余繼光

一、18年高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)與研究

1995年高考數(shù)學(xué)命題中引入數(shù)學(xué)應(yīng)用題，這一舉動(dòng)影響著全國(guó)的基礎(chǔ)教育，尤其是高中數(shù)學(xué)教學(xué). 處在教學(xué)第一線的數(shù)學(xué)教師開始參與數(shù)學(xué)應(yīng)用題的編制與教學(xué)研究. 下面與同行談?wù)勎乙脖痪碓谄渲械慕?jīng)歷，以期共同探討研究.

（一）第一階段——課堂內(nèi)外引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐，教學(xué)之余編制數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題

1995～1999年，由于數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的需要，在數(shù)學(xué)教育專家引領(lǐng)下，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題編制與研究開始在全國(guó)各地興起. 許多中學(xué)數(shù)學(xué)雜志在此領(lǐng)域大量發(fā)表文章，尤其是《數(shù)學(xué)通訊》雜志集中報(bào)道數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的研究成果. 但是，在中學(xué)數(shù)學(xué)第一線，教師的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)意識(shí)都不強(qiáng)，教師數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的知識(shí)儲(chǔ)備也不足，再加上學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐知識(shí)欠缺，閱讀理解力的薄弱，面對(duì)高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生的應(yīng)試心理一般處于恐懼或放棄狀態(tài).

1.編制適合中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，研究中學(xué)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題

此時(shí)我開始潛心思考，從現(xiàn)實(shí)生活中尋找信息與資料，編制具有活生生現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，并發(fā)表在《數(shù)學(xué)通訊》等雜志上，還將編寫的數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類匯集，編著《用數(shù)學(xué)眼光看世界》一書. 如下面例題，在當(dāng)時(shí)起到較好的引導(dǎo)作用.

例1 為了提供更加優(yōu)質(zhì)的教育，增加大學(xué)生就業(yè)崗位，某地區(qū)準(zhǔn)備逐步實(shí)現(xiàn)小班化教育，將學(xué)生人均教室面積由1 m2提升至x（m2），x≤2，調(diào)整教師人均辦公室面積為

y=f（x）=4， 1≤x<1.5，

ax+b，1.5≤x≤2.

如圖1，

①確定a，b的值及函數(shù)f（x）值域；

②實(shí)行小班化，對(duì)教室改造投資中，投資額P（萬(wàn)元）與x之間的關(guān)系是P=exf（x），探求教室改造投資的最大值；

③對(duì)辦公室進(jìn)行改造的投資中，投資額Q（萬(wàn)元）與y之間的關(guān)系是Q=5y3-3cy2+180，c為正常數(shù)，探求辦公室改造投資的最小值及相應(yīng)c的范圍.

2.利用周末時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生開始數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐和實(shí)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)不僅可以通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)，還突出地表現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐中. 在周末組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐活動(dòng)，如利用簡(jiǎn)易工具測(cè)量鑒湖明珠電視塔高度以及與觀測(cè)點(diǎn)距離問(wèn)題. 學(xué)生不僅創(chuàng)造性實(shí)踐（多種測(cè)量方式），而且撰寫了2000字左右的實(shí)習(xí)報(bào)告，將實(shí)習(xí)過(guò)程、測(cè)量方法、測(cè)量所使用的數(shù)學(xué)原理、測(cè)量后所建立的數(shù)學(xué)模型，一一總結(jié)記錄，并寫下自己的實(shí)踐感想.

（二）第二階段——數(shù)學(xué)教學(xué)加大數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)力度，探究數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育功能

進(jìn)入新世紀(jì)，新的課程改革措施出臺(tái)，在以培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力為總目標(biāo)形勢(shì)下，中學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)有所加強(qiáng). 高考數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題分值不斷增大，數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題更加貼近學(xué)生的生活實(shí)際和認(rèn)知水平. 學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)開始充滿自信，各地高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的成績(jī)不斷提高. 在這一階段全國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)雜志上有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用的文章層出不窮，為各地中學(xué)教師開展數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)提供素材.

1.數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教育功能開發(fā)

數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的目的是提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐能力.開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育功能除了它對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深入理解外，讓學(xué)生通過(guò)一個(gè)個(gè)“活”的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，體會(huì)問(wèn)題背后所隱含的環(huán)境保護(hù)、再生資源利用、愛(ài)心感恩、資源利用最優(yōu)化等.

2.開設(shè)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題講座，普及中學(xué)數(shù)學(xué)建模方法

為了普及中學(xué)數(shù)學(xué)建模思想方法，除了課堂上的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)之外，利用課外活動(dòng)或研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)間開設(shè)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題講座，使數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)形成一個(gè)完整的體系，給中學(xué)生一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題全貌.

3.挖掘課堂教學(xué)案例，提升中學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)遇到一些不可多得的智慧火花，開發(fā)它，會(huì)引發(fā)無(wú)限的創(chuàng)造力.

