林記

摘 要：設(shè)是域k上的DG范疇，B.Keller定義了微分分次范疇Dif的DG函子ν。在定義了Dif的DG函子ν-的基礎(chǔ)上，證明了ν和ν-是的正和函子，且ν和ν-誘導(dǎo)了的正和函子Lν和Rν-。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)出DG范疇；三角；Nakayama函子

中圖分類號：O154.3 文獻標志碼：A 文章編號：1672-1098（2014）03-0054-03

眾所周知，對于一個有限維結(jié)合代數(shù)A而言，可以定義其有限生成模范疇mod A的Nakayama函子ν；盡管它不是mod A的自等價函子，但是它卻誘導(dǎo)了mod A的兩個滿子范疇投射模Proj A和入射模Inj A的等價。因此，文獻[1]提出了微分分次（DG）范疇的概念， 文獻[2-3]系統(tǒng)的研究了域k上的微分分次范疇的無界導(dǎo)出范疇，定義了DG范疇Dif的DG函子ν。本文給出了Dif的DG函子ν-的定義，并證明了ν和ν-可以誘導(dǎo)的正合函子Lν和Rν-。

1 導(dǎo)出微分分次范疇

根據(jù)將要用到的概念和結(jié)論，總假設(shè)為域k上的小DG范疇。

引理3[3]158 如果在中有-模的正合列LiMpN，并且在中可裂（忘記微分結(jié)構(gòu)后， 該正合列是可裂的）， 即存在次數(shù)為零的齊次態(tài)射r， s， 滿足ps=1N， ri=1L和rs=0， 那么的標準三角形如Li-Mp-Ne-SL，這里的e=rds。

引理2[2]69 任意M∈， 存在的三角pM→M→aM→S（pM），這里的pM具有性質(zhì)（P），aM是零調(diào)（acyclic）函子；任意N∈，存在的三角a′N→N→iN→S（a′N），這里的iN具有性質(zhì)（I），a′N是零調(diào)（acyclic）函子。

導(dǎo)出范疇為關(guān)于擬同構(gòu)的局部化，并且以下引理給出二者的關(guān)系。

引理3[2]75 合成F∶ iQ和G∶ i Q 皆為三角等價， 其中（）是的具有性質(zhì)（P）（性質(zhì)（I））[2-3]的對象作成的滿子范疇。

2 導(dǎo)出DG范疇的Nakayama函子 3 結(jié)語

DG范疇理論是代數(shù)K-理論、A-∞代數(shù)、代數(shù)幾何、算子代數(shù)、范疇理論和代數(shù)表示論等數(shù)學(xué)分支的重要工具。文章研究了導(dǎo)出微分分次范疇的Nakayama函子的存在性及其性質(zhì)，為進一步研究DG范疇的不變量提供了有力工具和技術(shù)保障，以期促進DG范疇的理論及其應(yīng)用研究工作的發(fā)展。

參考文獻：

[1] G M KELLY. Chain maps inducing zero homologymaps[J]. Proc. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society， 1965， 61（4）： 847-854.

[2] B KELLER. Deriving DG categories[J]. Ann. Sci. cole Norm. Sup.， 1994，27（1）： 63-102.

[3] B KELLER. On differenctial graded categories[C]//International Congress of Mathematicians. Zürich： Eur. Math. Soc.， 2006： 151-190.

[4] ASSEM， D SIMON ，A SKOWROSKI. Elements of the representation theory of associative algebra I[M]. Cambridge University Press， 2006： 83-119.

（責(zé)任編輯：何學(xué)華）