馬 亢，陳東霞，牛富生，孫 慶

（1.廈門大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，福建 廈門361005；2.同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

建筑物（含基底樁基）建造完成后，樁基即承擔(dān)一定的從上部結(jié)構(gòu)傳遞來的豎向荷載.它是樁體幾何設(shè)計和配筋的主要依據(jù)，與地震峰值加速度（PGA）、上部結(jié)構(gòu)傳至樁基的荷載水平、樁身剛／強(qiáng)度、地基土性等因素密切相關(guān)，準(zhǔn)確確定樁基最大彎矩及分布特征對樁基抗震設(shè)計尤為關(guān)鍵且必要.

目前，在國內(nèi)外諸多設(shè)計規(guī)范中仍未有統(tǒng)一明確的樁基抗震設(shè)計圖表或計算依據(jù)，如我國的《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》（TGJ94－2008）、《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（GB50011—2010）等，以及國外某些專業(yè)規(guī)范：如U－niform Building Code （ICBO—1997）、Eurocode（EN—1998）、Indian Seismic Code（IS1893—2002）等均未有嚴(yán)格意義上專門的樁基抗震計算規(guī)定.樁基抗震設(shè)計很大程度上仍采用擬靜力法（如動力系數(shù)法，取靜力最大設(shè)計彎矩的1.1倍作保守設(shè)計）、簡化數(shù)理模型計算和其他各類地震復(fù)核方法［1－3］；或者專門針對存在液化土層中的樁基，通過折減承載力或控制液化側(cè)擴(kuò)地基變形等做法作保守設(shè)計［4－5］.顯然，這些做法都是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，缺乏科學(xué)性，以致地震中樁基損毀現(xiàn)象屢見不鮮，在實(shí)際樁基抗震設(shè)計時也不經(jīng)濟(jì).至今，關(guān)于樁－土動力相互作用的研究很多，也出現(xiàn)了一批有意義的成果，但絕大多數(shù)仍集中于針對上部結(jié)構(gòu)的動力分析上（如橋體結(jié)構(gòu)、建筑結(jié)構(gòu)等），均忽視了樁基本身的抗震研究，這對低層較輕的上部結(jié)構(gòu)可能影響不大，但對高層高重結(jié)構(gòu)，地震時樁基與地基土的相互作用強(qiáng)烈，樁基自身的安全穩(wěn)定性也是一個須重點(diǎn)關(guān)注的問題，并有待進(jìn)一步規(guī)范.

作者在既往研究中［6－8］對黏性土中樁基震害破壞機(jī)制及樁－土動力相互作用機(jī)理已作較為深入地探討，并獲得一定認(rèn)識.文獻(xiàn)［6］通過離心機(jī)地震模型試驗(yàn)得出：地震下樁－土間動力相互作用迫使樁基產(chǎn)生地震附加彎矩，一定情況下（如樁基承受上部結(jié)構(gòu)較重、地震強(qiáng)度較大時）將十分顯著，在樁基配筋時須另計考慮；更因兩者動力相互作用致使基礎(chǔ)與土表運(yùn)動的非一致性，兩者在加速度時程、反應(yīng)譜特征、周期及放大效應(yīng)等方面均存在顯著差異，傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中采用自由場土表的地震動參數(shù)直接作為基底參數(shù)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?；文獻(xiàn)［7］對兩組剛度（EI）差異顯著的樁基（EI最大相差10.5倍，以剛性樁和柔性樁區(qū)分之）開展的離心機(jī)地震模型試驗(yàn)及工程模擬的有限元軟件ABAQUS計算得出：樁頭固定的樁基，其最大彎矩發(fā)生于樁筏聯(lián)結(jié)處；對于柔性樁，地震中周圍土體對樁基主要為約束效應(yīng)，致使樁基某個深度以下彎矩很小，可忽略不計；對于剛性樁，土體對樁基主要是施加附加慣性力作用，致使基礎(chǔ)周期明顯高于自由場土體，從而樁體在較深處彎矩仍十分顯著.文獻(xiàn)［8］通過研發(fā)黏土在地震作用下的軟化降強(qiáng)本構(gòu)模型，并串聯(lián)至ABAQUS程序而計算得到的樁基彎矩規(guī)律，與試驗(yàn)結(jié)果基本一致.本文將以此3篇文獻(xiàn)中既得成果及大量原始彎矩數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)（見表1示），繼續(xù)作深入研究，對實(shí)際樁基工程中最大地震附加彎矩的設(shè)計及計算提出判據(jù)，以為工程設(shè)計施工時借鑒、采用.

