王 芳，趙捍東，曹紅松，張建鋒

(1.中北大學(xué) 機電工程學(xué)院，山西 太原 030051;2.中國人民解放軍75753 部隊，廣東 廣州 510600)

0 引言

彈道跟蹤技術(shù)是對火炮和火箭彈道進行觀測、評估、校射的關(guān)鍵.但實際使用情況是，由于觀測設(shè)備本身的誤差和其他隨機因素的影響，使得測量到的飛行數(shù)據(jù)與當前真實的飛行數(shù)據(jù)并不完全相符［1-2］.為了對彈道進行準確的跟蹤，就需要對當前的觀測值進行相應(yīng)的濾波處理.劉也和徐明友［2-3］采用了卡爾曼濾波算法進行了彈道的跟蹤，但其跟蹤模型均建立在離散線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，而且未考慮復(fù)雜噪聲的影響.文獻［4-8］提出了一種基于粒子濾波的目標跟蹤方法，但對可能發(fā)生的粒子貧乏問題卻未做改進，且均是討論在二維彈道上進行跟蹤，而隨著采樣次數(shù)的增加，粒子貧乏將會極大地影響跟蹤效果.為此本文提出一種基于改進型粒子濾波的彈道目標跟蹤預(yù)測方法.

1 粒子濾波原理

粒子濾波是一種新興的非線性濾波算法［4］，其進行濾波實現(xiàn)的基本思路是:首先依據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)向量的經(jīng)驗條件分布，在狀態(tài)空間內(nèi)生產(chǎn)隨機樣本集合，則這些樣本就被稱為粒子;然后根據(jù)觀測值不斷地修正“粒子”的權(quán)重和位置，即樣本的比重和樣本值;再通過調(diào)整后的“粒子”的信息，修正最初的經(jīng)驗條件分布.事實證明，當樣本數(shù)足夠大時，這種估計就無限接近于真實后驗概率密度［8-9］.直觀地說，就是尋找一組在狀態(tài)空間中傳播的隨機樣本對樣本對應(yīng)的概率密度函數(shù)p(xk|zk)進行近似，從而獲得狀態(tài)的最小方差估計.其使用范圍不限于線性系統(tǒng)和高斯噪聲環(huán)境，因此該方法廣泛應(yīng)用于自動控制、導(dǎo)航、制導(dǎo)等領(lǐng)域.

對于彈道跟蹤與預(yù)測問題，不失一般性，假設(shè)觀測系統(tǒng)的非線性狀態(tài)系統(tǒng)為

式中:xt表示t 時刻的狀態(tài)量;yt表示t 時刻的觀測量;ft，ht表示t 時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和觀測函數(shù);vt，nt表示t 時刻的狀態(tài)噪聲和觀測噪聲向量.假設(shè)狀態(tài)的初始概率密度函數(shù)p(x0|y0)=p(x0)為已知，那么狀態(tài)的預(yù)測量就可以經(jīng)貝葉斯遞推表達為

狀態(tài)量的觀測更新為

式中:y1∶t={y1，y2，…，yt}.

顯然，式(2)～(4)中的積分運算會給解算帶來諸多不便，不利于實現(xiàn)p(x0∶t|y0∶t)的遞推，為此粒子濾波引入了Monte Carlo 積分方法［10-12］.假設(shè)采集到N 個獨立分布的樣本，那么狀態(tài)的后驗概率可近似地表示為

根據(jù)大數(shù)定律可以證明，當粒子數(shù)和采樣頻率足夠大時，通過蒙特卡洛積分方法獲得的估計量，可以無限逼真實狀態(tài).由于目標密度函數(shù)p(x)實際上往往比較復(fù)雜，所以從中獲取粒子權(quán)值是比較難實現(xiàn)的，于是工程中常使用重要性密度函數(shù)進行采樣，可將這個重要性密度函數(shù)表達為q(x0∶t|y1∶t)，并且q(x0∶t|y1∶t)需包含p(x0∶t|y1∶t)所有的支承點集.重要性密度函數(shù)的求取方法為［8-9］

式中:w 表示對應(yīng)于樣本的權(quán)值.

