印興耀，崔維，宗兆云，劉曉晶

中國石油大學（華東）地球科學與技術(shù)學院，青島 266580

1 引言

地震數(shù)據(jù)中蘊含著豐富的儲層物性參數(shù)信息，而儲層物性參數(shù)作為衡量儲層質(zhì)量及孔隙承載含流體狀況的重要參數(shù)，其準確估計能夠為儲層預測提供有力參考依據(jù)，為孔隙流體識別起到一定的指導作用.

針對于儲層物性參數(shù)反演方法的研究，國內(nèi)外學者取得一系列研究成果.Doyen（1988）使用協(xié)同克里格法用地震數(shù)據(jù)反演出的聲阻抗數(shù)據(jù)來預測孔隙度參數(shù)；McCormack（1991）提出將神經(jīng)網(wǎng)絡技術(shù)應用于地球物理領域；國內(nèi)印興耀等（1994，1998）將神經(jīng)網(wǎng)絡技術(shù)應用到儲層預測中；董恩清和高宏亮（1998）提出應用人工神經(jīng)網(wǎng)絡的方法將約束反演得到的波阻抗轉(zhuǎn)換成儲層物性參數(shù)；由于神經(jīng)網(wǎng)絡有一定的局限性，后來的研究人員對神經(jīng)網(wǎng)絡做了一定程度的改進，田景文綜合BP（Back Propagation）的快速收斂和GA（Genetic Algorithm，遺傳算法）的全局尋優(yōu)的特點，將二者有機的結(jié)合起來，形成BP－GA混合算法實現(xiàn)薄互儲層物性參數(shù)預測，該方法能較好地解決預測精度和收斂速度問題（田景文和高美娟，2002）；聶建新等（2004）提出基于同時包含Biot流動和噴射流動這兩種力學機制的非飽和多孔隙BISQ模型，利用小生境遺傳算法實現(xiàn)儲層參數(shù)反演，該方法在觀測噪聲低于5%時，具有很高的精度；Mukerji和Eidsvik提出使用統(tǒng)計巖石物理模型聯(lián)合地震資料識別儲層巖性和流體性質(zhì)，并做出不確定性分析 （Mukerji et al.，2001a，2001b；Eidsvik et al.，2004）；Spikes等（2007）提出了一種聯(lián)合地震資料和測井數(shù)據(jù)的概率地震反演技術(shù)實現(xiàn)儲層參數(shù)預測；Larsen等（2006）將馬爾科夫鏈模型作為流體的先驗分布引入到綜合的巖性流體預測中；Gallop（2006）應用此方法實現(xiàn)了儲層相態(tài)的空間預測；Bachrach（2006）將隨機巖石物理模型應用于含氣砂巖中，聯(lián)合反演孔隙度及含水飽和度；Buland等（2008）定義一種能夠描述彈性參數(shù)的空間模型——高斯模型，應用于快速貝葉斯反演方法中實現(xiàn)巖性和流體預測；由于地震資料、測井數(shù)據(jù)以及巖石物理信息在空間分布，尺度以及與儲層的物性關系上的不一致性，Bosch等（2009）提出一種融合地質(zhì)統(tǒng)計學的方法實現(xiàn)孔隙度以及含水飽和度的預測，在該方法中，用到最小二乘法以及馬爾科夫鏈蒙特卡羅采樣技術(shù)；Grana和Rossa（2010）提出的反演儲層物性參數(shù)的方法依然是建立在貝葉斯理論框架之下，建立物性參數(shù)的先驗分布時假設其服從多分量混合高斯分布，聯(lián)合統(tǒng)計巖石物理模型，估計物性參數(shù)的后驗概率分布，完成儲層物性參數(shù)預測；Ulvmoen和Omre（2010）使用馬爾科夫隨機場來做流體識別；Rimstand和Omre（2010）在Ulvmoen提出的模型基礎上，將其推廣到依賴于深度的巖石物理模型并推導出模型參數(shù)；Han等（2011）使用一種空間的巖性流體聚類的方法實現(xiàn)了巖性流體預測；Bosch等（2010）提出基于貝葉斯理論框架下的儲層物性參數(shù)反演方法.