1 π定理

人們在研究某一自然現(xiàn)象時，目標(biāo)是希望能將其本質(zhì)過程表達(dá)為一種定量的函數(shù)關(guān)系：

其中，x1，x2，…，xn表示與該過程有關(guān)的物理量及某些物理常數(shù).

由于自然現(xiàn)象的本質(zhì)是與測量單位制的選擇無關(guān)的，而描述某一自然現(xiàn)象各個物理量的數(shù)值卻與單位制有關(guān).當(dāng)函數(shù)關(guān)系式（1）改寫成無量綱形式時：

它才真正反映了自然過程的本質(zhì)，因?yàn)闊o量綱物理量的數(shù)值與單位制的選擇無關(guān).式（2）中π1，π2，…，πr是由n個變量x1，x2，…，xn組合而成的r個無量綱變量，不含任何與物理量的測量方法有關(guān)的系數(shù).此舉通過減少變量數(shù)目（r＜n），大大簡化了研究工作.從式（1）到式（2）的處理過程實(shí)為量綱分析和相似性理論的方法.這個方法涉及各物理量之間存在的本質(zhì)上的深刻聯(lián)系，它在很多科學(xué)領(lǐng)域中都曾起過重大作用［9－11］.Buckingham 的π 定理是相似性原理及 量 綱 分析方法的成功應(yīng)用，可簡述為：對某過程具有重要性的變量數(shù)目n減去基本變量的數(shù)目m（一般取長度l、質(zhì)量m和時間t，m＝3），就是獨(dú)立的無量綱組合變量的數(shù)目r（＝n－m）.本文將以此為理論基礎(chǔ)，對既往研究中取得的大量原始數(shù)據(jù)作進(jìn)一步分析歸納，即導(dǎo)出樁基最大地震彎矩計算公式.

2 π式的確定

2.1 研究問題

對于樁基地震彎矩的研究，以Nikolaou［12］為代表的研究者作了較好的工作.Nikolaou通過對長細(xì)比為20和40的兩類樁基開展的數(shù)值計算及數(shù)學(xué)分析，對雙層土中單樁的最大彎矩，最早提出計算公式如下：

式中，arock為基巖加速度峰值，lp為樁長，d為樁徑，Ep、E1分別為樁體與上層土的彈性模量；V1、V2分別為上下土層的剪切波速；h1為上層土的厚度.

由于式（1）未考慮上部結(jié)構(gòu)傳至樁基的荷載水平及地基域土體的慣性質(zhì)量效應(yīng)，后來，Nikolaou［13］經(jīng)過改進(jìn)又提出了一個計算公式：

式中，ρ1為上層土體的密度，這在一定程度上考慮了地基域土體的質(zhì)量（即慣性效應(yīng)），是對以前工作作了重要改進(jìn)，但仍未考慮從上部結(jié)構(gòu)傳至樁基的荷載效應(yīng).由相關(guān)研究可知，樁端所承受的荷載水平不僅對樁身彎矩峰值影響顯著，而且還決定著樁（筏）基結(jié)構(gòu)的自振頻率，是極為重要的工程因素之一.故此，本文針對包括樁承荷載水平在內(nèi)的最廣泛因素作用下樁基最大彎矩開展討論.