例2 利用正方體框圖，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)面數(shù)大于6的多面體.畫出你設(shè)計(jì)的多面體的直觀圖，數(shù)一數(shù)它們有多少棱、多少個(gè)面、多少個(gè)頂點(diǎn).

這個(gè)開放性作業(yè)布置后的第二天上課時(shí)，有一位同學(xué)拿著一個(gè)正方體鐵絲骨架模型，如圖2，其中六條面對(duì)角線是用橡皮筋連接的，一位同學(xué)將一對(duì)面對(duì)角線橡皮筋向外拉，然后問(wèn)其他同學(xué)，這是不是一個(gè)多面體？如圖3，一位同學(xué)說(shuō)這個(gè)多面體形成一個(gè)12面體. 接著，另一位同學(xué)伸出手將另一對(duì)面對(duì)角線橡皮筋向外拉，“認(rèn)為”形成一個(gè)18面體.第三位同學(xué)將最后一對(duì)面對(duì)角線橡皮筋向外拉，“認(rèn)為”形成一個(gè)24面體.在四位同學(xué)的共同合作下，一個(gè)生動(dòng)的多面體誕生了.面對(duì)課堂教學(xué)中瞬間發(fā)生的信息，教師用敏銳的眼光發(fā)現(xiàn)其中的問(wèn)題并加以開發(fā)，不僅與歐拉公式發(fā)生聯(lián)系，而且總結(jié)其中的數(shù)學(xué)模型.

（三）第三階段——開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

2003年新課程改革起步，新課程標(biāo)準(zhǔn)制定并公布，2004年在廣東、海南、山東、寧夏新課程教材進(jìn)入高中課堂，各地編寫的新課程教材紛紛出版，新課程數(shù)學(xué)教材中最明顯的特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題比原教材增加了許多，高考中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用題的情境來(lái)自于生活，深入挖掘出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，最有代表性的就是處在二期課改前線的上海，開發(fā)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題給人們呈現(xiàn)出的情境新穎，其數(shù)學(xué)內(nèi)涵豐富.

1.關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用建模能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素質(zhì)

中學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題有二類：第一類，經(jīng)過(guò)精加工后的貼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的“準(zhǔn)”數(shù)學(xué)應(yīng)用題；第二類，經(jīng)過(guò)粗加工的貼近實(shí)際的“真”數(shù)學(xué)應(yīng)用題. “好”的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題層出不窮，面對(duì)如此好的問(wèn)題.把數(shù)學(xué)應(yīng)用建模思想方法滲透在教學(xué)之中，充分挖掘問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，把這一過(guò)程成為養(yǎng)育中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素質(zhì)的重要途徑.

例3 以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖4，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間[0，1]對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后（坐標(biāo)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成1個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一過(guò)程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來(lái)的坐標(biāo)，變成，原來(lái)的坐標(biāo)變成1等）.那么原閉區(qū)間[0，1]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是 ；原閉區(qū)間[0，1]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 .

理解突破：

“均勻地拉”——保證這是一個(gè)有規(guī)律的數(shù)學(xué)變換——伸縮變換；

“一次操作”—— 一次變換所呈現(xiàn)的結(jié)果：原來(lái)的變到1；原來(lái)的，變到；

第2次操作——第1次操作后由原來(lái)的，，變到第2次操作前的；第2次操作后的1；

第3次操作——第1次操作后由原來(lái)的，，，變到第2次操作前的，，第2次操作后變到；第3次操作后變到1；照此下去，……；

第n次操作——第1次操作后由原來(lái)的，，…，，變到第2次操作前的，…，，第2次操作后變到，…，；…，第n-1次操作前的，，第n-1操作后的；第n次操作后變到1；

因此第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是，；原閉區(qū)間[0，1]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，，…，，，即，j為[1，2n]中的所有奇數(shù).

看到此問(wèn)題情境，不由聯(lián)想起古人“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的精美概括；聯(lián)想到精美的楊輝三角，那么此問(wèn)題能否概括為“一尺之面，對(duì)折其拉，萬(wàn)絲不斷”？生活中的“拉面”場(chǎng)景，抽象為一種數(shù)學(xué)伸縮變換過(guò)程，檢測(cè)學(xué)生的對(duì)應(yīng)、變換、數(shù)列知識(shí)以及邏輯思維能力，此問(wèn)題給我們的一個(gè)重要啟示是：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看世界，去發(fā)現(xiàn)生活中的司空見慣的現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，去探索或總結(jié)其數(shù)學(xué)模型，去揭示實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

2.關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從實(shí)際問(wèn)題中挖掘數(shù)學(xué)模型

例4 如圖5，一位花布設(shè)計(jì)師在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中設(shè)計(jì)圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，以b（0≤b≤3）為半徑畫圓，由正方形內(nèi)的圓弧與正方形邊上的線段構(gòu)成了豐富多彩的圖形，則這些圖形中實(shí)線部分總長(zhǎng)度的最大值為 ，最小值為 .