基于貝葉斯理論框架下的儲層物性參數(shù)反演，大多使用井反演獲得的彈性參數(shù)進一步來估算物性參數(shù)，轉(zhuǎn)換過程中通常需要應用到反演精度相對較差的密度項，從而使間接估算儲層參數(shù)的精度下降，因此本文在充分利用彈性阻抗反演穩(wěn)定性的基礎上，提出一種基于彈性阻抗的儲層物性參數(shù)預測方法，這樣就避免由于密度反演不準確而使得物性參數(shù)反演存在較大的誤差.該方法主要應用貝葉斯理論推導出待反演的目標函數(shù)，使用蒙特卡羅仿真模擬技術(shù)對已建立的儲層物性參數(shù)的先驗分布做隨機抽樣獲取儲層物性參數(shù)的隨機分布樣本空間，通過聯(lián)合多元擬合的方法和Connolly彈性阻抗方程建立可以表征彈性阻抗參數(shù)和儲層物性參數(shù)之間關系的統(tǒng)計性巖石物理模型.該方法增加了反演的穩(wěn)定性以及橫向連續(xù)性等優(yōu)勢，達到穩(wěn)定反演儲層物性參數(shù)的目的.

2 貝葉斯理論框架下目標函數(shù)的建立

貝葉斯理論包括三個基本概念：先驗分布，后驗分布以及聯(lián)系二者的似然函數(shù).貝葉斯分類器的基本分類原理是通過某對象的先驗概率，利用貝葉斯公式計算出其后驗概率，即該對象屬于某一類的概率，選擇具有最大后驗概率的類作為該對象所屬的類.也就是說，貝葉斯分類器是最小錯誤率意義上的優(yōu)化.

在儲層物性參數(shù)反演過程中，將待反演的目標函數(shù)（儲層物性參數(shù)：孔隙度，泥質(zhì)含量，含水飽和度）與已知的觀測數(shù)據(jù)（彈性阻抗參數(shù)）通過貝葉斯公式聯(lián)系起來，如下所示：

其中：R代表物性參數(shù)，即Sw分別表示孔隙度，泥質(zhì)含量，含水飽和度；m代表彈性阻抗參數(shù)，即分別表示三個角度的彈性阻抗；P（·）代表概率密度函數(shù).

由于三個角度的彈性阻抗之間具有相關性，且角度差異越小，相關性越高，反演的穩(wěn)定性越差，因此，在合理范圍內(nèi)，盡量選取三個角度差異相對較大的彈性阻抗參數(shù)，并做去相關處理，使三個角度的彈性阻抗參數(shù)之間彼此相互獨立，即

式中，EI1，EI2與EI3均代表去相關處理之后的彈性阻抗數(shù)據(jù).

取最大后驗概率位置處所對應的目標參數(shù)作為儲層物性參數(shù)的最終反演結(jié)果

將（2）式，（3）式代入（4）式中，由于常數(shù)項對于最終反演結(jié)果沒有作用，因此可以舍棄常數(shù)項，即可獲得最終反演的目標函數(shù)：

P）為在儲層物性參數(shù)反演過程中，聯(lián)系先驗分布和后驗概率分布的似然函數(shù)，可以通過建立的統(tǒng)計巖石物理模型和蒙特卡羅仿真模擬技術(shù)來完成.

3 基于彈性阻抗的儲層物性參數(shù)反演

常規(guī)的基于貝葉斯分類的儲層物性參數(shù)反演方法（Grana and Rossa，2010），利用反演得到的彈性參數(shù)進一步估算物性參數(shù)，實現(xiàn)了多種儲層物性參數(shù)的聯(lián)合反演，但彈性參數(shù)中的密度信息很難準確獲取.為了解決密度獲取不準確這一問題，本文提出使用彈性阻抗反演儲層物性參數(shù)，避免反演過程中密度項的使用.

基于彈性阻抗的儲層物性參數(shù)反演是在貝葉斯理論框架下，應用統(tǒng)計巖石物理模型，蒙特卡羅隨機抽樣方法以及期望最大化算法相結(jié)合共同完成儲層物性參數(shù)反演.

通過對測井數(shù)據(jù)做統(tǒng)計分析，建立近似符合實際測井資料的儲層物性參數(shù)的先驗分布（如多分量高斯分布，均勻分布等），在本文中，選擇多分量混合高斯分布；并通過蒙特卡羅仿真模擬技術(shù)對已建立的先驗概率分布進行離散的隨機抽樣，可獲得儲層物性參數(shù)的隨機樣本空間分布；同時根據(jù)實際測井資料信息以及已有的巖石物理理論作為指導，建立能夠表征彈性阻抗參數(shù)和儲層物性參數(shù)之間的關系式，即確定性巖石物理關系.