表1 已完成樁基的特性參數(shù)及研究工況Tab.1 Properties parameters and study cases of piles in finished research

本文研究的樁（筏）基型式，單一土層底部為基巖，土層厚度與樁長相等；樁底支立于基巖上，樁端承受一定的從上部結(jié)構(gòu)傳遞的荷載（以分擔(dān)筏板重量計）.這是樁－筏－土體系在地震下的動力相互作用研究的典型問題，即作者在以往研究中（試驗(yàn)及ABAQUS計算分析）采用的同一數(shù)理模型.影響樁身最大彎矩Mmax的因素繁多，其中最具代表性的可由式（5）表達(dá)如下：

其中，最大彎矩：Mmax；樁長為lp；樁的直徑為d；樁彈性模量為Ep；筏板質(zhì)量為mraft；土體剪切模量為Gs；基巖加速度（輸入）為ab；樁的密度為ρpile；土體密度為ρs.

2.2 π式的確定

由于式（5）中l(wèi)p、mraft及ab包含有l(wèi)、m、t這3個基本量綱，故選取其作為基本量.根據(jù)π定理，式（5）中9個物理量可組合成6個無量綱π式，因此，根據(jù)樁－筏結(jié)構(gòu)與地基土體系各自的地震屬性，及其與地震工程中各因素間的內(nèi)在聯(lián)系，分別提出并推導(dǎo)如下：

1）無量綱彎矩：

該式可由樁（直徑為d和彈性模量為Ep）的應(yīng)變εm（無量綱）與相應(yīng)彎矩M之間的關(guān)系導(dǎo)得：

此項(xiàng)主要表達(dá)兩者慣性質(zhì)量效應(yīng)之比（樁基本身質(zhì)量及其所承擔(dān)的從上部結(jié)構(gòu)傳遞至筏板，并進(jìn)而傳遞至樁端的慣性質(zhì)量），即誰占主導(dǎo)或程度大小.由于，地震中樁基彎矩只主要發(fā)生于一定深度范圍內(nèi)，即可采用此深度范圍（lα）樁基質(zhì)量即mpile，可計為：

其中，lα可根據(jù)一個普用公式（Poulos［14］；Randolph［15］）確定：

4）樁（筏）基結(jié)構(gòu)與自由場土體的自振頻率之比：

當(dāng)π3＝1時，即為共振效應(yīng)，是工程中極力回避的.樁（筏）基結(jié)構(gòu)可按單自由度系統(tǒng)（SDOF）考慮，在上述3）中，樁基質(zhì)量已有考慮，此處視樁為無重柱，EpIp為樁體剛度，樁（筏）基結(jié)構(gòu)剛度k可表達(dá)為：

其中，a為常數(shù)，其值取決于樁端約束條件.

因此，樁筏基礎(chǔ)的共振頻率可表達(dá)為：

對于與樁長（lp）等厚的土體，其主周期理論解為：

其中，Vs為土體的剪切波波速，且有：

因此土體的頻率為：

由式（16）～（18）可得到兩者的頻率比：

5）等效地基域的質(zhì)量與基礎(chǔ)質(zhì)量（包括上部結(jié)構(gòu)傳至基礎(chǔ)的荷載）之比：

此項(xiàng)主要表達(dá)地基域與基礎(chǔ)體系的慣性質(zhì)量之比，即表達(dá)地基域與基礎(chǔ)體系的慣性強(qiáng)弱表征.假設(shè)樁在土體的延伸深度決定著其所影響的地基域范圍，即樁在土體內(nèi)的延伸越長，其所影響的地基域范圍也越廣，因此：

6）地震峰值加速：

其中，g為重力加速度.

3 π式的優(yōu)化組合

根據(jù)量綱分析原理，各π式可表示成冪積關(guān)系［16］.因此，無量綱彎矩π0可由其他5個無量綱π式表達(dá)如下：

式中，a′0、a1～a5、ab為常數(shù).

