張恭慶

四、數(shù)學(xué)與國(guó)防

在二戰(zhàn)中，數(shù)學(xué)家對(duì)于盟軍取勝起到了什么作用？

馮·諾依曼是20世紀(jì)一位頂級(jí)數(shù)學(xué)家，也是第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)程序和存儲(chǔ)的研制構(gòu)思者。他對(duì)美國(guó)原子彈的制造做了兩大貢獻(xiàn)：一是幫助洛斯阿拉莫斯找到了數(shù)學(xué)化的途徑?！皵?shù)學(xué)化”是指用快速計(jì)算機(jī)去模擬計(jì)算原子彈的爆炸過(guò)程和爆炸威力。二是研究爆聚炸彈，就是把一些炸彈、原子彈捆綁起來(lái)發(fā)出更大的威力。

烏拉姆是波蘭數(shù)學(xué)家，他從歐洲逃到美國(guó)后參加了曼哈頓計(jì)劃。為了模擬核實(shí)驗(yàn)，他發(fā)明了蒙特卡羅計(jì)算方法。前蘇聯(lián)大數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛟诙?zhàn)中提出了平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程理論。美國(guó)數(shù)學(xué)家維納提出了濾波理論，這些理論對(duì)于排除噪音的干擾，處理雷達(dá)所得的信息發(fā)揮了作用。

英國(guó)數(shù)學(xué)家圖靈是設(shè)計(jì)出通用數(shù)字計(jì)算機(jī)的第一人。二戰(zhàn)中，他與一些優(yōu)秀數(shù)學(xué)家一起，最終破譯了德軍所用的密碼體制Enigma。美國(guó)的密碼分析學(xué)家也于1940年破譯了日本的“紫密”密碼。1942年日本突襲中途島海戰(zhàn)失敗，一個(gè)重要原因是美國(guó)破譯了日本攻擊中途島的情報(bào)；1943年4月，利用所破譯的情報(bào)，美國(guó)打下了山本五十六的座機(jī)，成為密碼史上精彩的一頁(yè)。

在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中，數(shù)學(xué)的作用更為突出。在武器方面有核武器、遠(yuǎn)程巡航導(dǎo)彈等先進(jìn)武器的較量。在信息方面有保密、解密、干擾、反干擾的較量。對(duì)策方面有戰(zhàn)略、策略、武器配制等方面的較量。每一項(xiàng)都和數(shù)學(xué)有緊密的關(guān)系。

核反應(yīng)過(guò)程是在高溫高壓下進(jìn)行的，核爆炸的巨大能量在微秒量級(jí)的時(shí)間內(nèi)釋放出來(lái)，很難在核試驗(yàn)中測(cè)量出核爆炸內(nèi)部的細(xì)微過(guò)程，只能得到一些綜合效應(yīng)的數(shù)據(jù)。但通過(guò)核反應(yīng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算卻可以給出爆炸過(guò)程中各個(gè)細(xì)節(jié)的圖像、定量的數(shù)據(jù)以及各種因素與機(jī)制的相互作用。在參加全面禁止核試驗(yàn)條約后，通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬核試驗(yàn)就更重要了。

在巡航導(dǎo)彈方面，《解放軍報(bào)》在一篇《數(shù)學(xué)的威力》報(bào)道中寫(xiě)道： “一個(gè)方程將衛(wèi)星圖像質(zhì)量提高30%，一個(gè)公式改變了一個(gè)部隊(duì)的知情模式?！?/p>

