李紅春

教育部頒布的《普通高中研究性學(xué)習(xí)實(shí)施指南》指出，設(shè)置研究性學(xué)習(xí)的目的在于“改變學(xué)生以單純地接受教師傳授知識(shí)為主的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生構(gòu)建開(kāi)放的學(xué)習(xí)環(huán)境，提供多渠道獲取知識(shí)并將學(xué)到的知識(shí)加以綜合應(yīng)用于實(shí)踐的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”.本文以《數(shù)學(xué)通訊》（上半月）2012年問(wèn)題征解98為例，展示解題中開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)的四個(gè)視角，希望對(duì)大家的教學(xué)能有所啟發(fā).

題目：如圖1，過(guò)橢圓+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），F(xiàn)（c，0），由=λ1，知（x1，y1-y0）=λ1（c-x1，-y1），于是y1-y0=λ1·（-y1），即λ1=，同理由=λ2知λ2=，于是λ1+λ2=+=-2，設(shè)直線l：x=ty+c，令x=0，得y=-，即y0=-.將直線方程代入橢圓方程+=1，整理得（b2t2+a2）y2+2b2cty+b2c2-a2b2=0，則y1+y2=-，y1y2=，因此λ1+λ2=-2=.

以上是試題及解答，教學(xué)中僅僅照本宣科，不但試題的價(jià)值沒(méi)有完全挖掘出來(lái)，而且學(xué)生的學(xué)習(xí)也會(huì)倍感乏味.下面我們不妨將思維引向深入，感受解題的無(wú)窮魅力.

一、結(jié)論的橫向類(lèi)比

以美啟真是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一條重要途徑，圓錐曲線間有許多共同的或相似的性質(zhì)，從統(tǒng)一美的角度，我們發(fā)現(xiàn)雙曲線和拋物線也有類(lèi)似的結(jié)論.事實(shí)上，只需將以上條件和解答過(guò)程中的b2換成-b2就能得到雙曲線也有同樣的結(jié)論.

結(jié)論1：已知過(guò)雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交y軸于點(diǎn)M，且=λ1，=λ2，則λ1+λ2=.

結(jié)論2：已知過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交y軸于點(diǎn)M，=λ1，=λ2，則λ1+λ2=-1.

證明：同原題解答一樣，可得λ1+λ2=-2，設(shè)直線l：x=ty+，令x=0，得y=-，y0=-，將x=ty+代入y2=2px，得y2-2px-p2=0，于是y1+y2=2pt，y1·y2=-p2，因此λ1+λ2=-2=-1.

二、特殊到一般的拓展

從特殊到一般是數(shù)學(xué)上發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、創(chuàng)造新成果的重要途徑，也是高考命題的常用手法，如果將以上條件中的“直線l交y軸（即直線x=0）于點(diǎn)M改為“直線l交直線x=m于點(diǎn)M”，我們可以得到如下一般化的結(jié)論.

結(jié)論3：已知過(guò)橢圓C：+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交直線x=m于點(diǎn)M，且=λ1，=λ2，則λ1+λ2=.

證明：同原題解答一樣，可得λ1+λ2=-2，設(shè)直線l：x=ty+c，令x=m，得y=，即y0=.將直線l的方程代入橢圓方程+=1，整理得（b2t2+a2）y2+2b2cty+b2c2-a2b2=0，則y1+y2=-，y1y2=，因此λ1+λ2=.

結(jié)論4：已知過(guò)雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交直線x=m于點(diǎn)M，且=λ1，=λ2，則λ1+λ2=.

證明過(guò)程與橢圓一樣，限于篇幅，從略.

結(jié)論5：已知過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交直線x=m于點(diǎn)M，=λ1，=λ2，則λ1+λ2=.

證明：同原題解答一樣，可得λ1+λ2=-2，設(shè)直線l：x=ty+，令x=m，得y=，y0=.將l：x=ty+代入y2=2px，得y2-2ptx-p2=0，于是y1+y2=2pt，y1·y2=-p2，因此λ1+λ2=-.

三、一般到特殊的發(fā)現(xiàn)

對(duì)于結(jié)論4和結(jié)論5，細(xì)心的你會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果取m=-，此時(shí)直線x=m即為橢圓或雙曲線的準(zhǔn)線，此時(shí)顯然有λ1+λ2=0，于是有下面兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論6：已知過(guò)橢圓C：+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交直線x=-于點(diǎn)M，且=λ1，=λ2，則λ1+λ2=0.

結(jié)論7：已知過(guò)雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交直線x=-于點(diǎn)M，且=λ1，=λ2，則λ1+λ2=0.

對(duì)于結(jié)論5，若取m=-，則直線x=m為拋物線的準(zhǔn)線，顯然也有λ1+λ2=0，于是有下面的結(jié)論.

結(jié)論8：已知過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若直線l交直線x=-于點(diǎn)M，=λ1，=λ2，則λ1+λ2=0.

四、問(wèn)題的逆向思考

原題目中，如果將問(wèn)題的條件和結(jié)論互換，命題還成立嗎？答案是肯定的，結(jié)論如下，限于篇幅，證明從略.

結(jié)論9：已知直線l交橢圓+=1（a>b>0）于A，B兩點(diǎn)，交x軸、y軸于點(diǎn)N，M，已知=λ1，=λ2，若λ1+λ2=，則點(diǎn)N為橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0）.

開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)不但能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，激發(fā)學(xué)生的興趣，有時(shí)還會(huì)在高考中帶來(lái)意想不到的驚喜，如運(yùn)用結(jié)論8，我們能一眼看出2007年福建高考數(shù)學(xué)（理科）第20題第（2）問(wèn)的結(jié)果.

已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·=·.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值.

本文中，我們從特殊中拓展出了一般性的結(jié)論，又從一般性的結(jié)論中發(fā)現(xiàn)出特殊的規(guī)律，不但從正面思考了問(wèn)題，而且從反面得出了結(jié)論，這些都讓我們感受到數(shù)學(xué)探究的無(wú)窮樂(lè)趣.總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不要就題論題，要學(xué)會(huì)對(duì)試題進(jìn)行多視角、多層面的加工、拓展、探究，從縱向到橫向，從特殊到一般，從一般到特殊，從正面到反面，從知識(shí)到方法，以點(diǎn)帶面，以一當(dāng)十，讓自己“既看到樹(shù)木又見(jiàn)到森林”.