李建軍 張艷華 趙志明 張功學(xué)

摘要：本文通過對一道力學(xué)競賽試題的引入，著重探討了異種材料組合梁在橫力彎曲時橫截面上應(yīng)力、應(yīng)變分布情況，由彎曲時的平面假設(shè)得出異種材料組合梁截面上的彎曲正應(yīng)力計算公式的直接法，進一步引入了等效截面法，最終通過直接法和等效截面法兩種方法的比較，得知異質(zhì)材料組合梁以使用等效截面法求解為宜。因為用此種方法求解可不必熟背一些復(fù)雜、煩瑣的公式，而是將截面等效變換處理后，運用熟悉的計算公式，處理異種材料組合梁，即將一個復(fù)雜的新問題處理為一個簡單的熟悉的問題，計算簡單、方便。

關(guān)鍵詞：組合梁；應(yīng)力；應(yīng)變；等效截面法

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）52-0187-02

一、引言

在第八屆周培源全國大學(xué)生力學(xué)競賽試題中有這樣一道題：有一彈性模量為E1的矩形截面懸臂梁AB，A端固定，B端自由。梁長為L，截面高度為h1，寬度為b。梁上表面粘著模量為E2=2E1的增強材料層，該層高度h2=0.1h1，長度和寬度與梁AB相同。工作臺面D距離B端下表面高度為△。在B端作用垂直向下的載荷FP。不考慮各部分的自重。（1）求組合截面中性軸的位置；（2）求使梁B端下表面剛好接觸D臺面所需的力FP；（3）求此時粘接面無相對滑動情況下的剪力；（4）計算梁的剪應(yīng)力值并畫出其沿梁截面高度的分布圖。要想求解這道題目，就必須知道異種材料組合梁截面上的應(yīng)變、應(yīng)力是如何分布的，再借用合理的方法來計算應(yīng)力就可求解這道題目了。

二、異種材料組合梁截面上應(yīng)力分布的研究

考慮圖2a所示組合梁，材料1與材料2的彈性模量分別為E1和E2，相應(yīng)的橫截面面積分別為A1和A2，并分別簡稱為截面1與截面2。在梁兩端的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，作用一對方向相反、其矩均為M的力偶。試驗表明，梁彎曲的平面假設(shè)與單向受力假設(shè)仍然成立。

1.直接法。首先研究復(fù)合梁的變形。為此，沿截面對稱軸與中性軸分別建立y軸和z軸，并用ρ表示中性層的曲率半徑，則根據(jù)平面假設(shè)可知，橫截面上y處的縱向正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

ε=■

即縱向正應(yīng)變沿截面高度線性變化（圖2b）。

在線彈性范圍內(nèi)，由單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律，可得橫截面上材料1與材料2各點處的彎曲正應(yīng)力分別為：

σ■=■σ■=■ （a）

即彎曲正應(yīng)力沿截面1與截面2分區(qū)線性變化（圖2c），而在該兩截面的交界處，正應(yīng)力則發(fā)生突變。對于由多種材料組成的組合梁，雖然其縱向正應(yīng)變沿截面高度連續(xù)變化，但由于材料的非均勻性，在不同材料的交界處，彎曲正應(yīng)力必然發(fā)生突變。

現(xiàn)在研究問題得靜力學(xué)方面。根據(jù)橫截面上不存在軸力、僅存在彎矩M的條件，顯然有：

■σ■dA■+■σ■dA■=0？搖？搖？搖？搖 （b）

■yσ■dA■+■yσ■dA■=M？搖？搖 （c）

將式（a）分別帶入式（b）、（c），得：

E■■ydA■+E■■ydA■=0 （d）

■■y■dA■+■■y■dA■=M？搖？搖 （e）

由此得中性層的去率為：

■=■ （f）

式中，I1與I2分別代表截面1與截面2對中性軸的慣性矩。

最后，將式（f）帶入式（a），于是得截面1與截面2彎曲正應(yīng)力分別為：

σ■=■σ■=■ （g）

2.等效截面法。等效截面法是以式（d）～（g）為依據(jù)，將多種材料構(gòu)成的截面轉(zhuǎn)化為單一材料的等效截面，然后采用分析均質(zhì)材料梁的方法進行求解。

首先，令n=■，？搖？搖■■=I■+nI■，

于是式（d）與（f）就簡化為：

■ydA■+E■■yndA■=0 ？搖（h）

■=■ （i）

而截面1和2上的彎曲正應(yīng)力則分別為：

σ■=■σ■=■ （j）

由此可知，如果將材料1所構(gòu)成的截面1保持不變，而將截面2沿z軸方向的尺寸乘以n，即將實際截面（圖3a）變換成僅由材料1所構(gòu)成的截面（圖3b），顯然該截面的水平形心軸與實際截面的中性軸重合，對中性軸z的慣性矩等于■■，而其彎曲剛度則為E■■■?？梢娫谥行暂S位置與彎曲剛度方面，圖3b所示截面與實際截面完全等效，只要中性軸位置與慣性矩■■確定后，由式（j）即可求出截面1和2上的彎曲正應(yīng)力。同理，也可選擇材料2作為基本材料，而將截面1進行轉(zhuǎn)換（圖3c），由此亦得彎曲正應(yīng)力結(jié)果。

同理可以導(dǎo)出材料1和材料2截面內(nèi)的切應(yīng)力τ■和τ■分別為：

τ■=■τ■=■ （k）

式（k）中S■■■是基本材料所在截面對中性軸的靜矩，b基本材料所在截面的寬度。

三、結(jié)論

1.組合梁無論由幾種材料組成，仍認為彎曲時平面假設(shè)成立，因此橫截面上的正應(yīng)力組成彎矩這一靜力學(xué)關(guān)系可寫成：M=■■y■dA■+■■y■dA■+…=■∑EiI■■，所以σ■=■=■My

2.組合梁無論由幾種材料組成，對于不同的材料可以在每部分的剛度保持不變的原則下，根據(jù)彈性模量的大小，在截面的高度不變的前提下變換截面的寬度，即任取一種材料的彈性模量和截面的寬度設(shè)其為E■，b■，則其他材料的截面寬度為b■=■b■，即通過改變其他材料的截面寬度之后，組合梁就變換成單一材料的梁了。

3.通過直接法和等效截面法兩種方法的比較，得知異質(zhì)材料組合梁以使用等效截面法求解為宜。因為用此種方法求解可不必熟背一些復(fù)雜、煩瑣的公式，而是將截面等效變換處理后，運用熟悉的計算公式，處理異種材料組合梁。即將一個復(fù)雜的新問題處理為一個簡單的熟悉的問題，計算簡單、方便。所以，文章引言中的競賽題完全可以運用等效截面法求解。

參考文獻：

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