通常確定性巖石物理關系的構(gòu)建有以下三種方法：通過巖石物理學的基本理論，經(jīng)典巖石物理模型以及實際測井資料擬合的關系式.由于經(jīng)典巖石物理模型并不具備普遍的適用性，因此，在實際資料的應用中，通常對測井資料進行統(tǒng)計分析，構(gòu)建一種巖石物理關系，使其與實際測井資料匹配程度達到最佳狀態(tài).

在實際資料處理中，彈性參數(shù)（縱波速度，橫波速度，密度等）與物性參數(shù)（孔隙度，泥質(zhì)含量，含水飽和度等）二者之間的關系多數(shù)為非線性的，可以通過曲線擬合的方式得到，如高斯擬合，多項式擬合等.在誤差允許條件下可以將其視為線性關系，如（6）式所示.

可寫成矩陣的形式：

式中的矩陣系數(shù)aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3）以及常數(shù)項d1j（j＝1，2，3）可以利用測井資料通過多元回歸的方法擬合得到.

當彈性參數(shù)與物性參數(shù)二者之間的關系無法近似為線性時，采用多項式擬合，則方程（6）變?yōu)槎嘣叽畏匠探M：

同理，利用已知的測井資料通過最小二乘擬合可以得出（8）式中的ai，j、bi，j、ci，j與d1，i，其中i＝1，2，3；j＝1，2，…，n.

在得到彈性參數(shù)與物性參數(shù)之間確定性關系的基礎上，結(jié)合彈性阻抗方程構(gòu)建彈性阻抗與物性參數(shù)之間的關系.Connolly（1999）推導的彈性阻抗方程如下：

Whitcombe（2002）對（9）式的彈性阻抗方程進行歸一化處理：

其中，K是一個常數(shù)，K＝ （VS／VP）2，通常取0.25.本文進一步對（10）式兩邊取對數(shù)：

其中，a＝1＋tan2θ；b＝－8Ksin2θ；c＝1－4Ksin2θ；常數(shù)項d＝－tan2θ·lnVP0＋8Ksin2θ·lnVS0＋4Ksin2θ·lnρ0，VP0，VS0，ρ0分別為縱波速度，橫波速度，密度測井曲線的均值.

假定三個不同角度θ1，θ2，θ3的彈性阻抗分別記為EI1，EI2，EI3，則

式中，ai，bi，ci，di（i＝1，2，3）分別為三個角度彈性阻抗中l(wèi)nVP，lnVS，lnρ對應的系數(shù)及相應的常數(shù)項.

綜合式（7）和式（12）（彈性參數(shù)與物性參數(shù)可近似為線性關系）或式（8）和式（12）（彈性參數(shù)與物性參數(shù)不可近似為線性關系），即可求出彈性阻抗與物性參數(shù)之間的直接關系，進而可以獲取確定性巖石物理關系式.

在實際的地震勘探中，地下儲層條件是復雜多變的，考慮到不同的孔隙結(jié)構(gòu)、礦物顆粒磨圓度、地層溫度、壓力條件的微弱變化以及泥質(zhì)含量等諸多因素（胡華鋒等，2012）都有可能對彈性阻抗與儲層物性參數(shù)之間的巖石物理關系造成一定程度的偏差，因此，為了降低這些因素的影響，引入隨機誤差.確定性巖石物理關系和隨機誤差就構(gòu)成了統(tǒng)計巖石物理模型，其數(shù)學表達式為：

其中，fRPM表述彈性阻抗參數(shù)和儲層物性參數(shù)之間的確定性巖石物理關系，ε代表為確定性巖石物理關系添加的誤差項，可以通過實際測井資料與確定性巖石物理關系之間的相對差異來估算，常選取均值為零的高斯截斷誤差，以此來削弱地下復雜結(jié)構(gòu)對二者關系的影響，繼而完成建立統(tǒng)計巖石物性模型的工作.