信息的“加密”與“解密”是一種對(duì)抗，正如人們所說(shuō) “魔高一尺，道高一丈”。而這種對(duì)抗力量的表現(xiàn)全在所依靠的數(shù)學(xué)理論之上。例如，公開(kāi)密鑰算法大多基于計(jì)算復(fù)雜度很高的難題，要想求解，需要在高速計(jì)算機(jī)上耗費(fèi)許多時(shí)日才能得到答案。這些方法通常來(lái)自于數(shù)論。例如，RSA源于整數(shù)因子分解問(wèn)題，DSA源于離散對(duì)數(shù)問(wèn)題，而近年發(fā)展快速的橢圓曲線密碼學(xué)則基于與橢圓曲線相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。自從費(fèi)曼提出量子計(jì)算機(jī)以來(lái)，人們希望設(shè)計(jì)出一種計(jì)算機(jī)，它能實(shí)現(xiàn)在馮·諾依曼計(jì)算機(jī)上不能實(shí)現(xiàn)的算法。如果一旦能把某種類型的計(jì)算速度大大增加，那么破解現(xiàn)有的密碼就有可能。1994年數(shù)學(xué)家Shor已經(jīng)對(duì)假想的量子計(jì)算機(jī)，提出了一種大合數(shù)的因子分解方法，其復(fù)雜度大大降低，使得在量子計(jì)算機(jī)上有可能破解許多現(xiàn)有的密碼。

從大的戰(zhàn)役指揮，到小的作戰(zhàn)方案，都需要了解敵我雙方的實(shí)力，運(yùn)籌帷幄，不打無(wú)準(zhǔn)備之仗。這都需要進(jìn)行定量化分析，建立模型，形成隨機(jī)應(yīng)變的作戰(zhàn)指揮系統(tǒng)。其中概率統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)等數(shù)學(xué)分支發(fā)揮著重要作用。

五、數(shù)學(xué)與國(guó)民經(jīng)濟(jì)

數(shù)學(xué)與國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的很多領(lǐng)域休戚相關(guān)。互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)軟件、高清晰電視、手機(jī)、手提電腦、游戲機(jī)、動(dòng)畫(huà)、指紋掃描儀、漢字印刷、監(jiān)測(cè)器等在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中占有相當(dāng)大的比重，成為世界經(jīng)濟(jì)的重要支柱產(chǎn)業(yè)。其中互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)核心算法、圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別、云計(jì)算、人工智能、3G等IT業(yè)主要研發(fā)領(lǐng)域都是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。所以信息產(chǎn)業(yè)可能是雇用數(shù)學(xué)家最多的產(chǎn)業(yè)之一。這里用到許多不同程度的數(shù)學(xué)工具，有的還有相當(dāng)?shù)纳疃龋ǎ壕幋a、小波分析、圖像處理、優(yōu)化技術(shù)、隨機(jī)分析、統(tǒng)計(jì)方法、數(shù)值方法、組合數(shù)學(xué)、圖論等等。

上世紀(jì)70年代之后，計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展使數(shù)值模擬在大型客機(jī)的研制中發(fā)揮了巨大作用，計(jì)算流體力學(xué)與風(fēng)洞試驗(yàn)、試飛一起并列成為獲得氣動(dòng)數(shù)據(jù)的三種手段。

傳統(tǒng)的大型工程，如水壩的設(shè)計(jì)需要對(duì)壩體和水工結(jié)構(gòu)作靜、動(dòng)應(yīng)力學(xué)分析。數(shù)學(xué)中的有限元方法是其中最基本的計(jì)算方法。

在石油勘探與開(kāi)采中都大量運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，涉及到數(shù)字濾波、偏微分方程的理論和計(jì)算以及反問(wèn)題等。

數(shù)學(xué)模擬在化學(xué)工業(yè)中也起很大的作用。被稱為現(xiàn)代化工之父的美國(guó)人埃莫森，把有些化工實(shí)驗(yàn)在“小試”階段之后，通過(guò)成熟的數(shù)學(xué)建模手段取代“中試”，直接進(jìn)入“大試”， 縮短了實(shí)驗(yàn)周期，節(jié)省了經(jīng)費(fèi)。

現(xiàn)代醫(yī)療診斷中常用的CT掃描技術(shù)，其原理是數(shù)學(xué)上的拉東變換。 CT螺旋式的運(yùn)動(dòng)路線記錄X光斷層的信息。計(jì)算機(jī)將所有的掃描信息按數(shù)學(xué)原理進(jìn)行整合，形成一個(gè)詳細(xì)的人體影像。在更先進(jìn)的生物光學(xué)成像技術(shù)的研究中也吸引了不少數(shù)學(xué)家的參與。

