李國平，楊風(fēng)暴，吉琳娜，王肖霞

(1.中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，山西 太原030051 ;2.中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引言

可能性理論是由美國著名控制論專家L.A.Zadeh 于1978年提出的，它可以描述模糊性和認(rèn)知不確定性，以及能量化不確定性［1］.可能性分布是可能性理論中的一個(gè)重要概念，它在可能性理論中的作用如同概率分布在概率論中的作用一樣.用可能性分布構(gòu)造自然語言表示的命題和概念，從而可對它們進(jìn)行定量分析.因此，可能性分布的構(gòu)造會(huì)直接影響到可靠性分析，產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化等的結(jié)果.可能性分布的構(gòu)造方法文獻(xiàn)中常見的是利用構(gòu)造隸屬函數(shù)的方法直接生成相應(yīng)的可能性分布函數(shù)［2-3］，也有用概率/可能性相容原理利用概率分布轉(zhuǎn)換為可能性分布［4-9］.文獻(xiàn)［10］利用線性回歸得到了梯形模糊數(shù);文獻(xiàn)［11］通過乘冪型分布構(gòu)造了基于庫水位的壩體安全等級的可能性分布;文獻(xiàn)［12］介紹了基于可能性中值的可能性分布構(gòu)造方法;文獻(xiàn)［13］詳細(xì)描述了三角形和梯形可能性分布的具體情況.

在實(shí)際問題中，由于許多可能性分布規(guī)律符合線性回歸模型，且可能性分布一般描述一個(gè)自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系，故本文基于一元線性回歸構(gòu)造可能性分布.若多個(gè)自變量同時(shí)影響因變量時(shí)，可將多元轉(zhuǎn)化為一元來考慮，因?yàn)橐辉€性回歸模型比多元線性回歸模型更容易建立，且計(jì)算復(fù)雜度低，在實(shí)際問題中更具普適性.然而，并非所有變量之間的關(guān)系都是線性的，若問題中觀測值的散點(diǎn)圖大致呈某一曲線，又存在某種變換，可將該曲線轉(zhuǎn)換成直線，就可以選擇該變換將具有約束條件的非線性回歸問題轉(zhuǎn)換成線性回歸問題［14］，從而利用線性回歸的一些結(jié)果來解決這一問題.

1 基于一元線性回歸的可能性分布構(gòu)造

可能性分布的構(gòu)造方法有很多，本文針對近似服從一條直線或曲線的一系列離散數(shù)據(jù)，通過一元線性回歸構(gòu)造這類數(shù)據(jù)的可能性分布.

回歸分析就是建立變量間相關(guān)關(guān)系的具體的數(shù)學(xué)表達(dá)形式.在一元線性回歸分析中，通?？紤]兩個(gè)變量:一個(gè)是自變量x，另一個(gè)是因變量y.對給定的x 值，y 值不能事先確定，故y 是隨機(jī)變量，具有不確定性.

1.1 一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)及線性回歸效果的顯著性檢驗(yàn)

假設(shè)y 與x 有如下的相關(guān)關(guān)系:

式中:a，b 為常數(shù);ε 是一個(gè)隨機(jī)變量且服從正態(tài)分布N(0，σ2)，即ε～N(0，σ2).

式(1)稱為一元線性回歸模型.當(dāng)x 取固定數(shù)值時(shí)，y～N(a+bx，σ2)，y 的數(shù)學(xué)期望為E(y)=a+bx，回歸方程為

稱此方程為y 關(guān)于x 的回歸直線方程，它反映出了E(y)隨x 變化的規(guī)律.

這里，a 和b 的最小二乘估計(jì)為

σ2的無偏估計(jì)量

在前面的討論中，假設(shè)y 關(guān)于x 的回歸為x的線性函數(shù)，然而在實(shí)際應(yīng)用中還需通過實(shí)踐來回答回歸方程所描述變量之間關(guān)系的合理性，也可用統(tǒng)計(jì)方法對回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn).常用的有t檢驗(yàn)法，F(xiàn) 檢驗(yàn)法和r 檢驗(yàn)法，而且這三種檢驗(yàn)的結(jié)果是完全一致的［14］.在實(shí)際的顯著性檢驗(yàn)中，任取一種加以應(yīng)用即可.

1.2 幾種常見的非線性模型及其線性化的方法

在實(shí)際問題中，有許多回歸模型中的自變量和因變量的關(guān)系并非是線性的，但因變量或因變量的轉(zhuǎn)換形式與某些未知參數(shù)的關(guān)系卻是線性的，可通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將非線性模型轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型.幾種常見的非線性模型及其線性化方法如表1 所示.

表1 幾種常見的非線性模型及其線性化方法Tab.1 Several kinds of common nonlinear model and its linearization method

1.3 具體構(gòu)造方法

基于一元線性回歸的可能性分布構(gòu)造的具體步驟如下:

1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.

2)根據(jù)散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的分布特點(diǎn)，從表1 幾種模型中選出最佳模型.

3)利用最小二乘法估計(jì)最佳模型中的未知參數(shù)，進(jìn)而求出回歸方程.

4)利用上面提到的檢驗(yàn)法對回歸方程中的參數(shù)進(jìn)行回歸效果的顯著性檢驗(yàn).

5)將回歸方程轉(zhuǎn)化為可能性分布函數(shù).

