫(yī)學(xué)灰度圖像進(jìn)行融合，推理系統(tǒng)輸出為output，即融合圖像。輸入輸出圖像像素點(diǎn)灰度值的取值范圍為(0～255)，按照灰度值由小到大的順序?qū)⑵鋭澐譃?個(gè)灰度級(jí)別:暗(Dark)，正常(Normal)，亮(Bright)。由于CT、MRI圖像的背景灰度值較小，而表示信息的部分灰度值相對(duì)較大，為了獲得更多的圖像信息，本文設(shè)定“灰度級(jí)別取大”為融合目標(biāo)(灰度級(jí)別Dark＜Normal＜Bright)，并根據(jù)融合目標(biāo)設(shè)計(jì)推理規(guī)則庫如下:

規(guī)則 1 If CT is Bright or MRI is Bright，then output is Bright;

規(guī)則 2 If CT is Normal and MRI is Normal，then output is Normal;

規(guī)則 3 If CT is Normal and MRI is Dark，then output is Normal;

規(guī)則 4 If CT is Dark and MRI is Normal，then output is Normal;

規(guī)則 5 If CT is Dark and MRI is Dark，then output is Dark;

將自然語言描述的輸入輸出映射關(guān)系用直覺模糊蘊(yùn)含矩組［R1，R2，…，R5］陣表示，其計(jì)算步驟如下:

第1步 確定輸入輸出直覺模糊集。本文直覺模糊集的隸屬度函數(shù)μ(x)、非隸屬度函數(shù)v(x)均取三角型函數(shù)，即

對(duì)于輸入圖像，3個(gè)灰度級(jí)別分別用論域X上的直覺模糊集D、N、B表示，其隸屬度函數(shù)對(duì)應(yīng)參數(shù) a、b、c的值分別為［－0.4 0 0.4］、［0.2 0.5 0.8］和［0.6 1 1.4］;非隸屬度函數(shù)對(duì)應(yīng)參數(shù)a、b、c的值分別為［－0.4 0 0.4］、［0.1 0.5 1］和［0.6 1 1.4］。對(duì)于輸出圖像，3個(gè)灰度級(jí)別分別用論域Y上的直覺模糊集D'、N'、B'表示，其隸屬度函數(shù)對(duì)應(yīng)參數(shù)a、b、c的值分別為［－0.3 0 0.3］、［0.3 0.5 0.7］、［0.7 1 1.3］;非隸屬度函數(shù)對(duì)應(yīng)參數(shù)同隸屬度函數(shù)。

第2步 規(guī)則前件合成運(yùn)算。本文的推理系統(tǒng)有兩個(gè)輸入，在推理規(guī)則中使用連接詞“or”或“and”進(jìn)行連接，邏輯上分別表示兩個(gè)輸入之間“或”和“與”的關(guān)系，在推理時(shí)為直覺模糊集合間的一種運(yùn)算，可將兩個(gè)輸入合并為一個(gè)輸入。設(shè)規(guī)則i的兩個(gè)輸入合成直覺模糊集Mi，則Mi為

其中，直覺模糊集Ii1=(〈μi1(x)，vi1(x)〉x∈X)為規(guī)則i第一個(gè)輸入對(duì)應(yīng)的直覺模糊集，Ii2=(〈μi2(x)，vi2(x)〉x∈X)為規(guī)則i第二個(gè)輸入對(duì)應(yīng)的直覺模糊集。例如對(duì)應(yīng)規(guī)則3，I31=N，I32=D。

第3步 計(jì)算直覺模糊蘊(yùn)含矩陣組。本文選擇Mamdani型直覺模糊蘊(yùn)含算子，則規(guī)則i的Mamdani型直覺模糊蘊(yùn)含矩陣Ri為

Ri(x，y)=(μMi(x)∧μi(y)，vMi(x)∨vi(y))(7)其中，“∧”表示取小，“∨”表示取大;Oi=(〈μi(y)，vi(y)〉y∈Y)為規(guī)則i輸出部分對(duì)應(yīng)的直覺模糊集。例如規(guī)則 1，O1=B'。

2.2 圖像融合算法的實(shí)現(xiàn)

基于Mamdani型直覺模糊推理的圖像融合算法流程如圖1所示，將輸入的待融合圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)(i，j)作為系統(tǒng)輸入，其融合方法步驟為:

圖1 基于Mamdani型系統(tǒng)的醫(yī)學(xué)圖像融合算法流程圖

第1步 根據(jù)上一節(jié)的步驟確定“if－then”融合規(guī)則并計(jì)算直覺模糊蘊(yùn)含矩陣組。

第2步 輸入CT和MRI圖像，進(jìn)行預(yù)處理。

第3步 直覺模糊化，本文采用單點(diǎn)直覺模糊化的方法，灰度值為x0的像素點(diǎn)可直覺模糊化為

其中，L取值為直覺模糊集D、N、B。

第4步 輸入合成運(yùn)算，將CT、MRI位于(i，j)處的像素對(duì)應(yīng)的直覺模糊集做合成運(yùn)算，得到一個(gè)直覺模糊集作為推理系統(tǒng)的輸入，為下一步與蘊(yùn)含矩陣組的合成運(yùn)算做準(zhǔn)備。

第5步 將第4步得到的直覺模糊集與表示規(guī)則庫的模糊蘊(yùn)含矩陣組做合成運(yùn)算，根據(jù)式(3)進(jìn)行推理，得到每條規(guī)則的推理結(jié)果。本文采用最大－最小合成算法，設(shè)已知輸入直覺模糊集合A'和直覺模糊蘊(yùn)含矩陣R，推理輸出為直覺模糊集，則的隸屬度、非隸屬度函數(shù)為

第6步 綜合第5步各條規(guī)則的推理結(jié)果，得到一個(gè)直覺模糊集作為最終輸出。

第7步 將第6步得到的融合圖像中每個(gè)像素點(diǎn)(i，j)對(duì)應(yīng)的直覺模糊集進(jìn)行解模糊計(jì)算，得到融合圖像中每個(gè)像素點(diǎn)(i，j)的灰度值，并最后合成融合圖像。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

使用Matlab2010對(duì)本文提出的算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，同時(shí)對(duì)文獻(xiàn)［6］中的直覺模糊推理融合算法以及基于Mamdani型模糊推理系統(tǒng)的融合算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)并作為對(duì)比方法。待融合醫(yī)學(xué)圖像如圖2所示，3種算法的融合結(jié)果如圖3所示。使用Matlab計(jì)算各融合圖像的標(biāo)準(zhǔn)差、均方差、峰值信噪比和信息熵等，作為客觀分析融合圖像質(zhì)量及評(píng)價(jià)融合算法的重要依據(jù)。根據(jù)文獻(xiàn)［9］，融合圖像的標(biāo)準(zhǔn)差越大，圖像像素點(diǎn)的灰度相對(duì)于其平均值越離散;均方差越小，融合圖像與原圖像越接近，融合效果越好;峰值信噪比越大，融合圖像的失真越小;信息熵越大，融合圖像所包含的信息越豐富。3種算法融合圖像的評(píng)價(jià)參數(shù)如表1所示。

圖2 待融合CT和MRI圖像

圖3 融合結(jié)果圖像

表1 融合結(jié)果參數(shù)對(duì)比

觀察圖3中的融合圖像可以看到，3種方法都取得了良好的融合效果，但M型直覺模糊推理算法優(yōu)于另外兩種算法，其融合圖片能夠看到更多的細(xì)節(jié)信息，對(duì)比度明顯，邊緣輪廓清晰。

分析表1中的數(shù)據(jù)，可知本文提出的算法，除標(biāo)準(zhǔn)差外，融合圖像的其他評(píng)價(jià)參數(shù)較另外兩種方法均有所提高，說明由本文算法得到的融合圖像效果較好，包含了更多的圖像信息。由本文算法得到的圖像優(yōu)于基于M模糊推理算法得到的圖像，說明直覺模糊集在推理系統(tǒng)中發(fā)揮了更大的作用，在處理圖像不確定信息時(shí)具有更多的優(yōu)勢(shì)。基于推理系統(tǒng)的兩種融合算法，其融合圖像的標(biāo)準(zhǔn)差都有所下降，這是因?yàn)橥评硐到y(tǒng)在處理圖像的不確定信息時(shí)會(huì)同時(shí)激活每條規(guī)則，對(duì)同一個(gè)輸入，對(duì)應(yīng)每條規(guī)則都有一個(gè)輸出，而系統(tǒng)的最終輸出是各規(guī)則輸出的綜合。這一過程類似于對(duì)輸入進(jìn)行加權(quán)平均，必然會(huì)降低圖像的灰度離散程度。因此，如何減輕推理系統(tǒng)這一缺點(diǎn)對(duì)融合圖像造成的影響也是未來的研究目標(biāo)。

4 結(jié)束語

本文提出了基于Mamdain型直覺模糊推理的圖像融合算法，數(shù)學(xué)建模符合人類思維過程，只需根據(jù)融合規(guī)則并選擇合適的輸入輸出隸屬度、非隸屬度函數(shù)建立推理系統(tǒng)，將待融合圖像輸入系統(tǒng)即可得到融合圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該算法的可行性及有效性，驗(yàn)證了直覺模糊集在描述事物本質(zhì)方面的優(yōu)勢(shì)，較好地將直覺模糊理論用于圖像融合領(lǐng)域。

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