藥物檢驗(yàn)—要評(píng)估一種新藥能否上市，需要經(jīng)過(guò)新藥療效測(cè)試，這就要科學(xué)地設(shè)計(jì)試驗(yàn)，以排除各種隨機(jī)性的干擾，真正評(píng)估出藥物的效果和毒性。為此，人們?cè)O(shè)計(jì)出了雙盲試驗(yàn)等試驗(yàn)手段。國(guó)外流行的SAS軟件，是藥物檢驗(yàn)的必經(jīng)之徑。發(fā)達(dá)國(guó)家制藥公司聘用大批擁有數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)位的雇員從事藥檢工作。

國(guó)際金融市場(chǎng)用“金融高技術(shù)”運(yùn)作。“金融數(shù)學(xué)”是利用數(shù)學(xué)工具來(lái)研究金融，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、理論分析、數(shù)值計(jì)算等定量分析的一種金融高技術(shù)。它是數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用。華爾街和一些發(fā)達(dá)國(guó)家大銀行、證券公司高薪雇用大批高智商的數(shù)學(xué)、物理博士從事資本資產(chǎn)定價(jià)、套利、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、期貨定價(jià)等方面的工作。

發(fā)達(dá)國(guó)家的保險(xiǎn)業(yè)中早已使用“精算”為金融決策提供依據(jù)。精算學(xué)是一門(mén)運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)理論和多種金融工具，研究如何處理保險(xiǎn)業(yè)及其他金融業(yè)中各種風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題的定量方法和技術(shù)的學(xué)科，是現(xiàn)代保險(xiǎn)業(yè)、金融投資業(yè)和社會(huì)保障事業(yè)發(fā)展的理論基礎(chǔ)。

災(zāi)害預(yù)測(cè)與風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估關(guān)乎國(guó)計(jì)民生。數(shù)值模擬是大氣科學(xué)、地震預(yù)測(cè)等實(shí)驗(yàn)性科學(xué)中的重要實(shí)驗(yàn)手段。而要提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性必須縮小計(jì)算網(wǎng)格 （提高分辨率）、復(fù)雜化物理過(guò)程，這些都導(dǎo)致計(jì)算量呈幾何級(jí)數(shù)增加，解決的途徑不僅要加大計(jì)算機(jī)、加快計(jì)算機(jī)的速度，還要改進(jìn)數(shù)學(xué)方法。

有關(guān)的研究表明，我們國(guó)家計(jì)算軟件工業(yè)相對(duì)落后，并不是因?yàn)槲覀內(nèi)鄙僖话愕某绦蛉藛T，而是缺乏有較高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的高水平的程序開(kāi)發(fā)人員。與此相對(duì)照的是，比如貝爾實(shí)驗(yàn)室、朗訊、IBM、微軟、谷歌、雅虎這類IT行業(yè)領(lǐng)袖，不但大量地招聘數(shù)學(xué)專業(yè)的博士、碩士到公司工作，而且還專門(mén)設(shè)有相當(dāng)規(guī)模的數(shù)學(xué)研究部門(mén)，支持?jǐn)?shù)學(xué)家開(kāi)展純粹數(shù)學(xué)理論研究，以確保長(zhǎng)期的核心競(jìng)爭(zhēng)力。IBM公司還為本公司五萬(wàn)名咨詢?nèi)藛T建立了數(shù)學(xué)學(xué)歷檔案，以便能夠針對(duì)每項(xiàng)工作任務(wù)，指派最合適的團(tuán)隊(duì)人員。

六、數(shù)學(xué)與文化教育

（一）數(shù)學(xué)是一種文化

數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代理性文化的核心，提供了一種思維方式。這種思維方式包括：抽象化、運(yùn)用符號(hào)、建立模型、邏輯分析、推理、計(jì)算，不斷地改進(jìn)、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括，建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、行之有效的科學(xué)方法。按照這種思維方式，數(shù)學(xué)使得各門(mén)學(xué)科的理論知識(shí)更加系統(tǒng)化、邏輯化。