綜上兩步，利用儲層物性參數(shù)的隨機樣本分布空間和統(tǒng)計巖石物理模型，即可獲得彈性阻抗參數(shù)的隨機分布樣本空間分布，并做橫向外推.至此，由二者的隨機樣本分布空間就共同構(gòu)成了儲層物性參數(shù)與彈性阻抗參數(shù)的聯(lián)合分布的空間樣本.通過期望最大化算法估算聯(lián)合分布中的各項參數(shù)，結(jié)合從疊前地震數(shù)據(jù)反演得到的彈性阻抗數(shù)據(jù)體，可估算儲層物性參數(shù)的后驗條件概率，尋找最大后驗概率位置處所對應的儲層物性參數(shù)值，該值即為最終的儲層物性參數(shù)反演結(jié)果.圖1是利用彈性阻抗實現(xiàn)儲層物性參數(shù)反演的流程圖.

圖1 彈性阻抗反演儲層物性參數(shù)流程圖Fig.1 Flowchat of petrophysical－property inversion based on elastic impedance

4 模型測試

為了驗證基于彈性阻抗反演儲層物性參數(shù)這一反演方法的可行性，做如下模型測試.

選取某井上深度范圍為2460～2513m的一段地層作為研究目標層.圖2A是該井上的物性參數(shù)測井曲線，圖2B是該井上的彈性參數(shù)測井曲線.

根據(jù)公式（7）和公式（11）建立一種確定性巖石物理關系式表征彈性阻抗參數(shù)與物性參數(shù)之間的關系.為驗證確定性巖石物理關系建立的準確性，將其應用到前面已選擇的地層模型中.如圖3所示，實線代表利用測井曲線中的彈性參數(shù)曲線計算的三個角度的彈性阻抗值，即彈性阻抗的計算值；虛線代表利用確定性巖石物理關系和測井曲線中的物性參數(shù)曲線擬合的三個角度的彈性阻抗值，即擬合值.從圖中可以觀察到，利用所建立的確定性巖石物理關系擬合的彈性阻抗參數(shù)與儲層物性參數(shù)之間的關系的準確度較高，相關度達到90.14%，這也說明了確定性巖石物理關系建立的準確性與合理性.

由于在確定性巖石物理關系式建立過程中，近似運算的使用以及其他條件的影響，都將導致確定性巖石物理關系式擬合的彈性阻抗曲線與實際根據(jù)測井數(shù)據(jù)計算出來的值存在一定程度上的偏差，為了削弱這種偏差的存在對反演過程造成的影響，為此為建立的巖石物理關系式添加隨機誤差項，本文取均值為零的高斯截斷誤差.

根據(jù)實際的測井數(shù)據(jù)做統(tǒng)計分析，建立儲層物性參數(shù)的先驗分布，可假設儲層物性參數(shù)（孔隙度，泥質(zhì)含量，含水飽和度）服從三項高斯分量的混合高斯分布，并用期望最大化算法計算出先驗分布的各項參數(shù)（均值，標準差以及各項所占的權(quán)值），然后應用蒙特卡羅仿真模擬技術(shù)對其進行隨機抽樣，獲得儲層物性參數(shù)的隨機樣本分布圖.

圖2 模型儲層物性參數(shù)測井曲線（A）和彈性參數(shù)測井曲線（B）Fig.2 Petrophysical parameter curves（A）and elastic parameter curves（B）of the model

圖3 確定性巖石物理關系驗證Fig.3 Verification of physical relationship of rock

圖4 物性參數(shù)的先驗分布Fig.4 Prior distribution of petrophysical parameters

圖5 孔隙度與三個角度彈性阻抗的聯(lián)合分布Fig.5 Joint distribution of porosity and elastic impendance with three angles

已知儲層物性參數(shù)先驗分布隨機樣本中的每一個樣點，根據(jù)所建立的統(tǒng)計巖石物理模型，求取出每一個樣點所對應的彈性阻抗參數(shù)的值，就可獲得彈性阻抗參數(shù)的隨機分布樣本空間.將物性參數(shù)隨機樣本空間與彈性阻抗參數(shù)隨機樣本空間相結(jié)合，即可獲得儲層物性參數(shù)和彈性阻抗參數(shù)的聯(lián)合分布.圖5為三個角度的彈性阻抗參數(shù)與孔隙度的聯(lián)合分布情況，從黑色調(diào)到白色調(diào)漸變的過程表征孔隙度后驗條件概率由小變大的過程.

