方園，王先超，馬玉田 （阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 阜陽236037）

分?jǐn)?shù)階微積分自被提出以來便被學(xué)者們廣泛用于描述各類系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題也越來越受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注［1－4］。下面，筆者主要針對(duì)帶Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，討論了狀態(tài)反饋控制問題。

1 預(yù)備知識(shí)及問題描述

定義1 若α（n－1＜α＜n），函數(shù)ft（）的Riemann－Liouvill導(dǎo)數(shù)定義如下：

考慮帶Riemann－Liouvill導(dǎo)數(shù)的線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

定理1［3］若矩陣A中所有特征值滿足則系統(tǒng)所有零解是漸近穩(wěn)定的。

引理1［4］分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（2）漸近穩(wěn)定的條件是當(dāng)且僅當(dāng)存在2個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣Pk1∈Rn×n（k＝1，2）和2個(gè)反對(duì)稱矩陣Pk2∈Rn×n（k＝1，2），使得：

引理2［5］若系統(tǒng)（2）中矩陣A∈Rn×n，且1≤α＜2，則成立當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱矩陣P＞0使得：

引理3［6］假設(shè)X、Y為適當(dāng)維數(shù)的矩陣，則成立不等式：

2 主要結(jié)果

考慮帶R－L導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

式中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；u（t）是系統(tǒng)的輸入；常數(shù)矩陣A∈Rn×n，B∈Rn×m，且矩陣A不滿足為初始狀態(tài)。

考慮反饋控制器u（t）＝Kx（t），帶入系統(tǒng)（3）中可得：

2.1 0＜α＜1

定理2 若存在正定矩陣P11，P21，常數(shù)矩陣K，實(shí)數(shù)εi＞0（i＝1，2），使得矩陣：

則帶R－L導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

證明 利用引理1可知，存在2個(gè)正定矩陣Pk1∈Rn×n，k＝1，2。 反對(duì)稱矩陣Pk2∈Rn×n，k＝1，2。使得假設(shè)P12＝P22＝0，此時(shí)可以得出當(dāng)滿足條件時(shí)，系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。其中不等式Φ＜0等價(jià)于：

記Θi1Θi1＝I，并利用引理3可知：對(duì)于任意實(shí)數(shù)εi＞0（i＝1，2），有：

再利用矩陣Kronecker product性質(zhì)，有：

最后由矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，式（5）、（6）、（7）等價(jià)于Ξ＜0。

2.2 1≤α＜2

定理3 存在正定矩陣P，常數(shù)矩陣K 和常量ε＞0，使得（線性矩陣不等式（LMI））：

證明 由引理2可知，當(dāng)下列條件滿足時(shí)，系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

再利用引理3可得，式（8）中第2部分可以作如下分解：

將式（9）帶入式（8）中，并利用Schur補(bǔ)引理，可得線性矩陣不等式Φ0。證畢。

3 結(jié)語

針對(duì)階數(shù)α的2種情況，分別用不同的方法得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。下一步可考慮系統(tǒng)中含有時(shí)滯情況，進(jìn)一步討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。

［1］ 方園，蔣威 .一類分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定 ［J］.信息與控制，2013，42（1）：33－38.

［2］ 方園 .分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ［J］.阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，29（3）：11－13.

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