作為一種文化，它的特點(diǎn)在于：

—追求一種完全確定的、完全可靠的知識(shí)。在數(shù)學(xué)上是非分明，沒(méi)有模棱兩可。即使對(duì)于“偶然”發(fā)生的隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)于“不確定”的事件，也要提出精確的概念和研究方法，確切回答某個(gè)事件發(fā)生的概率是多少，在什么確切的范圍以內(nèi)等等。

—追求更深層次的、更為簡(jiǎn)單的、超出人類感官的基本規(guī)律。數(shù)學(xué)家們是把原始的來(lái)自實(shí)際的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)了層層抽象，在抽象的、仍然是客觀事物真實(shí)反映的更深層次上來(lái)考察、研究其內(nèi)在規(guī)律。

—它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己。特別是研究自身的局限性，并在不斷否定自身中達(dá)到新的高度。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)文化是一種非常實(shí)事求是的文化，它體現(xiàn)了一種真正的探索精神，一種毫不保守的創(chuàng)新精神。

（二）數(shù)學(xué)教育的重要性

在知識(shí)社會(huì)，數(shù)學(xué)對(duì)于國(guó)民素質(zhì)的影響至關(guān)重要。1984年美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)在《進(jìn)一步繁榮美國(guó)數(shù)學(xué)》中提出：“在現(xiàn)今這個(gè)技術(shù)發(fā)達(dá)的社會(huì)里，掃除‘?dāng)?shù)學(xué)盲的任務(wù)已經(jīng)替代了昔日掃除文盲的任務(wù)，而成為當(dāng)今教育的主要目標(biāo)”。1993年美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)又發(fā)表了《人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來(lái)》的報(bào)告，提出：“除了經(jīng)濟(jì)以外，對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)知的社會(huì)和政治后果給每個(gè)民主政治的生存提出了驚恐的信號(hào)。因?yàn)閿?shù)學(xué)掌握著我們的基于信息的社會(huì)的領(lǐng)導(dǎo)能力的關(guān)鍵?！?當(dāng)年讀了這后一段話，很不理解，發(fā)生“棱鏡事件”之后才恍然大悟。

在我國(guó)有沒(méi)有掃除“數(shù)學(xué)盲”的必要？答案是肯定的。

普及數(shù)學(xué)知識(shí)。信息社會(huì)對(duì)于公民的邏輯能力要求明顯提高。中、小學(xué)數(shù)學(xué)教育最主要的目的之一，應(yīng)當(dāng)在于提高學(xué)生的邏輯能力。因此數(shù)學(xué)作為一種“思想的體操”，應(yīng)該是中、小學(xué)義務(wù)教育最重要的組成部分。此外，多舉辦各種科學(xué)普及講座，向公眾普及數(shù)學(xué)知識(shí)，介紹數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用也是必要的。

數(shù)學(xué)開(kāi)闊人的視野，增添人的智慧。一個(gè)人是否受過(guò)這種文化熏陶，在觀察世界、思考問(wèn)題時(shí)會(huì)有很大差別。數(shù)學(xué)修養(yǎng)不但對(duì)于一般科學(xué)工作者很重要，就是有了數(shù)學(xué)修養(yǎng)的經(jīng)營(yíng)者、決策者，在面臨市場(chǎng)有多種可能的結(jié)果，技術(shù)路線有多種不同選擇時(shí)，也有可能減少失誤。億萬(wàn)富翁詹姆斯·賽蒙斯就是一個(gè)最好的例證。在進(jìn)入華爾街之前，賽蒙斯是個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，進(jìn)入華爾街之后，他和巴菲特的“價(jià)值投資”理念不同，賽蒙斯依靠數(shù)學(xué)模型和電腦管理旗下的巨額基金，用數(shù)學(xué)模型捕捉市場(chǎng)機(jī)會(huì)，由電腦做出交易決策。他稱自己為“模型先生”，認(rèn)為建立好的數(shù)學(xué)模型可以有效地降低風(fēng)險(xiǎn)。