對于地震條件下的軟黏土，滲透系數(shù)較小，且因地震時間較短，不易排水，故：

將式（13）代入式（12），得：

即：

將表1中所有彎矩數(shù)據(jù)繪于圖1中，可見：極其分散且毫無規(guī)律.逐次引入上述推導(dǎo)所得“π式冪”（如先引入π0，見圖2），并不斷動態(tài)試探和誤差控制可將這些原始數(shù)據(jù)點(diǎn)壓縮至一個最小范圍的線性窄帶中（見圖3），經(jīng)數(shù)學(xué)分析可確定式（24）中待定參數(shù)a″0，a′1，a2，a″2，a′3，a4和a5的最佳值，見式（25）、（26）.

圖1 各種工況下樁基的原始最大彎矩值Fig.1 Original maximum bending moment of pile with different slender ratio under different cases

圖2 π0與樁基長細(xì)比π1的關(guān)系Fig.2 Relation betweenπ0and slender ratio

圖3可得，數(shù)據(jù)群“窄帶”線性方程：Y＊＝0.147 X＊，Y＊與X＊分別代表引入π式冪變量后的復(fù)合指標(biāo)，因此：通過還原各π式冪，即：

圖3 最終壓縮得到的線性窄帶Fig.3 Final condensed plot after a series of linearization

由于本研究中（試驗(yàn)及ABAQUS計算分析）上部結(jié)構(gòu)傳至筏板荷載由4根樁共同承擔(dān)，故有：

mload為每根樁基單獨(dú)承擔(dān)的荷載，因此式（28）可進(jìn)一步改寫為一般形式：

式（30）導(dǎo)出了多因素下樁基最大彎矩的最終計算公式，它考慮了包括上部結(jié)構(gòu)傳至樁基荷載水平在內(nèi)的最廣泛影響因素.該式是基于試驗(yàn)和ABAQUS計算數(shù)據(jù)導(dǎo)得［17－18］.通過對式中各參數(shù)的逐一敏性分析，可知其符合既往研究和工程實(shí)際的因素變化趨勢（如：Mmax∝E1.12P最大彎矩隨樁基剛度而增大，樁基剛度越大，產(chǎn)生的彎矩也越大；Mmax∝a0.9b最大彎矩隨地震強(qiáng)度增大而增大等）.

4 預(yù)測公式與權(quán)威設(shè)計圖表對比

Tabesh和Poulos［19］基于 Winkler地基梁的理論分析和數(shù)值計算，提出了在地震作用下樁身最大彎矩的幾類工程設(shè)計圖表.該研究假設(shè)線彈性均質(zhì)土體中單樁受到從基巖輸出的地震波作用，峰值加速度（PGA）均為0.1 g；樁基包括木樁和混凝土樁兩類型，彈性模量分別設(shè)為10和30GPa；樁徑范圍為0.2～1.5m；土的彈性模量包括25，50和100MPa 3種；樁頭承受的荷載采用極限承載力安全系數(shù)來表達(dá)，分別為2，2.5和3.

圖4 式（30）確定的最大彎矩值與 Tabesh［19］對比Fig.4 Comparison of maximum bending moments between Eq（30）of this study and the design charts by Tabesh［19］

圖4為本文式（30）與 Tabesh［19］計算得出的樁身最大彎矩對比，可見，在樁徑較小情況下，兩者計算的樁基最大彎矩基本相符，在樁徑較大時差異較大.因式（30）和在 Tabesh和Poulos［19］的研究思路與方法完全不同，但總體上言，量值和變化趨勢兩者基本一致，說明本文導(dǎo)出的式（30）是合理正確的，在目前尚無成熟的樁基抗震規(guī)范情況下是具有一定參考價值的.

5 總 結(jié)

本文運(yùn)用π定理，在既往研究獲取的大量原始樁基彎矩的基礎(chǔ)之上，通過充分考慮影響樁基彎矩的諸多因素，提出并推導(dǎo)出6個無量綱π式，通過數(shù)學(xué)分析為樁基（樁筏固定聯(lián)接）在地震作用下產(chǎn)生的最大附加彎矩理論推導(dǎo)得出的計算公式，符合權(quán)威工程設(shè)計圖表規(guī)律，具有一定工程應(yīng)用性.本文所討論的是黏性土中樁基，對于砂性土，其地震破壞模式主要是液化及其導(dǎo)致的大變形，這在國內(nèi)外有較多研究成果可以借鑒；對于多層土中樁基彎矩計算，可按最不利土層參數(shù)或各層土參數(shù)的加權(quán)平均取值.

