李淑青，李 錄

（1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，山西 太原 030008；2.山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

當(dāng)非線性介質(zhì)的自聚焦效應(yīng)與光束的衍射發(fā)散作用相互平衡時(shí)，在介質(zhì)內(nèi)無衍射向前傳輸?shù)墓馐环Q為空間光孤子.近20年來對(duì)克爾空間光孤子的研究取得了重大突破，但是克爾空間孤子的形成需要很高的功率，后來人們發(fā)現(xiàn)了只需較低功率就可以形成的光折變空間孤子［1-3］.近幾年來，渦旋場(chǎng)以其獨(dú)一無二的特征逐漸被人們所重視，到2009年渦旋空間孤子在實(shí)驗(yàn)中被觀察到［4-6］.2013年，張解放研究了非線性介質(zhì)中渦旋孤子的相互作用［7］，之后歐陽(yáng)世根研究了自散焦介質(zhì)中渦旋孤子的特性［8］，然而對(duì)渦旋空間孤子在克爾性自聚焦介質(zhì)中的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，及拓?fù)浜蓪?duì)渦旋孤子的影響還鮮為人知，因此對(duì)渦旋孤子在Kerr型自聚焦介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)研究具有重要的實(shí)際意義.

本文對(duì)渦旋空間孤子在Kerr自聚焦介質(zhì)中的演化方程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，求解了簡(jiǎn)化后的非線性方程，并導(dǎo)出了振幅的取值范圍.采用數(shù)值模擬的方法討論了拓?fù)浜傻闹祵?duì)渦旋孤子的影響，以及拓?fù)浜珊驼穹鶎?duì)兩渦旋孤子相互作用的影響.

1 二維空間渦旋孤子在Kerr型自聚焦介質(zhì)中的演化方程

麥克斯韋方程是普遍適用于電磁場(chǎng)和光場(chǎng)中的基本方程.一般情況下，光場(chǎng)中的麥克斯韋方程可以寫成下面的波動(dòng)方程：

式中：E是電場(chǎng)強(qiáng)度；P是極化矢量；c是真空中的光速；ε0是真空中的介電常數(shù).方程具有E（r，t）＝A（r）exp（iβ0Z）的形式解，其中β0 ＝knn0＝A（X，Y，Z）是演化波包，光沿著Z軸傳播，衍射（自聚焦）發(fā)生在X，Y軸構(gòu)成的平面內(nèi)，在沒有衍射和非線性的情況下，A是一個(gè)常數(shù).在考慮非線性效應(yīng)和衍射效應(yīng)的時(shí)候，波包A隨著Z變化，并滿足非線性方程［9］

在非線性Kerr自聚焦介質(zhì)中，折射率的改變量滿足nnl（I）＝n2I，n2是非線性材料的Kerr系數(shù)，對(duì)于Kerr自聚焦介質(zhì)，n2＞0，I是光強(qiáng)，且I＝｜A｜2.引入歸一化變量

2 二維渦旋孤子解及其特點(diǎn)

關(guān)于方程（4）的解R.M.Caplan，Q.E.Hoqb等人已經(jīng)在2009年求出，形式解可以寫成下面的形式［10］：

式中：b是演化常數(shù)；φ（x，y）為方位角；mφ（x，y）表示橫向相位；b是演化常數(shù)，一般情況下滿足0≤b≤1；m取整數(shù)，它滿足稱為拓?fù)浜?，描述相位繞奇點(diǎn)變化的快慢；q（x，y）為實(shí)函數(shù).采用擬解法把方程（5）代入到方程（4）中，即可得到方程（6）.

式中：q滿足邊界條件：q｜r＝0＝0，q｜r→∞＝0，q～r｜m｜（r→0）.為了討論的一般性，設(shè)方程（6）的初始孤子解具有下面的形式：

式中：η0表示振幅；r0表示初始時(shí)的孤子半徑.把上述解代入到方程（6）中，整理后得

根據(jù)雙曲函數(shù)的特性-1＜tanhx＜1，可以得到簡(jiǎn)化后的參數(shù)方程滿足

對(duì)于不等式（8），尤其當(dāng)m＝0時(shí)即可以求得η0 必須滿足方程（9）.

如果m≠0 時(shí)，根據(jù)η0表示振幅的實(shí)際物理意義，可以得到η0 的取值范圍為

可見振幅隨著拓?fù)浜膳c半徑的比值變化.