同時定義

從而可以得到狀態(tài)的估計值為

從上述可以看出，粒子濾波過程沒有噪聲為高斯噪聲的限制，因此其應(yīng)用范圍得到了很大的擴展，為復(fù)雜噪聲條件下的彈道目標跟蹤提供了一種手段.

2 跟蹤預(yù)測模型

在飛行過程中，彈丸的動力學(xué)模型具有典型的非線性特征，受到諸多空氣動力的作用，運動情況復(fù)雜［3］，雷達的跟蹤角度無法做到完全精確，同時雷達觀測信號具有厚尾噪聲和隨機噪聲.在基于貝葉斯概率濾波的框架下，飛行跟蹤問題可以轉(zhuǎn)化為最大后驗概率估計的過程，易知飛行跟蹤問題符合馬爾可夫過程，即認為僅有前一時刻的狀態(tài)量對當前狀態(tài)量有影響.

首先需要對飛行過程建立離散的空間狀態(tài)模型，結(jié)合空氣動力學(xué)，取狀態(tài)變量

式中:Xt為t 時刻的狀態(tài)變量;分別為t 時刻沿三個垂直方向的位置分量、速度分量和阻力系數(shù).令

那么式(1)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可轉(zhuǎn)化為

式中:T 為采樣間隔.跟蹤的觀測量為雷達數(shù)據(jù)中的向徑r，方向角β，高低角ε 三個量［3］，如圖1 所示.

圖1 地面觀測彈丸示意圖Fig.1 Schematic of ground observation projectile

結(jié)合圖1 中所示的雷達觀測位置，可得觀測向量與狀態(tài)向量表達方式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

那么觀測模型就可以表達為離散形式

建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型和觀測模型之后，即可初始化采樣粒子.根據(jù)式(13)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)獲得初步預(yù)測的概率密度，而后根據(jù)式(15)獲得似然函數(shù).通過觀測值，根據(jù)式(3)修正先驗信息，獲得相應(yīng)的后驗概率，即進行后驗估計.每觀測一次，即可進行一次遞推，其實質(zhì)就是在得到觀測向量yt以后估算狀態(tài)向量xt的相應(yīng)值，即得到式(10)的值.

3 重采樣改進

經(jīng)典粒子濾波算法的重采樣過程為SIS 過程，而SIS 采樣算法將導(dǎo)致粒子貧乏，即描述真實狀態(tài)的粒子在多步采樣后多樣性逐漸變差，這對于準確跟蹤是非常不利的.在粒子重采樣的過程中保持粒子的多樣性，是進行準確跟蹤的關(guān)鍵，為此很多學(xué)者提出了多種改進方案［13-14］.為了獲得準確的跟蹤精度，本文采用了基于粒子群優(yōu)化的方法來優(yōu)化重采樣過程的方法.粒子群優(yōu)化的基本原理為

式中:wmax表示初始權(quán)重;wmin表示最終權(quán)重;k 表示當前迭代次數(shù);kmax表示最大迭代次數(shù).將此方法用于粒子濾波重采樣時，其目的在于使得粒子運動到真實位置附近，則這些粒子就可以認為是濾波中采集的樣本，即粒子.而粒子的當前位置就可以認為是各采樣樣本當前狀態(tài)量的值，即

可以認為其為一多維向量，而找到的最優(yōu)“位置”即為對向量中的元素的最優(yōu)解.事實上，任何一種算法都不是完美的，粒子群算法有著對環(huán)境不敏感、易早熟等問題［15-16］.為了利用粒子群算法的優(yōu)點，且避開其典型缺陷，本文使用種群小生境粒子群算法，并對式(5)做了如下改進:

式中:pbest 表示自身極值;gbest 表示全局極值;η 表示最大搜索范圍;其他符號與式(5)中相同.