2 實(shí)例分析

2.1 利用一元線性回歸構(gòu)造可能性分布實(shí)例分析

設(shè)論域X=［0，100］，在X 上定義一個(gè)“年老”的模糊集A，由于人們對“年老”的理解不一樣，因此選擇不同層次的人進(jìn)行問卷調(diào)查.在說明“年老”的含義后，請他們填調(diào)查表.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示:不大于50 歲不是年老，大于70 歲人們才會(huì)認(rèn)為是“年老”，而區(qū)間［51，70］則是年齡的一個(gè)過渡期［15］.人們認(rèn)為“年老”的可能性程度如表2所示，試求“年老”的可能性分布函數(shù).

表2 年齡［51-70］歲屬于“年老”的可能性程度Tab.2 Possibility degrees of age［51-70］belonging to the“old”

由表2 所給的數(shù)據(jù)，可在二維直角坐標(biāo)系中畫出一個(gè)散點(diǎn)圖，如圖1 所示.

圖1 年齡［51-70］歲屬于“年老”的可能性程度散點(diǎn)圖Fig.1 Scatter plot of possibility degrees of age［51-70］belonging to the“old”

由散點(diǎn)圖可以看出，數(shù)據(jù)觀測點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并圍繞直線上下波動(dòng)，具有不確定性，這表明y 與x 之間存在一種線性關(guān)系.為此，可設(shè)由此可以建立y 對 x 的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程=-2.524 3 +0.050 4x.實(shí)際上，所謂經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程，就是一條在最小二乘意義下擬合這些觀測數(shù)據(jù)的最優(yōu)直線.圖1 給出了原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)所擬合的直線.

下面用t 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)上例中的回歸效果是否顯著(取α=0.05).

在α=0.05 下，檢驗(yàn)假設(shè)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

拒絕域?yàn)?/p>

這里

所以，拒絕H0∶b=0，接受H1∶b ≠0，即認(rèn)為回歸效果是顯著的.從而“年老”的可能性分布函數(shù)為

式中:x 表示年齡且為自然數(shù).

本例也可用F 檢驗(yàn)法，r 檢驗(yàn)法對回歸效果進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).通過計(jì)算，檢驗(yàn)結(jié)果完全一致.

2.2 可化為一元線性回歸構(gòu)造可能性分布的實(shí)例分析

以上討論了一元線性回歸的問題，在實(shí)際中常會(huì)遇到更為復(fù)雜的回歸問題，在某些情況下，可通過適當(dāng)?shù)淖兞縼碜儞Q，將它化成一元線性回歸處理，下面舉例說明.

設(shè)論域U={打火機(jī)}，試用模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)建立A=“優(yōu)質(zhì)打火機(jī)”的可能性分布函數(shù).由于全國各地工廠的生產(chǎn)規(guī)模、生產(chǎn)水平和技術(shù)高低不同，人們對模糊概念“優(yōu)質(zhì)”的理解也不同，一般認(rèn)為打火機(jī)打火500 次就算質(zhì)量好了.作者向來自全國各地各階層的150 人進(jìn)行了問卷調(diào)查，在說明優(yōu)質(zhì)打火機(jī)的含義以后，請他們填寫表3.在收回詢問表后作出統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表4 所示.

表3 “優(yōu)質(zhì)打火機(jī)”含義的調(diào)查表Tab.3 Questionnaire of the meaning of“high quality lighter”

表4 150 人對于“優(yōu)質(zhì)打火機(jī)”含義的統(tǒng)計(jì)Tab.4 The statistics of the meaning of“high quality lighter”for 150 persons

按表4 的累計(jì)頻率可以作出A(優(yōu)質(zhì)打火機(jī))的可能性分布函數(shù)的散點(diǎn)圖，如圖2 所示.由圖2可以看出，πA(x)隨x 的變化呈現(xiàn)對數(shù)規(guī)律，因此選擇對數(shù)模型πA(x)=a+bln x(b ＞0).令z=πA(x)，t=ln x，則有z=a+bt，按表4 給出的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到表5.

表5 對數(shù)模型變換后的對應(yīng)值Tab.5 Corresponding values after logarithm model transformation

圖2 “優(yōu)質(zhì)打火機(jī)”的可能性分布散點(diǎn)圖Fig.2 Scatter plot of possibility distribution of“high quality lighter”

由表5 通過計(jì)算可得

因此線性回歸方程為

下面在顯著性水平α=0.05 下檢驗(yàn)假設(shè)H0∶b=0，H1∶b ≠0.采用r 檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，現(xiàn)在n=15，n -2=13，查相關(guān)系數(shù)臨界值表［14］，可得c=0.514，觀測值r=0.997 5，|r|=0.997 5 ＞0.514，所以拒絕H0∶b=0，即認(rèn)為z 關(guān)于t 的線性回歸效果是顯著的.將z=πA(x)，t=ln x 代入=-2.267 2 +0.489 0t中，得到

把這條曲線畫在圖3 中，可見基本上反映了πA(x)與x 之間的變化規(guī)律.

圖3 “優(yōu)質(zhì)打火機(jī)”的可能性分布函數(shù)Fig.3 Possibility distribution function of“high quality lighter”

本例也可用F 檢驗(yàn)法，t 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)回歸效果是否顯著.通過計(jì)算，檢驗(yàn)結(jié)果完全一致.

3 結(jié)論

構(gòu)造可能性分布時(shí)，若變量間確實(shí)存在且在數(shù)量上表現(xiàn)為不確定性的相互依存關(guān)系時(shí)，就可以考慮利用回歸分析這種統(tǒng)計(jì)方法來處理.通過回歸效果的顯著性檢驗(yàn)，不但能夠盡可能完整地描述信息的認(rèn)知不確定性，而且能夠盡可能貼切地對認(rèn)知不確定性進(jìn)行描述，減小其與真實(shí)分布的差異.此外，還可利用回歸方程得到的可能性分布進(jìn)行預(yù)測和控制.

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