本文為樁基抗震研究提供了一種新的研究思路，當(dāng)原始研究數(shù)據(jù)足夠多（試驗(yàn)及數(shù)值計算）時，導(dǎo)出的計算彎矩公式更為準(zhǔn)確，并力求在工程設(shè)計實(shí)踐中得到檢驗(yàn)、修正并積累經(jīng)驗(yàn).

［1］賀斌.地震作用下海洋環(huán)境碼頭樁－土動力相互作用分析［D］.武漢：武漢大學(xué)，2004.

［2］孔德森.樁－土相互作用計算模型及其在樁基結(jié)構(gòu)抗震分析中的應(yīng)用［D］.大連：大連理工大學(xué)，2004.

［3］戚玉亮.地基土－群樁－懸索大橋體系抗震動力相互作用數(shù)值模擬與理論研究［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)，2010.

［4］史佩棟，顧曉魯.樁基工程手冊［M］.北京：人民交通出版社，2008：177－214.

［5］史佩棟，高大釗，桂業(yè)琨.高層建筑基礎(chǔ)工程手冊［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2000：233－267.

［6］馬亢，裴建良.樁筏基礎(chǔ)－土動力相互作用的離心機(jī)模型試驗(yàn) 研 究 ［J］.巖 石 力學(xué)與 工 程 學(xué) 報，2011，30（7）：1488－1495.

［7］馬亢，裴建良.樁－土動力相互作用問題中樁身剛度的影響效應(yīng)研究［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2011，30（增刊2）：3626－3632.

［8］馬亢，許強(qiáng).樁－筏－土體系的地震軟化效應(yīng)及ABAQUS模擬研究［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2012，31（增刊1）：3254－3354.

［9］禹華謙.工程流體力學(xué)［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，1999：122－156.

［10］Fin W D.A study of piles during earthquakes：issues of design andanalysis［J］.Bulletin of Earthquake Engineering，2005，3（2）：141－234.

［11］Yu Y，Lee F H.Seismic response of soft ground［J］.Physical Modeling in Geotechnics：ICMG，2002，2：519－524.

［12］Nikolaou A S，Mylonakis G，Gazetas G.Kinematic ben－ding moments in seismically stressed piles［R］.National Center for Earthquake Engineering Research.Buffalo：State University of New York，1995：122－157.

［13］Nikolaou S，Mylonakis G，Gazetas G.Kinematic pile bending during earthquakes：analysis and field measurements［J］.Geotechnique，2001，51（5）：425－440.

［14］Poulos H G，Davis E H.Pile foundation analysis and design［M］.［S.l.］：John Wiley＆ Sons，1980：198－234.

［15］Randolph M F.The response of flexible piles to lateral loading［J］.Geotechnique，1981，31（2）：247－259.

［16］Andrew C.Dimensional analysis and intelligent experimentation［M］.Singapore：World Scientific Publishing Co Ptc Ltd，2008：342－367.

［17］Ma K，Banerjee S，Lee F H，et al.Dynamic soil－pile－raft interaction in normally consolidated soft clay during earthquakes［J］.Journal of Earthquake and Tsunami.2012，6（3）：1250031.

［18］Ma K，XU Q.Seismic softening behavior of pile－raft foundation constructed in clayey soil site subjected to far field earthquake［J］.Journal of Vibroengineering.2014，16（2）：626－642.

［19］Tabesh A，Poulos H G.Design charts for seismic analysis of single piles in clay［J］.Proceedings of the Institution of Civil Engineers Geotechnical Engineering，2007，160（2）：85－96.