為了度量種群的進化程度，定義如下式子:

式中:f 表示第k 次迭代時的最優(yōu)粒子適應(yīng)度;Rk表示第k 步的濾波方差;ynew表示觀測量的新的觀測值;ypred表示觀測量的預(yù)測值.同時定義一個大于0 的數(shù)ε，則當f ＞ε 時表示此種群正在進化，否則表示此種群已經(jīng)成熟，并取出最優(yōu)個體.那么當改進的粒子群算法用于優(yōu)化重采樣時，其基本思想為:首先初始化權(quán)值閾值信息作為粒子群的初始值，對初始值按照式(19)進行迭代計算，并計算出每個粒子的自身最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置，然后逐次迭代，直到得出最優(yōu)的權(quán)值和閾值，即取出最優(yōu)個體，那么最優(yōu)粒子即是最接近真實狀態(tài)的樣本量.小生境粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化樣本(粒子)重采樣過程的流程如圖2 所示.

圖2 粒子群優(yōu)化粒子濾波算法流程圖Fig.2 PSO optimization particle algorithm flowchart

4 仿 真

為了驗證本文方法的有效性，對某型155 mm彈丸的彈道進行了跟蹤仿真，在初速930 m/s，射角50° 的一條彈道加入由高斯噪聲和厚尾噪聲構(gòu)成的復(fù)雜噪聲，噪聲均值為0，方差為20，最小值為0，最大值為75，僅對彈道的位置量加入噪聲.從彈丸飛行高度為1 000 m 時開始跟蹤彈道數(shù)據(jù)，飛行至彈丸高度為10 000 m 時結(jié)束跟蹤，每0.5 s采集一次飛行數(shù)據(jù).分別采用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波方法和本文提出的粒子群優(yōu)化粒子濾波算法進行彈道跟蹤.統(tǒng)計真實彈道和加入噪聲后的觀測彈道，以及基于卡爾曼濾波的跟蹤彈道和基于本文方法的跟蹤彈道，并對彈丸位置的跟蹤效果進行比較，如圖3 所示.

分別對兩種算法在彈道目標跟蹤時得到的位置誤差進行統(tǒng)計，并與觀測誤差進行比較，如圖4所示.從圖4 中可以看出，基于卡爾曼濾波的跟蹤效果與觀測噪聲相比有很大程度的改善，但濾波后依然有較大的誤差存在.基于本文方法的跟蹤精度比卡爾曼濾波方法提高了50%左右.

圖3 全彈道范圍跟蹤效果Fig.3 The whole ballistic tracking result

圖4 彈道跟蹤位置誤差統(tǒng)計Fig.4 The position error statistic of whole ballistic tracking

除了位置跟蹤外，速度跟蹤和加速度跟蹤是彈道跟蹤的重要內(nèi)容，其實質(zhì)即為在濾波得到彈丸位置數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過對時間的求導(dǎo)，獲得速度信息和加速度信息.統(tǒng)計兩種方法對速度和加速度的跟蹤效果，如圖5 和圖6 所示.

圖5 彈道跟蹤速度誤差統(tǒng)計Fig.5 Ballistic tracking error statistic of velocity

從圖4～圖6 可以看出，在復(fù)雜噪聲的情況下，卡爾曼濾波方法雖然可以在很大程度上減小噪聲的影響，但總的濾波效果有限.而本文提出的PSO 粒子濾波方法可以有效地抑制復(fù)雜噪聲的影響，經(jīng)過PSO 粒子濾波處理，位置誤差的均方差下降到3 m，速度誤差的均方差下降到2 m/s，加速度誤差總體下降到0.1 m/s2以內(nèi).

圖6 彈道跟蹤加速度誤差Fig.6 Ballistic tracking error of acceleration

5 結(jié)束語

為了在觀測設(shè)備具有復(fù)雜噪聲的情況下獲得良好的彈道跟蹤效果，本文提出了一種基于小生境粒子群優(yōu)化粒子濾波的彈道目標跟蹤方法.通過粒子群優(yōu)化粒子濾波的重采樣過程，獲得了較高精度的當前狀態(tài)值.仿真結(jié)果表明:PSO 粒子濾波的彈道目標跟蹤精度優(yōu)于經(jīng)典卡爾曼濾波，在此基礎(chǔ)上對速度和加速度的跟蹤效果也均優(yōu)于卡爾曼濾波方法，為復(fù)雜噪聲條件下彈道跟蹤的實際應(yīng)用提供了一種參考.

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