應用期望最大化算法計算出孔隙度與三個角度的彈性阻抗參數(shù)的聯(lián)合分布中三個高斯分量的各項參數(shù)（均值，標準差，權(quán)值），并分別求取在已知三個角度彈性阻抗參數(shù)的前提下，孔隙度的后驗條件概率，即對三個角度的彈性阻抗參數(shù)做去相關處理，使彼此之間相互獨立，然后應用式（13）計算出在彈性阻抗參數(shù)已知的條件下孔隙度的后驗概率，即

根據(jù)應用貝葉斯公式推導出來的待反演目標函數(shù)，估計孔隙度后驗條件概率的最大值，并且尋找最大值位置處所對應孔隙度的值，該值即為孔隙度的最終反演結(jié)果.泥質(zhì)含量和含水飽和度的反演方法與孔隙度的反演方法相同.

圖6為孔隙度后驗概率分布圖；圖7為孔隙度的最終反演結(jié)果.在圖7中，實線表示實際測井資料中提供的孔隙度測井曲線，虛線則代表應用本文介紹的方法反演出的孔隙度曲線.從圖中可以看出，反演出的孔隙度曲線與實際測井資料中提供的孔隙度曲線吻合程度較好，經(jīng)計算，相關度達到90.56%，這說明了該反演方法的可行性.

圖6 孔隙度后驗概率分布圖Fig.6 Posterior probability distributions of porosity

圖7 孔隙度反演結(jié)果Fig.7 Result of porosity inversion

5 實際數(shù)據(jù)應用

選取某一工區(qū)作為目標區(qū)，將上面的方法應用于實際工區(qū)中.圖8為對確定性巖石物理關系式的驗證.實線表示利用測井數(shù)據(jù)中彈性參數(shù)曲線計算的彈性阻抗曲線，虛線表示通過已建立的確定性巖石物理關系式和實際測井數(shù)據(jù)中物性參數(shù)測井曲線擬合的彈性阻抗曲線.從圖中可以很明顯地看出，擬合值與實際計算值吻合度較高，相關度為92.12%，這就驗證了所建立的確定性巖石物理關系式的正確性.

圖9為反演出的孔隙度曲線，其中實線代表實際測井值，虛線代表反演值，從圖中可以看出，反演的孔隙度曲線與實際測井曲線較為吻合，經(jīng)計算，二者的相關度為92.34%.

圖10為某實際工區(qū)中A井與B井的連井地震剖面.在A井，B井中，灰色代表砂巖，白色代表泥巖.其中，A井包含全套測井曲線（儲層物性參數(shù)及巖石彈性參數(shù)測井曲線），B井測井曲線不全，但存在巖性解釋結(jié)果及油氣解釋結(jié)果.因此，A井為反演參與井，B井不參與反演，作為檢驗儲層物性參數(shù)反演的驗證井.圖11為使用本文介紹的基于彈性阻抗參數(shù)反演儲層物性參數(shù)的方法反演出的孔隙度剖面.從圖11中可以看出，孔隙度的高值處正對應于井中砂巖較為發(fā)育區(qū)段，而孔隙度的低值處對應井中泥巖區(qū)段，因此，孔隙度剖面的反演結(jié)果與測井解釋結(jié)果吻合得較好.通過圖10和圖11對比發(fā)現(xiàn)，在地震數(shù)據(jù)剖面箭頭所指位置連續(xù)性稍差，而反演得到的孔隙度剖面在同一位置處的橫向連續(xù)性稍有改善，因此，該方法也能夠在一定程度上改善物性反演結(jié)果的連續(xù)性.

6 結(jié)論

本文提出的基于彈性阻抗預測儲層物性參數(shù)的反演方法，以貝葉斯理論作為指導，建立能夠表征彈性阻抗與儲層物性參數(shù)之間關系的統(tǒng)計巖石物理模型，聯(lián)合蒙特卡羅仿真模擬技術(shù)以及期望最大化算法，完成儲層物性參數(shù)反演.模型測試與實際資料應用表明該方法不僅保留了常規(guī)基于貝葉斯的儲層物性參數(shù)預測方法的優(yōu)點，而且還具有精確度高，穩(wěn)定性強以及橫向連續(xù)性較好等優(yōu)勢，改善了常規(guī)獲取彈性參數(shù)的不確定性，達到穩(wěn)定反演儲層物性參數(shù)反演的目的.

圖8 確定性巖石物理關系驗證Fig.8 Verification of deterministic physical relationship of rock

圖9 孔隙度反演曲線Fig.9 Curves of porosity inversion

圖10 地震剖面Fig.10 Seismic profile

圖11 基于彈性阻抗參數(shù)反演儲層物性參數(shù)Fig.11 Estimated petrophysical parameters of reservoirs based on elastic impendance

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