理解突破：L=2bπ+4（3-2b）， 0

≤，

2bπ+4（2b-3），

即L=2bπ-8b+12， 0

≤，

2bπ+8b-12，

當(dāng)b=1.5時(shí)，L達(dá)到最小值3π，當(dāng)b=3時(shí)，L達(dá)到最大值6π+12.

花布圖案設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的工作，但抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型是簡(jiǎn)潔而美麗的，由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生許多豐富的圖案：

學(xué)生面對(duì)如此問(wèn)題時(shí)，一方面要學(xué)會(huì)從“數(shù)”角度思考，寫出長(zhǎng)度的分段函數(shù)，而后求出其最大值與最小值；另一方面也應(yīng)學(xué)會(huì)從“形”角度思考，發(fā)現(xiàn)其最值點(diǎn)和最值. 但不論是哪一個(gè)思路，都需要學(xué)生在“運(yùn)動(dòng)”著的圖案中發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì)，為今后的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力打下基礎(chǔ)，這正是新課程改革的教育理念之一.

二、近20年來(lái)我國(guó)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的反思

近20年來(lái)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)重視程度不同，特別在高考單獨(dú)命題省份. 數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般都有一大一小或一大二小. 尤其是上海進(jìn)行二期課改，關(guān)注數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)的氛圍比較濃. 高考數(shù)學(xué)命題中數(shù)學(xué)應(yīng)用題情境新穎、充分挖掘?qū)嶋H問(wèn)題中的數(shù)學(xué)本質(zhì). 但是許多省份的單獨(dú)命題中，除了概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用題外，幾乎不涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題.

（一）數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)際應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)不明確

不論是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還是考試要求對(duì)應(yīng)用意識(shí)都有明確的說(shuō)明：“能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能理解對(duì)問(wèn)題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表達(dá)和說(shuō)明，主要過(guò)程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決.”實(shí)事求是地說(shuō)，這一目標(biāo)要求是比較高的.它至少包括了下列目標(biāo)：

一是“用”數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，即通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看世界的方法，求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力，探究數(shù)學(xué)概念與方法的來(lái)龍去脈與實(shí)際背景的能力；

二是數(shù)學(xué)建模能力，為相關(guān)學(xué)科中涉及數(shù)學(xué)建模或進(jìn)一步學(xué)習(xí)中涉及數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；

三是數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流能力，即通過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)方式來(lái)培養(yǎng)這一能力；

四是數(shù)據(jù)處理能力，在學(xué)習(xí)概率、統(tǒng)計(jì)、算法、金融數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)中所訓(xùn)練的能力.

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)中的功利意識(shí)太強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)冷熱不均，反復(fù)無(wú)常

1995年以來(lái)，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)意識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)由冷加熱，熱中保溫，溫度下降的過(guò)程. 教師在不同教學(xué)思潮的影響下，缺乏從整體上認(rèn)識(shí)它的功能與素質(zhì)教育要求. 因此一會(huì)兒重視，一會(huì)兒放棄，表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)教材處理上，有關(guān)“實(shí)習(xí)作業(yè)”“章引言與章頭圖”“探究與發(fā)現(xiàn)”“閱讀思考”等內(nèi)容都忽略不去涉及，截頭去尾只講一些與“高考應(yīng)試”有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.課堂上對(duì)數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈不加研究，不介紹，導(dǎo)致學(xué)生只能了解一些數(shù)學(xué)解題方法，不理解數(shù)學(xué)概念.由于社會(huì)文化中功利意識(shí)的影響，在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)中，如果與高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題型相關(guān)，就花大量時(shí)間或精力去訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)試能力；如果與高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題型無(wú)關(guān)，就一帶而過(guò)，或者是避而不講.這樣導(dǎo)致中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力仍是一個(gè)盲點(diǎn).

（三）新的課程改革促使數(shù)學(xué)應(yīng)用再掀高潮

2012年起，浙江省在全省范圍內(nèi)進(jìn)行大規(guī)模的課程改革，增大選修課程的學(xué)分，以數(shù)學(xué)建模為核心的數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)研究在浙江大地展開，2014年浙江高考數(shù)學(xué)中，一道閃亮的應(yīng)用題誕生，可以預(yù)見數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教與學(xué)會(huì)再掀高潮！

例5 某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的A點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練. 已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°， 則tanθ的最大值 .（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

審題：為求一個(gè)直線與平面所成角，第一步找射影，于是過(guò)P作PP1⊥BC交BC于P1，連結(jié)AP1；第二步，計(jì)算比值，問(wèn)題的關(guān)鍵是AP1，PP1與誰(shuí)有關(guān)系？第三步，找自變量BP1=x，因?yàn)锳P1，PP1都隨著P的運(yùn)動(dòng)而變，導(dǎo)致P的射影P1在動(dòng)，而此時(shí)溝通它們之間的關(guān)鍵量是BP1，經(jīng)過(guò)這三步就可以建立起數(shù)學(xué)模型.