宋雯彥

摘 要 MATLAB作為一種常用的數(shù)學(xué)軟件，在微積分的教學(xué)中運(yùn)用廣泛。本文以經(jīng)濟(jì)學(xué)中局部市場(chǎng)均衡問題為例，淺析了運(yùn)用該軟件可在經(jīng)濟(jì)管理類數(shù)學(xué)課程的講授過程中，更好地將數(shù)學(xué)模型和實(shí)際對(duì)象相結(jié)合，有利于學(xué)生掌握相關(guān)理論并加以思考和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 MATLAB軟件 微積分 市場(chǎng)均衡

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Application of MATLAB in Calculus Teaching for

Economy and Management Specialties

SONG Wenyan

（School of Mathematics and Quantitative Economics，

Dongbei University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning 116025）

Abstract MATLAB as widely used mathematical software has been applied in the teaching of calculus. Based on the problem of partial market equilibrium， application of MATLAB in the teaching process for economy and management specialties is discussed. By MATLAB， the combine of mathematical model and practical object can promote students to understand correlative theory and conception effectively.

Key words MATLAB; calculus; market equilibrium

0 引言

近年來，隨著大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的不斷深入，各類院校在微積分等基礎(chǔ)課的講授過程中，越來越重視理論知識(shí)傳播與實(shí)際問題求解的結(jié)合。這種教學(xué)方式的變化，一方面將較為抽象的數(shù)學(xué)概念置于某些具體情景之下，賦予其特定的物理學(xué)或經(jīng)濟(jì)學(xué)等含義，有利于學(xué)生理解和對(duì)照;另一方面，通過在數(shù)學(xué)課程中獲得的邏輯思維和數(shù)值計(jì)算訓(xùn)練，有利于學(xué)生在后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中，更有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)工具對(duì)具體問題展開量化描述和分析。因此在經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科的許多微積分教材中，都加入了與導(dǎo)數(shù)、極值等數(shù)學(xué)定義相對(duì)應(yīng)的邊際、彈性等經(jīng)濟(jì)學(xué)概念的章節(jié)。一些學(xué)校在教學(xué)過程中還將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容融合起來，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使數(shù)學(xué)理論得到了更深入的運(yùn)用。特別是隨著數(shù)學(xué)軟件在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程講授中的使用，進(jìn)一步豐富了教師的教學(xué)手段，也增強(qiáng)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的興趣，大大提高了微積分等課程的教學(xué)效果。

1 MATLAB在微積分教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展和更新，使其在微積分課程教學(xué)中的應(yīng)用愈加簡(jiǎn)便。目前最為常用的數(shù)學(xué)軟件有MATLAB、Maple和Mathematica。此外還有一些針對(duì)不同數(shù)學(xué)分支開發(fā)的專業(yè)軟件，例如用于統(tǒng)計(jì)問題分析的SPSS和SAS，用于解決規(guī)劃等運(yùn)籌學(xué)問題的LINGO等。在本科生的微積分教學(xué)中，MATLAB、Maple和Mathematica都是可選擇的操作便捷的軟件，而MATLAB則是運(yùn)用最為廣泛的軟件之一。①

MATLAB是美國(guó)MathWorks公司出品的數(shù)學(xué)軟件，使用MATLAB可以分析數(shù)據(jù)、開發(fā)算法、創(chuàng)建模型和應(yīng)用程序。MATLAB強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力，可以幫助教師和學(xué)生在微積分課程的講習(xí)過程中，更為直觀地理解基本概念。特別是利用該軟件的圖形處理和動(dòng)畫功能，可使數(shù)學(xué)課程中數(shù)與形的結(jié)合在教學(xué)實(shí)踐中表現(xiàn)得更為生動(dòng)。

例如，在學(xué)習(xí)微積分的過程中，學(xué)生常常會(huì)遇到諸如和等不太熟悉的初等函數(shù)。利用MATLAB的作圖和動(dòng)畫功能，可以幫助他們形成對(duì)這些研究對(duì)象的圖形認(rèn)知，進(jìn)而通過圖形的變化幫助學(xué)生理解伴隨著函數(shù)自變量趨近于無窮或趨近于某一定點(diǎn)的過程，函數(shù)值呈現(xiàn)出無限接近于某一確定數(shù)值，或函數(shù)值無限增大，或函數(shù)值無規(guī)律變化的動(dòng)態(tài)特征，加深他們對(duì)極限這一微積分中最基本的概念的直觀感受，并能使學(xué)生更準(zhǔn)確地區(qū)分無界變量、無窮大量以及沒有極限的變量等概念。②

又如，在有關(guān)常微分方程章節(jié)的教學(xué)中，可利用MATLAB軟件的微分方程求解函數(shù)dsolve和ode等，講解演示可分離變量方程、齊次方程和一階線性方程的求解原理和解析解，同時(shí)還可以繪制出上述方程的解曲線和相空間曲線。利用MATLAB的方程求解和作圖功能，既可以避免學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中機(jī)械地記憶求解相應(yīng)方程的步驟，又能通過可視化的圖形幫助他們了解在描繪實(shí)際問題時(shí)，微分方程模型中不同參數(shù)的具體含義，以及各個(gè)參數(shù)的變化會(huì)引起的解的變化情況。