圖1 中顯示了孤子解

在z＝0，m＝0和m＝±3時(shí)的光強(qiáng)分布剖面圖，參數(shù)為b＝1，r0＝1，η0 ＝1.從圖1 中可以看到，當(dāng)拓?fù)浜蒻＝0 的時(shí)候，孤子的中心光強(qiáng)最大，就是普通的Kerr 孤子；但是，當(dāng)拓?fù)浜蒻＝±3時(shí)，對(duì)應(yīng)的孤子中心光強(qiáng)為零，此時(shí)的孤子形成環(huán)形渦旋孤子.

圖1 x-o-y內(nèi)孤子的光強(qiáng)圖Fig.1 The light intensity of soliton in x-o-y

3 渦旋孤子的傳輸特點(diǎn)

考慮由硅材料制作的圓形波導(dǎo)，其中：n0＝1.57，表示波導(dǎo)中心光斑通過處的折射率；n1＝1.55，表示波導(dǎo)邊緣的折射率.非線性折射率n2＝3 × 10-9m2／W，讓 入 射 波 長(zhǎng)λ（λ＝512nm）和初始波函數(shù)的形式為u（r，θ）＝η0sech［η0（r-r0）］exp（imφ（x，y））的光入射其中，此時(shí)光孤子的橫向特征長(zhǎng)度衍射長(zhǎng)度由于方程（4）已經(jīng)做了歸一化處理，因此坐標(biāo)x，y軸分別以0.2mm 作為單位，z軸以0.7mm 作為單位.孤子的穩(wěn)定性一直是討論的重點(diǎn)，那么拓?fù)浜蒻對(duì)孤子的穩(wěn)定性有什么影響呢？圖2 是在參數(shù)滿足m＝0，b＝1，r0＝1和η0 ＝0.5，孤子分別在z＝0，z＝75，z＝150時(shí)的演化剖面圖.從圖2 中可以看出，隨著孤子的演化，孤子的形狀保持不變，但是半徑逐漸變小，在孤子傳播了150個(gè)演化單位時(shí)，孤子的形狀并沒有失真，但是中心光強(qiáng)隨距離收縮的很快，說明參數(shù)取m＝0時(shí)的孤子解不穩(wěn)定.這種現(xiàn)象歸因于在光束的傳輸過程中，光場(chǎng)強(qiáng)度與自聚焦效應(yīng)互為因果關(guān)系，即光場(chǎng)強(qiáng)度增大會(huì)導(dǎo)致自聚焦效應(yīng)增強(qiáng)，而自聚焦效應(yīng)增強(qiáng)又會(huì)導(dǎo)致光場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng)，這樣自聚焦效應(yīng)就越來越大于衍射效應(yīng)，使得光束自囚禁，從而被破壞.

圖2 二維渦旋空間孤子傳輸剖面圖（r0＝1，b＝1，η0 ＝0.25，m＝0）Fig.2 The profile of 2Dimensional vortex spatial soliton transmission for different distances（r0＝1，b＝1，η0 ＝0.25，m＝0）

圖3顯示了拓?fù)浜扇＝±3，其他參數(shù)取r0＝5，b＝1，η0 ＝1時(shí)空間渦旋孤子（也就是孤子）分別在z＝0，z＝17.5，z＝35 時(shí)傳輸開始（圖3（a）），傳輸了12.5mm（圖3（b））和傳輸了24.5 mm（圖3（c））的演化圖.從圖中可以看出，m＝±3 的渦旋孤子傳輸極不穩(wěn)定，孤子隨著傳輸距離的增加分裂成四孤子團(tuán)，組成的四個(gè)孤子分布在同一個(gè)環(huán)上，強(qiáng)度分布具有光鏈的樣式，每個(gè)波瓣中間都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，類似于文獻(xiàn)［11］中提到的Necklace-ring 渦旋孤子.

