汪 勇，楊 宇，鄧志成，史進淵

(上海發(fā)電設備成套設計研究院，上海 200240)

汽輪機低壓外缸的主結構一般由鋼板、鋼塊和鋼管等焊接而成。低壓外缸的強度和屈曲是結構安全性設計重點關心的內(nèi)容［1］。在計算機技術尚不發(fā)達的過去，一般通過簡化的理論公式計算或通過有機玻璃模型試驗來評估汽缸的強度和屈曲性能［2］。隨著計算機的不斷發(fā)展，近二三十年來，數(shù)值計算方法被廣泛應用于汽輪機低壓外缸的強度和屈曲計算中［3-4］。為了進行強度及屈曲的有限元分析，通常將鋼板簡化為片體用殼單元離散，將鋼管簡化為線體用梁單元離散，將鋼塊直接使用實體單元離散。由于實體單元、殼單元和梁單元三類單元節(jié)點分別具有不同的自由度，在有限元計算時需要考慮彼此的節(jié)點自由度耦合問題［5-6］。

本文通過數(shù)值試驗方法，將不同類型單元連接的模型與全實體模型的計算結果進行對比，證明了這些處理的合理性，然后將這些處理方法應用于汽輪機外缸的強度及屈曲分析中。

1 不同單元的節(jié)點自由度

在結構計算中，三維實體單元、空間殼單元和空間梁單元三類單元的自由度情況為:

實體單元節(jié)點有三個自由度，分別為ux、uy和uz，其單元的節(jié)點只具有三個方向的平動自由度，空間旋轉通過節(jié)點位置的相對轉動來表現(xiàn)。

殼單元節(jié)點有六個自由度，分別為ux、uy、uz、θx、θy和θz。殼單元的節(jié)點具有三個方向平動和三個方向的轉動自由度。在線彈性板殼理論的基本假設當中，θz自由度不能通過直接求解平衡方程得到，而是通過節(jié)點在中面內(nèi)的相對位置轉動來表現(xiàn)。為了避免由于平衡方程線性相關而導致計算結果不是唯一的，同時也為了方便計算程序的編制和前后處理，在程序中，人為引入了描述θz方向剛度的非零剛度系數(shù)Kθz。盡管引入Kθz不會影響到其它自由度的計算結果，但由于殼單元的θz自由度計算結果與Kθz直接相關，程序直接輸出的節(jié)點θz結果是不真實的。

梁單元節(jié)點有三個平動和三個轉動自由度，即ux、uy、uz、θx、θy和θz。與殼單元不同，梁單元的六個自由度都是由平衡方程直接求解得到的。當梁單元與殼單元僅僅共點連接時，兩種單元之間在殼單元θz方向的力矩將無法正確地傳遞，直接影響到位移、應力及振動特性的計算結果。

2 不同單元節(jié)點的自由度耦合

由于三類單元的節(jié)點自由度各不相同，若只是簡單地共用連接處不同類型單元的節(jié)點，必然導致缺失的節(jié)點自由度無法正確傳遞。為解決這個問題，在不同自由度的單元節(jié)點之間引入多點約束方程(MPC)。MPC 通過引入連接部位附近的其它計算節(jié)點，根據(jù)物理實際加入變形協(xié)調(diào)條件，彌補單元本身自由度的不匹配。本文使用MPC 方法來設置不同自由度的單元節(jié)點間的連接，根據(jù)連接部位具體的情況不同，采用不同的方法。

2.1 梁單元與殼單元附著連接

梁單元與殼單元附著連接是指殼體上有加強筋、加強梁、加強桿或者是桿板連接時存在過渡片的情況(如圖1 所示)。

經(jīng)過簡化的殼體與線體之間的公共部分是一條線而不是一個點。這些公共線在有限元離散時至少含有兩個以上的節(jié)點和一個以上單元的邊。為保證計算精度，模型處理時要保證兩類單元間有三個以上的節(jié)點和兩個以上單元的邊共用。這樣，殼單元的θz自由度可以自然地由公共點在平面內(nèi)的相對移動實現(xiàn)與梁單元相互傳遞。在梁單元與殼單元附著連接的情況下，只要兩類單元在連接部位共用節(jié)點，便達到了自由度耦合的效果。

圖1 梁單元與殼單元附著連接示意圖

2.2 梁單元與殼單元正交或斜交連接

當支撐桿與殼體呈正交或斜交(如圖2 所示)連接時。撐桿經(jīng)簡化后成為線體，殼體經(jīng)簡化后成為片體，兩者正交或斜交時的交集是一個點。在這種情況下，有限元離散得到的殼單元與梁單元只有一個公共節(jié)點連接，梁單元在殼單元θz方向的旋轉將無法正確計算。使用MPC 方法將兩者進行連接，將空心撐桿的中面沿桿長方向投影到殼體中面，將投影得到的圓或橢圓上的節(jié)點(從節(jié)點)與撐桿簡化得到的梁單元連接端點(主節(jié)點)進行MPC 連接。如此，殼單元連接部位的θz自由度由MPC 從節(jié)點的彼此相對旋轉來計算，實現(xiàn)了梁單元和殼單元節(jié)點間的自由度耦合。