2 教學(xué)實(shí)例

下面，以經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科類微積分教材中經(jīng)常所舉的局部市場(chǎng)均衡問題為例，說明MATLAB軟件在微積分教學(xué)中能夠發(fā)揮的輔助教學(xué)作用，以及如何通過該軟件的使用讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和方法描述和解決實(shí)際問題的能力。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中在討論市場(chǎng)中某一產(chǎn)品的需求、供給以及價(jià)格之間的關(guān)系時(shí)，若能分別對(duì)三者建立可量化的函數(shù)表達(dá)式，則可借助數(shù)學(xué)工具來分析它們的變化及伴隨的市場(chǎng)現(xiàn)象。局部市場(chǎng)均衡是探討?yīng)毩⑹袌?chǎng)、單個(gè)商品的價(jià)格與供求關(guān)系變化的一種方法，它假定在其他條件不變時(shí)，一種商品的價(jià)格僅取決于自身的供求情況。當(dāng)該商品的需求價(jià)格和供給價(jià)格一致時(shí)，稱此價(jià)格為均衡價(jià)格，這時(shí)商品的數(shù)量亦被稱為均衡數(shù)量。③

例 設(shè)需求函數(shù)為 = （），供給函數(shù)為 = （），其中為商品單價(jià)。線性局部市場(chǎng)均衡模型可表示為：

這里需求（）和（）供給均設(shè)為價(jià)格的線性函數(shù)。解此方程組易得均衡價(jià)格為 = ，商品的均衡數(shù)量是 = 。由于通常假定>0，并考慮到>0，所以參數(shù)、、和還應(yīng)滿足>0，并稱為超額需求。模型中價(jià)格的變化會(huì)同時(shí)影響供需雙方的變化，使得市場(chǎng)始終在平衡的打破和建立中動(dòng)態(tài)演化。

在教學(xué)中我們可通過選取不同的參數(shù)取值在同一坐標(biāo)系下繪制供求曲線，幫助學(xué)生更加直接地觀察局部市場(chǎng)均衡狀態(tài)與模型中各參數(shù)的依賴關(guān)系（如圖1所示）。在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步探討價(jià)格調(diào)整模型。

若假定商品的初始價(jià)格恰好是，則市場(chǎng)已處于均衡狀態(tài)。然而一般情況下，≠，這樣市場(chǎng)如由不均衡欲達(dá)到均衡則須經(jīng)過一定的調(diào)整。在市場(chǎng)調(diào)整過程中，價(jià)格可視為時(shí)間的函數(shù)，即 = （）。通常而言，價(jià)格變動(dòng)由市場(chǎng)需求和供給的相對(duì)力量支配，可設(shè)在時(shí)刻時(shí)，價(jià)格（）的變化率總是與此時(shí)的超額需求成正比。于是，建立微分方程模型來刻畫價(jià)格的變動(dòng)： = （）

圖1 線性局部市場(chǎng)均衡模型

其中>0，是調(diào)節(jié)系數(shù)。

聯(lián)立上述微分方程模型與局部市場(chǎng)均衡模型，得到價(jià)格調(diào)整的動(dòng)態(tài)均衡模型：

此處和均為時(shí)間的函數(shù)。將和的表達(dá)式代入微分方程中，整理可得一個(gè)一階線性微分方程： + （） = （）。

由一階非齊次線性微分方程的通解公式可得該方程的通解為：（） = [（） + ] = ?+ 。

其中為任意常數(shù)，為均衡價(jià)格。由初值條件（0） = ，可得 = 。記 = （），將價(jià)格調(diào)整模型的解表示為（） = （） + 。因和都是常數(shù)且>0，于是當(dāng)→+時(shí)（）→0。借助MATLAB將與不同大小關(guān)系下的價(jià)格曲線繪制在同一圖像中，可幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨時(shí)間推移（）向均衡價(jià)格趨近變化的過程。具體而言，若 = ，則（）= ，即市場(chǎng)處于均衡，價(jià)格是常數(shù);若>，則當(dāng)→+時(shí)，（）小于趨于;若<，當(dāng)→+時(shí)，（）大于趨于（見圖2）。

圖2 價(jià)格隨時(shí)間的調(diào)整變化

3 結(jié)束語(yǔ)

MATLAB軟件在微積分教學(xué)中的運(yùn)用，能使抽象的數(shù)學(xué)理論圖形化直觀化。在經(jīng)濟(jì)管理類的相關(guān)課程學(xué)習(xí)中，能將經(jīng)濟(jì)學(xué)概念和數(shù)學(xué)語(yǔ)言相互貫通。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以充分運(yùn)用該軟件的各項(xiàng)功能豐富教學(xué)手段并幫助學(xué)生學(xué)以致用。

注釋

① 薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解（第三版）.北京：清華大學(xué)出版社，2013.

② 李娜，仁慶道爾吉. MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究.大學(xué)教育，2012.1（11）：66-67.

③ 蔣中一.數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法（第四版）.北京：北京大學(xué)出版社，2006.