發(fā)達(dá)國(guó)家在大型公共設(shè)施建設(shè)，管道、網(wǎng)線鋪設(shè)以及航班時(shí)刻表的編排等方面，早已普遍應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的理論和方法，既省錢(qián)、省力又提高效率?？上В\(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用在我國(guó)還不普遍。其實(shí)我們不能要求決策者本人一定要懂得很多數(shù)學(xué)，但至少要經(jīng)常想想工作中有沒(méi)有數(shù)學(xué)問(wèn)題需要請(qǐng)數(shù)學(xué)家來(lái)咨詢。

加強(qiáng)和改善高等數(shù)學(xué)教育，培養(yǎng)創(chuàng)新人才。在1988年召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，美國(guó)數(shù)學(xué)教育家在 “面向新世紀(jì)的數(shù)學(xué)的報(bào)告”中指出，“對(duì)于中學(xué)后數(shù)學(xué)教育，最重要的任務(wù)是使數(shù)學(xué)成為一門(mén)對(duì)于懷著各種各樣不同興趣的學(xué)生都有吸引力的學(xué)科，要使大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)于眾多不同的前程都是一種必要的不可少的預(yù)備”。對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，就是改革“高等數(shù)學(xué)課”，使得它對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都有吸引力，而且也使他們學(xué)到的內(nèi)容能在今后工作中發(fā)揮作用。因?yàn)閿?shù)學(xué)是科技創(chuàng)新的一種資源，是一種普遍適用的并賦予人以能力的技術(shù)，改善高等數(shù)學(xué)教育，提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，定將促進(jìn)這種資源的開(kāi)發(fā)和科技的創(chuàng)新。

壯大應(yīng)用數(shù)學(xué)隊(duì)伍，重視純粹數(shù)學(xué)的研究和人才。今天，數(shù)學(xué)幾乎已經(jīng)深入到我們能想到的一切方面。這么多有用處的數(shù)學(xué)，表面上看都屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)，然而，純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)系如同一座冰山，浮在水面上的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而埋在水下的是純粹數(shù)學(xué)。沒(méi)有埋于水下的深厚積累，這些“應(yīng)用”是建立不起來(lái)的。數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，許多深刻的純粹數(shù)學(xué)理論把看似毫不相關(guān)的概念和結(jié)論鏈接了起來(lái)，為研究現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題提供強(qiáng)有力的思想和方法。無(wú)數(shù)事例證明：許多當(dāng)時(shí)看不到有任何應(yīng)用前景的純粹數(shù)學(xué)理論，后來(lái)在現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)用中發(fā)揮了巨大作用。例如：數(shù)論與現(xiàn)代密碼學(xué)，調(diào)和分析與模式識(shí)別，幾何分析與圖像處理，隨機(jī)分析與金融等等不勝枚舉。

人們認(rèn)為：下一次科技革命將以人類三種新的“生存形式”為重要標(biāo)志，即網(wǎng)絡(luò)人（生活在網(wǎng)絡(luò)空間的虛擬人）、仿生人（高仿真智能人）和再生人（具有自然人特征的“復(fù)制人”）。預(yù)計(jì)這次科技革命大約將在2020-2050年到來(lái)。回顧前幾次科技革命，數(shù)學(xué)大都起到了先導(dǎo)和支柱的作用。因此有理由相信：數(shù)學(xué)必將成為下一次科技革命最重要的推動(dòng)力之一。我們要以早日實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的強(qiáng)烈責(zé)任感和緊迫感，加速建設(shè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)，為在下次科技革命中贏得主動(dòng)、搶占先機(jī)，奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，提供強(qiáng)大動(dòng)力！

（作者為北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、中國(guó)科學(xué)院院士、第三世界科學(xué)院院士）