圖2 桿與板(或?qū)嶓w)正交和斜交示意圖

2.3 梁單元與實體單元正交或斜交連接

當支撐桿與實體相互呈正交或斜交(如圖2所示)連接時，如不進行特殊處理，則梁單元與實體單元僅共用一個節(jié)點。由于實體單元的節(jié)點沒有轉動自由度，梁單元與實體單元呈三維鉸接狀態(tài)，無法呈現(xiàn)桿與體之間的焊接特征，將降低模型的剛度。這種情況的處理方法與梁單元和殼單元的正(斜)交連接類似。將空心撐桿的中面沿桿長方向投影到實體表面，將投影得到的圓(斜交時為橢圓)上的節(jié)點與梁單元的主節(jié)點進行MPC連接。通過MPC 從節(jié)點的協(xié)調(diào)變形，將桿單元節(jié)點上的三個旋轉自由度傳遞給實體單元，實現(xiàn)空間梁單元與三維實體單元間的自由度耦合。

2.4 殼單元與實體單元的連接

當殼單元與實體單元連接時，如僅讓連接部位殼單元輪廓上的單元與實體單元共用節(jié)點，則兩類單元表現(xiàn)出一維鉸接的特點，兩類單元仍然能夠在圍繞單元的邊長方向彼此旋轉，將降低有限元模型的整體剛度。為解決這個問題，分以下4 步進行殼單元與實體單元的MPC 連接。

1)在殼體與實體連接的部位，分別用殼體的上面、中面和下面切開連接的實體表面。

2)將剖切后實體表面的三條線與對應的殼體中面輪廓線用相同數(shù)量的節(jié)點進行剖分，且每一組對應的四個節(jié)點分布在中面的同一條法線上。

3)將殼單元輪廓上的節(jié)點與相同空間位置的實體單元節(jié)點合并為一個節(jié)點(即共用節(jié)點)。

4)依次將殼單元輪廓上的各個節(jié)點作為MPC 主節(jié)點與共法線的另外兩個剖線上的實體單元節(jié)點進行MPC 連接。

其中，第3 步保證空間殼單元與三維實體單元節(jié)點之間的平動自由度耦合，第4 步實現(xiàn)了兩類單元之間轉動自由度的耦合。

三類單元連接的有限元模型示意如圖3 所示。

圖3 三類單元連接示意圖

2.5 不同類型單元的連接方式小結

在本文建立的汽輪機外缸模型中，梁單元與殼單元、殼單元與實體單元、實體單元與梁單元的節(jié)點之間都使用了多點約束方程(MPC)的連接，建立了符合工程實際及求解所需要的三維有限元計算模型。當梁單元附著在殼單元之上時，使用了共節(jié)點方法進行自由度耦合。文中使用到的各類單元節(jié)點間的自由度耦合方法示意如圖4 所示。

圖4 三種不同的單元之間的連接方式

3 連接方法的驗證

上面介紹了不同自由度單元之間的連接方法。這里對幾種連接方法進行數(shù)值試驗驗證，即將不同單元的連接模型計算結果與全實體單元模型的計算結果進行比較，以驗證處理方法的正確性。

3.1 梁單元與殼單元的連接

為驗證梁單元與殼單元在正交或斜交連接中使用MPC 連接方法處理的正確性，本文建立了如圖5 所示的數(shù)值試驗幾何模型，并將該幾何模型簡化為如圖6 所示的梁－殼模型和全實體模型這兩種模型。

圖5 梁與殼體連接的數(shù)值試驗幾何模型/mm

在圖6 所示的梁－殼模型中，平板被簡化為殼單元，而桿被簡化成梁單元;在全實體模型中，桿和平板均使用實體單元。為驗證殼單元節(jié)點的θz自由度與梁單元節(jié)點之間耦合處理的正確性，在桿的自由端施加圍繞桿軸的200 N·m 的扭矩。每個模型均約束四邊形平板的三個角點，兩個模型的力學邊界如圖6 所示。

圖6 梁與殼體連接的數(shù)值試驗的力學邊界

試算中使用的材料彈性模量E=200 GPa，泊松比為0.3。經(jīng)過剖分后兩個試驗模型的網(wǎng)格如圖7 所示。

圖7 梁與殼體連接數(shù)值試驗的網(wǎng)格

兩個模型計算得到的桿繞其軸的轉動位移結果如圖8 所示。梁與殼連接的數(shù)值試驗和不同模型的計算結果偏差列于表1，兩種模型的旋轉位移偏差僅為3.75%，表明本文對梁與殼連接的處理方法是合理的。

圖8 梁與殼體連接數(shù)值試驗的位移放大圖

表1 梁與殼連接試驗模型的計算結果

3.2 實體單元與殼單元的連接

為了驗證殼單元與實體單元連接時的計算精度，本文建立了如圖9 所示的數(shù)值試驗幾何模型。圖中的薄殼部分在有限元模型中用殼單元和實體單元分別進行試算，結果相互比較以說明殼單元與實體單元連接方法的正確性。

