劉天宋，高旭東，李繼政，賈 飛

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

0 引言

混凝土侵徹問題是武器研制和工程防護的重點問題。雖然彈體侵徹混凝土介質(zhì)的研究已有很久的歷史，但是到目前為止，對于混凝土侵徹問題的研究，大多集中在正侵徹的情況，而對于斜侵徹問題研究較少[1－3]。

斜侵徹現(xiàn)象是普遍存在的。彈體斜侵徹混凝土介質(zhì)時，彈體的侵徹威力下降，侵徹深度減小，侵徹靶體的彈道會有一定量的偏轉(zhuǎn)，有時甚至會出現(xiàn)彈體在靶板表面跳飛現(xiàn)象。因此，需要研究彈體斜侵徹混凝土時彈道偏轉(zhuǎn)的影響因素和影響規(guī)律。

國內(nèi)外對混凝土侵徹問題的研究主要采用了理論分析法、實驗研究和數(shù)值模擬法。理論分析主要是根據(jù)空腔膨脹理論，并考慮自由表面效應影響來進行侵徹問題的研究。由于斜侵徹實驗過程中難以控制彈體的著靶姿態(tài)，并且受測試技術(shù)的限制，難以獲得精確的彈體侵徹過程中運動參數(shù)的變化。此外，實驗獲得的經(jīng)驗公式，往往具有一定的局限性[4]。隨著計算機的發(fā)展，數(shù)值模擬方法的使用在侵徹問題的研究中越來越廣泛。近年來還發(fā)展出一種基于靶體響應力函數(shù)[5－6]來模擬彈體運動和變形的方法。采用此方法進行有限元數(shù)值計算可以省略有限元計算中靶體網(wǎng)格的劃分，也避免了考慮復雜的接觸等問題。

影響混凝土侵徹彈道偏轉(zhuǎn)的因素有很多，文中就剛性彈體斜侵徹半無限厚混凝土靶過程中傾角、入射速度、彈體的質(zhì)心位置3個因素對彈道偏轉(zhuǎn)的影響規(guī)律進行研究。首先，采用半經(jīng)驗公式法，確定了靶體響應力函數(shù)，然后利用ABAQUS軟件，將靶體響應力函數(shù)加載到彈體表面作為有限元計算的邊界條件，計算得到了彈體侵徹半無限厚混凝土靶時的彈體質(zhì)心運動軌跡。通過分析彈體的質(zhì)心運動軌跡來研究彈體傾角、入射速度和彈體質(zhì)心位置這幾個影響因素對彈道偏轉(zhuǎn)的影響規(guī)律。

1 方法原理介紹

1.1 靶體響應力函數(shù)

研究表明，彈體在侵徹過程中受到的阻力，可以簡化為一個與速度有關(guān)的函數(shù)，即靶體響應力函數(shù)。確定了靶體響應力函數(shù)，就不用考慮靶體的響應細節(jié)，可直接對彈體侵徹過程進行求解，此即為彈靶分離方法的基本思想。采用彈靶分離思想進行有限元計算不僅省略了靶體網(wǎng)格的劃分，而且降低了對計算機硬件的需求，縮短了計算時間。何濤[3]總結(jié)了確定靶體響應力函數(shù)的方法:經(jīng)驗和半經(jīng)驗公式法、理論分析法和數(shù)值模擬法。文中采用Forrestal半經(jīng)驗公式[7]，得到在隧道區(qū)彈體表面所受到的壓力:

在開坑區(qū)，根據(jù)何濤[3]等的假設(shè)，彈靶接觸面上的法向應力為:

式中:ρ為靶體材料的密度;z為彈體在其豎直方向的位移;a為彈體半徑;R為表征彈體表面所受靶體阻力大小的常數(shù);vn為彈體表面上任意點處的法向速度，如圖1所示。設(shè)彈體表面點P的法向量為n，P點的速度矢量為 v，則 vn=v·n。

圖1 彈體表面上任意點的法向速度

1.2 彈體表面摩擦力和自由表面效應的影響

目前對于彈體侵徹混凝土靶過程中的摩擦力計算上沒有非常好的模型。式(1)雖然沒有顯式的包含摩擦阻力項，卻能較為準確的預測侵徹深度，這是因為模型中包含了通過侵徹實驗確定的隱含摩擦阻力的參數(shù) R[8]。

采用半經(jīng)驗公式法確定的靶體響應力函數(shù)是建立在空腔膨脹理論基礎(chǔ)上的。彈體斜侵徹半無限大靶體時，彈體表面所受阻力將受到靶體自由表面效應的影響。圖2為自由表面效應圖。Warren[5]等人給出了受自由表面影響時，空腔表面的徑向應力公式:

圖2 自由表面效應影響

式中:E為材料楊氏模量;r0為彈體表面上的點到軸線的垂直距離;rs為自由表面到彈體軸線的距離;r1為自由表面到彈體表面的距離，三者之間滿足:

其中α、λ和τ是與材料相關(guān)的常數(shù)，之間滿足下式:

式中:σc為混凝土抗壓強度。

rp為塑性區(qū)邊界:

考慮到一旦塑性區(qū)邊界超過自由表面，由于塑性區(qū)內(nèi)材料的開裂和破碎，整個塑性區(qū)將無法繼續(xù)承載，此時空腔表面的應力會迅速變?yōu)榱?，因此自由表面效應修正函?shù)可以寫為:

2 數(shù)值計算侵徹深度與經(jīng)驗公式的比較

計算所采用的彈體如圖3所示，彈體密度7.8 g/cm3，質(zhì)量約4.2 kg，假設(shè)彈體為剛體。混凝土靶為半無限厚靶，強度48 MPa，無鋼筋。利用ABAQUS建立彈體的有限元模型，然后劃分網(wǎng)格。

圖3 彈體結(jié)構(gòu)圖

用式(1)～式(2)確立的靶體響應力函數(shù)代替靶體對彈體的作用力，并考慮式(8)中的自由表面效應修正函數(shù)，這樣在使用有限元方法進行數(shù)值模擬時，就可以把靶體的影響用作用于彈體表面單元的壓力邊界條件來代替。隨著侵徹過程中彈體位置和速度的變化，彈體表面所受到的壓力也不斷改變。顯然，當彈體表面某點侵入靶體內(nèi)部時，該點才受到靶板的作用。彈體斜侵徹還需要考慮彈體和靶的接觸分離效應，這里參照 Warren[5]給出的方法，當 vn=v·n的值在某點上為零或為負值時，令為σn零。以上的分析通過編寫ABAQUS[9]的用戶自定義子程序 VDLOAD實現(xiàn)。由于彈體采用離散剛體，需要指定計算時間步長來求解得到計算結(jié)果。

圖4 公式計算與仿真計算侵徹深度結(jié)果比較

文中將仿真計算得到的侵徹深度與陳小偉[10]的無量綱公式計算結(jié)果進行比較。陳的公式假定彈道偏轉(zhuǎn)僅發(fā)生在侵徹的開坑階段，偏轉(zhuǎn)角為δ，此后在隧道區(qū)，彈體軸線與靶板法向的夾角為β+δ，彈體以這樣的角度姿態(tài)沿直線侵徹直到侵徹終止。侵徹的深度為:

式中:X為彈體的侵徹深度;d為彈體直徑;N和I分別是撞擊函數(shù)和彈體幾何函數(shù);k為開坑深度系數(shù)。

圖4給出了彈體分別以20°和40°傾角，不同速度侵徹時，兩種方法計算的侵徹深度與結(jié)果對比?？梢妰煞N方法得到的數(shù)據(jù)基本吻合，但是當入射速度接近1 200 m/s，入射角度為40°時，結(jié)果有較大差距，這是因為此時的入射角度接近跳彈角度，彈道偏轉(zhuǎn)較為嚴重，經(jīng)驗公式的方法計算誤差較大[11]。

3 彈道偏轉(zhuǎn)的影響因素及影響規(guī)律分析

3.1 傾角對侵徹彈道的影響分析

本節(jié)分析彈體速度為800 m/s時，傾角變化對彈道偏轉(zhuǎn)的影響。圖5給出了不同傾角情況下彈體的質(zhì)心運動軌跡。圖6為侵徹深度隨傾角變化關(guān)系。從圖中看出:隨著彈體傾角的增大，侵徹深度逐漸減小。侵徹深度隨傾角變化關(guān)系擬合曲線是上凸的，曲線斜率絕對值逐漸增大，表明傾角對侵徹深度的影響幅度隨著傾角的增大呈現(xiàn)增大的趨勢。傾角由10°增大為20°時，侵徹深度減小了約5 cm，而傾角由30°增大為40°時，侵徹深度則減小了約15 cm。

