姚根紅+施剛良

“整體”與“局部”是一對哲學(xué)范疇的概念. 整體是由各個(gè)局部構(gòu)成的，但并非各個(gè)局部的簡單相加，它表現(xiàn)出局部所不具有的優(yōu)越性.局部是整體的一部分，它有時(shí)會(huì)影響整體，甚至還起到?jīng)Q定性的作用.整體思想在數(shù)學(xué)解題中非常重要，它使得我們在具體的解題過程中能不糾纏于“細(xì)枝末節(jié)”，達(dá)到“直搗黃龍”的境地，能使我們清楚地“看到”問題的本質(zhì)，讓人感到有種“居高臨下”的感覺.

一、整體思想在函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用

函數(shù)零點(diǎn)問題一般都用零點(diǎn)分布定理，并結(jié)合分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想加以解決.這樣的處理體現(xiàn)出解題的通性、通法，但解決過程有時(shí)會(huì)變得非常煩瑣，看不到問題的本質(zhì).如果能借助于整體思想，那就使我們在解題時(shí)“既見樹木，又見森林”了.

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+b在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：0≤a+b≤2.

一般性解法：利用零點(diǎn)的分布問題加以討論，可以得到有關(guān)a，b的不等式組，然后再利用線性規(guī)劃的知識(shí).盡管能將結(jié)果求出來，但計(jì)算量大，一不小心就會(huì)求錯(cuò).這種解法是從“局部”入手，題目的意思被分解得很細(xì)，顯得很程序化，策略性的東西沒有體現(xiàn)出來，沒有表現(xiàn)出一定的思維含量.如果我們從“整體”的角度加以求解，則又將會(huì)是另一番情境.

另解：設(shè)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2∈[1，2]，則f（x）=x2+2ax+b=（x-x1）（x-x2），由題意知：要求a+b的范圍，故可以先整體地將它表達(dá)出來，于是令x=，則+a+b=f（）=

-x1

-x2，即a+b=x1-

·x2

--.由于x1，x2∈[1，2]，即知x1-

x2

-∈[，]，所以0≤a+b≤2.

評(píng)注：上面的另解沒有在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，而是采用“設(shè)而不求，整體代換”的思想，關(guān)鍵是理解了零點(diǎn)與根的關(guān)系，計(jì)算過程顯得簡潔. 此題還可以作如下的變式：已知函數(shù)f（x）=x3+2ax+b在[1，2]上有三個(gè)零點(diǎn)，證明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就會(huì)顯得非常煩瑣，讓人“望而卻步”，但如果采用另解的思想就能輕松地加以解決，由此可見從“整體”上切入問題的重要性.

利用上面的解題思想方法，我們可以很容易解2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽第19題： 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a2+b2的最小值.

解： 由題意，設(shè)t為二次函數(shù)在[3，4]上的零點(diǎn)，則有at2+（2b+1）t-a-2=0，將它變形為（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因?yàn)間（t）=t-2+，t∈[3，4]是減函數(shù)，上式在t=3，a=-，b=-時(shí)取等號(hào)，故a2+b2的最小值為.類似的題目還有：已知a，b∈R，關(guān)于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個(gè)實(shí)根，求a2+b2的最小值. 此題留給讀者思考.

二、整體思想在函數(shù)極值問題中的應(yīng)用

一般在處理函數(shù)極值問題時(shí)，都是先對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究其單調(diào)性，這是從局部來處理函數(shù)極值問題的通性、通法.如果能對問題先進(jìn)行處理，再利用整體思想和數(shù)形結(jié)合的思想，使得“圖形一見，答案出現(xiàn)”，從函數(shù)的圖象來整體地把握函數(shù)的極值問題，就會(huì)達(dá)到事半功倍之效.

例2 max{x3+2x+t，x≤1}= .

一般性解法：設(shè)f（x）=x3+2x+t，x≤1，再對f（x）求導(dǎo)，求出f（x）的極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后將極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值取絕對值比較大小后，求出最大值，這要涉及分類討論，計(jì)算過程比較煩瑣.

另解：注意到y(tǒng)=x3+2x在x≤1上是奇函數(shù)，所以，y∈[-3，3]，于是，要求 max{x3+2x+t，x≤1}，只要求max{y+t，y≤3}即可，由絕對值的幾何意義（如圖1）即知：max{y+t，y≤3}=t+3.

評(píng)注：此題改編于2008年浙江高考數(shù)學(xué)（理科）卷第15題：已知max{x2-2x-t，0≤x≤3}=2，則t= .同樣，此高考題采用整體的思想加以解決的話，口算就可以，根本就不需要?jiǎng)庸P.這也體現(xiàn)高考試題考查學(xué)生“少算多想”的理念.