圖9 殼與實體連接的數(shù)值試驗幾何模型/mm

在圖9 所示的幾何模型上，殼體部分施加1 MPa的法向壓力，固體另一端面完全約束。其力學邊界的示意如圖6 所示。在殼體與實體連接的部位，使用上文中提到的方法進行連接。

對模型進行有限元離散、邊界處理和計算后，得到圖10 所示的撓度計算結果。試算中使用的材料彈性模量E=200 GPa，泊松比為0.3。殼體部分端面(端線)的位移列于表2。

圖10 殼與實體連接的數(shù)值試驗撓度結果

表2 殼與實體連接試驗模型的計算結果

殼－實體和全實體兩種模型的撓度值計算結果偏差僅為0.243%，表明了本文處理殼與實體連接方法的合理性。

3.3 不同連接方法的結果驗證分析

對不同類型單元節(jié)點自由度耦合的連接方法進行了驗證。對不同單元節(jié)點自由度耦合建模和全實體單元建模分別進行有限元分析，由表1 和表2 結果對比表明，彼此之間的偏差在5%以內(nèi)，證實了這些處理方法的正確性。

4 汽輪機低壓外缸計算模型

根據(jù)汽輪機低壓外缸三維實體模型，使用兩種思路進行簡化，得到了由片體、線體構成的模型I 和由實體、片體和線體共同構成的模型II 分別用于構建三維有限元離散模型。對于模型簡化得到的實體、片體和線體，分別使用了實體單元、殼單元和梁單元進行離散。兩種幾何模型簡化方法、各類幾何體使用的單元和簡化流程如圖11 所示。

根據(jù)圖11 流程，得到模型I 和模型II 兩種有限元計算模型，其中模型I 沒有使用實體單元;模型II 為了更接近實際設計情況，該模型適當引入了實體模型。

圖11 兩種不同的實體和有限元模型簡化流程

4.1 載荷和約束

低壓外缸在穩(wěn)態(tài)工況時承受以下四類外力載荷:

(1)外部大氣壓力;(2)向下的凝汽器壓力;(3)側向進汽口的管道推力;(4)大氣隔膜閥和側向進汽口盲管力。

低壓外缸幾何模型以及穩(wěn)態(tài)工況下的載荷具有對稱性，關于垂直于地面的軸向面和垂直于地面的軸向面垂面都是對稱的。因此，低壓外缸在穩(wěn)態(tài)工況下的強度分析可以使用1/4 的模型。垂直于地面的軸向面和垂直于地面的軸向面垂面作為對稱面約束，在外缸搭爪部位約束垂直方向的平動。

為了得到非對稱屈曲模態(tài)，在進行屈曲分析時，使用了全缸模型，即將整個低壓外缸全部離散為有限元模型后進行計算。如圖12 所示，全缸模型中共引入了1 008 組MPC 連接。

圖12 低壓外缸的1 008 組MPC 連接

4.2 應力分析

在額定負荷穩(wěn)態(tài)工況下，低壓外缸模型中的上缸的加強筋和頂桿的應力分布如圖13 所示。上缸梁單元最大合成應力發(fā)生在外缸的加強筋板處，強度是安全的。所有的撐桿單元額定負荷工況下的強度設計是安全的。

圖13 模型II 的上半部分梁單元應力分布

4.3 屈曲分析

針對汽輪機低壓外缸，本文進行了前三階屈曲模態(tài)分析。模型I 和模型II 的歸一化屈曲放大系數(shù)(除以模型II 的一階屈曲放大系數(shù))如圖14所示。

圖14 歸一化屈曲放大系數(shù)

由圖14 可知，隨著階數(shù)上升，屈曲放大系數(shù)不斷上升。同時由模型I 和模型II 的對比可知，兩個模型的屈曲放大系數(shù)非常接近，相互證明了處理方法的合理性。屈曲放大系數(shù)及屈曲模態(tài)的結果為生產(chǎn)廠商評估汽缸的屈曲安全性、提高汽缸承受負壓時的屈曲提供了技術依據(jù)。

5 結論

本文通過數(shù)值試驗方法驗證了節(jié)點自由度耦合方法的準確性，并采用該方法對汽輪機低壓外缸的強度和屈曲進行了計算和分析，結論如下:

1)不同類型單元節(jié)點自由度耦合方法能夠處理梁單元、殼單元和實體單元之間自由度傳遞問題，為復雜模型的簡化提供了一種途徑和方法;

2)采用不同類型單元節(jié)點自由度耦合方法能夠在減少計算規(guī)模的同時保證計算的精度，數(shù)值試驗結果表明，與全實體單元方法的誤差小于5%，在工程上可以接受;

3)采用1/4 對稱模型對汽輪機低壓外缸的應力進行了分析，得到了汽缸的應力分布情況，為低壓外缸的強度安全性提供了技術依據(jù);

4)采用全缸模型對汽輪機低壓外缸的屈曲進行了分析，得到了汽缸前三階的屈曲放大系數(shù)和屈曲模態(tài)，為低壓外缸的屈曲提供了技術依據(jù)。

本文提供的方法還可以應用于與汽輪機低壓外缸類似的復雜板殼、撐桿及塊體焊接結構的有限元簡化處理。

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