圖5 速度800 m/s不同傾角侵徹的彈體質(zhì)心運動軌跡

圖7為彈體軸線與豎直方向夾角(偏轉(zhuǎn)角)的變化時程曲線。在初始階段1，曲線斜率較小，表明侵徹初期偏轉(zhuǎn)變化不大。在階段2，曲線較陡，表明這段時間彈道偏轉(zhuǎn)較大。在階段3，彈體基本以恒定的姿勢侵徹靶體，直到侵徹結(jié)束。圖8為整個侵徹過程中彈體偏轉(zhuǎn)角變化與入射傾角關(guān)系曲線?？梢钥闯?，傾角越大對彈體偏轉(zhuǎn)角的影響越明顯。

圖6 侵徹深度隨傾角變化關(guān)系

3.2 速度對侵徹彈道的影響分析

本節(jié)計算了彈體分別以20°和40°傾角，不同速度侵徹靶板的結(jié)果。

圖9為彈體偏轉(zhuǎn)角變化與入射速度關(guān)系曲線，該曲線呈現(xiàn)下凹狀，說明曲線斜率的絕對值是逐漸減小

圖7 不同傾角侵徹的彈體偏轉(zhuǎn)角時程變化

圖8 彈體偏轉(zhuǎn)角變化與入射傾角關(guān)系

的，即入射速度對偏轉(zhuǎn)角的影響幅度隨著入射速度的增大呈現(xiàn)減小的趨勢，入射速度越大，彈體偏轉(zhuǎn)角越小。

圖9 彈體偏轉(zhuǎn)角變化與入射速度關(guān)系

3.3 彈體質(zhì)心位置對侵徹彈道的影響分析

彈體斜侵徹時，彈頭受到非對稱的載荷作用，使得阻力不通過質(zhì)心從而使得彈道彎曲。文中在保證彈體質(zhì)量不變的前提下，通過調(diào)整不同位置的密度來調(diào)整彈體的質(zhì)心位置(見圖10)。

圖10 彈體質(zhì)心位置

文中計算了彈體以20°傾角，速度900 m/s時不同質(zhì)心位置的彈體侵徹靶體的質(zhì)心運動軌跡。圖11和圖12分別為彈體侵徹深度和偏轉(zhuǎn)角與Lc/L(彈體的質(zhì)心至彈尖的距離Lc與彈體長度L的比值)變化關(guān)系曲線，其中a點所示彈體形心與質(zhì)心重合時情況。

圖11 彈體侵徹深度和與Lc/L關(guān)系

圖12 彈體偏轉(zhuǎn)角和與Lc/L關(guān)系

分析結(jié)果表明:相對于形心a來說，Lc/L越大，即質(zhì)心位置越靠近彈體尾部，彈道偏轉(zhuǎn)越大，侵徹深度越小，且Lc/L對侵徹深度和偏轉(zhuǎn)角度的影響幅度隨著Lc/L值的增大呈現(xiàn)增大的趨勢。

4 結(jié)論

文中采用半經(jīng)驗公式法確定了靶體響應力函數(shù)，然后利用ABAQUS軟件，將靶體響應力函數(shù)加載到彈體表面作為有限元計算的邊界條件，得到了剛性彈體侵徹半無限厚素混凝土靶板時的彈體質(zhì)心運動軌跡。數(shù)值計算所得侵徹深度與無量綱經(jīng)驗公式計算結(jié)果較吻合。在此基礎(chǔ)上研究了剛性彈體斜侵徹半無限厚混凝土時傾角、侵徹速度和彈體質(zhì)心位置3個影響因素變化對彈道偏轉(zhuǎn)規(guī)律的影響，得到如下結(jié)論:

1)隨著彈體傾角的增大，侵徹深度逐漸減小，彈體偏轉(zhuǎn)角增大，而且傾角對侵徹深度和偏轉(zhuǎn)角的影響幅度隨著傾角的增大呈現(xiàn)增大的趨勢;

2)入射速度越大，彈體偏轉(zhuǎn)角越小，且入射速度對偏轉(zhuǎn)角的影響幅度隨著入射速度的增大呈現(xiàn)減小的趨勢;

3)Lc/L越大，即質(zhì)心位置越靠近彈體尾部，彈道偏轉(zhuǎn)越大，侵徹深度越小，且Lc/L對侵徹深度和偏轉(zhuǎn)角度的影響幅度隨著Lc/L值的增大呈現(xiàn)增大的趨勢。

對上述規(guī)律的認識，對于武器和防護工程的設(shè)計有指導意義。文中所采用的靶體響應力函數(shù)方法雖然避免了有限元求解中網(wǎng)格劃分、接觸等問題，但此方法不能準確考慮侵徹中的彈靶分離—接觸—再分離情況。另外，文中所有的分析都是通過仿真分析完成的，需要實驗研究的進一步驗證。

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