例3 已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2），則

A.當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在x=1處取到極小值

B.當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在x=1處取到極大值

C.當(dāng)k=2時(shí)，f（x）在x=1處取到極小值

D.當(dāng)k=2時(shí)，f（x）在x=1處取到極大值

一般性解法：學(xué)生往往不假思索，先對f（x）求導(dǎo)，然后再畫圖象，這是一種通性通法.雖然也可以將圖象畫出來，但這樣做有點(diǎn)“小題大做”.

另解：可以通過畫草圖（見圖2），此題的關(guān)鍵點(diǎn)就是點(diǎn)（1，0），這是由函數(shù)解析式f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2）所決定的.

評(píng)注：上述問題的解決過程能有效地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)、整體和局部地看問題的意識(shí).筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，這道試題有一定的背景，即2010年浙江高考數(shù)學(xué)（理科）卷第22題第1小題：已知a是給定的實(shí)常數(shù).設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2（x+b）ek，b∈R，x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn).（1）求b的取值范圍.（2）略.

另一背景即2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽第9題：設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2（x-2）3（x-3）4，則函數(shù)y=f（x）的極大值點(diǎn)為（ ）

A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. x=3

上述兩個(gè)題目都可以采用整體和局部的思想加以解決，同時(shí)也體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合在研究問題中的作用.

三、整體思想在函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

有關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，我們往往都是直接對函數(shù)“強(qiáng)制求導(dǎo)”，這是我們解題屢試不爽的“利器”.但有時(shí)我們可以反其道而行之，不求導(dǎo)而對函數(shù)求積分，利用積分思想從整體上去把握函數(shù)的特征，這能凸現(xiàn)我們的高觀點(diǎn).

例4 已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.（1）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，①函數(shù)f（x）的最大值為2a-b+a；②f（x）+2a-b+a≥0.（2）略.

一般性解法：學(xué)生碰到此類函數(shù)問題，先對函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b求導(dǎo)，然后分類討論求極值，再通過與f（0），f（1）比較大小來解決問題.這樣做會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜的計(jì)算.

另解：①證明：由于f"（x）=24ax>0，故由函數(shù)的凹凸性知：f（x）max=max{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.

②由題意，函數(shù)f（x）在[0，1]上與坐標(biāo)軸圍成的面積為：f（x）dx=0.設(shè)折線A-C-B對應(yīng)的函數(shù)為g（x），由于函數(shù)f（x）在[0，1]上為凹函數(shù)，故x∈[0，1]時(shí)，g（x）≥f（x）.于是，g（x）dx≥f（x）dx=0，即知g（x）在[0，1]上與坐標(biāo)軸圍成的面積為大于等于0，我們有此可以得到：f（x）max≥f（x）min.若不然，即f（x）maxS△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（x）在[0，1]上與坐標(biāo)軸圍成的面積：

g（x）dx=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，這與g（x）dx≥f（x）dx=0矛盾.

因此，由f（x）max≥f（x）min，知f（x）+2a-b+a≥f（x）min+f（x）max≥f（x）min+f（x）min≥0.

評(píng)注：第②題一般采用導(dǎo)函數(shù)法，但我們反其道而行之，不用求導(dǎo)，反而用積分的思想加以解決.事實(shí)上，根據(jù)高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)局部性質(zhì)的一個(gè)“利器”，但要研究整體的性質(zhì)非借助于積分不可.所以，我們借助于積分的思想，能在整體上清楚地看到解決第②題的關(guān)鍵：f（x）max≥f（x）min，此題的本質(zhì)顯得非常直觀、簡單，論證過程自然流暢、一氣呵成.我們被這樣精美的構(gòu)思、奇妙的解法、鮮明的本質(zhì)所深深地震撼，真正由衷地感嘆命題者的“觀點(diǎn)之高”和試題命制的意義所在.

杜甫“望岳”中有兩句詩：會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小.這兩句詩不僅表達(dá)了詩人俯視一切的雄心和氣概，同時(shí)還很好地刻畫了整體地看待事物的意境，更加凸現(xiàn)泰山高大巍峨的氣勢，使得詩人登高望遠(yuǎn)，眼前景色一覽無余，給人一種心曠神怡的感覺.所以，我們在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)該首先關(guān)注題目的整體結(jié)構(gòu)，這樣有助于我們把握解題的大方向，使得我們能“看到”問題的本質(zhì).然后，再從局部入手.由此可見，整體的思想方法就像一個(gè)“指南針”，它指引著我們解題的方向，使得我們不至于被細(xì)節(jié)迷失方向.