圖3 x-o-y平面內(nèi)孤子在不同演化距離時(shí)的光強(qiáng)分布（r0＝5，b＝1，η0 ＝1，m＝3）Fig.3 The light intensity of vortex soliton in x-o-yfor different distances（r0＝5，b＝1，η0 ＝1，m＝3）

4 兩渦旋孤子的相互作用及其抑制

在文獻(xiàn)［7-8］中，作者討論了渦旋孤子間的相互作用受孤子間距和孤子相位的影響，而且都是針對(duì)拓?fù)浜蔀?的渦旋孤子進(jìn)行了討論，對(duì)拓?fù)浜蔀槠渌导巴負(fù)浜傻娜≈祵?duì)孤子相互作用的影響沒有進(jìn)行討論.為了更全面地了解渦旋孤子之間的相互作用，圖4 模擬了當(dāng)兩渦旋孤子間的間距為2 mm 時(shí)，取不同的拓?fù)浜蒻的相互作用圖.圖4中顯示了，當(dāng)拓?fù)浜蔀?時(shí)，孤子發(fā)生了形變，中心點(diǎn)的光強(qiáng)突然加強(qiáng)，周圍的光強(qiáng)突然減弱，已經(jīng)失去了初始孤子的原貌，可見m＝0時(shí)的普通孤子相互作用極不穩(wěn)定.當(dāng)｜m｜≥1時(shí)，從圖5 的（b），（c），（d）中可以看出，隨著m的增大，孤子的相互作用增強(qiáng)，孤子相接觸的邊緣強(qiáng)度增大，這與渦旋孤子的半徑隨拓?fù)浜傻脑龃蠖龃笥兄苯雨P(guān)系，且拓?fù)浜蒻＝1 時(shí)的渦旋孤子穩(wěn)定性最高.

圖4 拓?fù)浜蓪?duì)兩渦旋孤子相互作用的影響（r0＝1，b＝1，η0 ＝1，z＝5）Fig.4 The effect of the topological charges to the interaction of two vortex solitons（r0＝1，b＝1，η0 ＝1，z＝5）

作者以拓?fù)浜芍祄＝1 為例，研究了振幅對(duì)兩渦旋孤子相互作用的影響.在一般情況下孤子的相位、振幅比和強(qiáng)度都在一定程度上可以抑制孤子的相互作用，有關(guān)相位對(duì)孤子相互作用的影響，文獻(xiàn)［7-8］中已經(jīng)討論過了，這里重點(diǎn)討論孤子的強(qiáng)度對(duì)孤子相互作用的影響.圖5 分別顯示了當(dāng)兩個(gè)渦旋孤子間距為2 mm 時(shí)，振幅分別選為η0 ＝0.25，η0 ＝1.5，η0 ＝1.8，η0 ＝1.88，其他參數(shù)分別為r0＝1，b＝1，z＝5時(shí)的相互作用圖.從圖5 中和圖4（b）這5張圖片可以看出，兩渦旋孤子的相互作用受振幅的影響很大，當(dāng)孤子的振幅η0 ＜1.5時(shí)，圖5（a）和圖4（b）所顯示的孤子的相互作用較大，孤子的振幅越小孤子的邊緣重疊越嚴(yán)重；當(dāng)孤子的振幅1.5≤η0 ≤1.8時(shí)，孤子間的相互作用得到了抑制，孤子無相互作用傳輸；當(dāng)孤子的強(qiáng)度η0 ＞1.8時(shí)，孤子的相互作用較弱，但是兩個(gè)渦旋孤子都分裂出了兩個(gè)旁瓣，出現(xiàn)了失真.可見渦旋孤子的相互作用可以通過調(diào)節(jié)光孤子的強(qiáng)度來抑制，但是振幅的取值應(yīng)該有一定的范圍，這與本文第2部分討論的式（10）一致.

圖5 振幅對(duì)兩渦旋孤子相互作用的影響Fig.5 The effect of the amplitude to the interaction of two vortex solitons

5 結(jié)論

針對(duì)2+1維渦旋空間孤子在Kerr自聚焦介質(zhì)中的演化進(jìn)行了討論，利用拉普拉斯變換簡(jiǎn)化了演化方程.對(duì)它的一種分析解利用擬解法求出了振幅所滿足的不等式.用數(shù)值模擬的方法分析了拓?fù)浜傻闹祵?duì)渦旋孤子的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m＝0時(shí)，孤子的形狀就是普通的Kerr孤子，孤子在傳輸時(shí)半徑隨著傳輸距離的增大均勻地減小，正符合孤子的自相似演化特點(diǎn).當(dāng)m＝3時(shí)，孤子在相位奇點(diǎn)處振幅為零，變成渦旋孤子，它在傳輸時(shí)分裂成四孤子團(tuán).分析了拓?fù)浜傻闹岛驼穹鶎?duì)兩相鄰渦旋孤子相互作用的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m＝1 時(shí)孤子的相互作用最弱，并且選擇合適的振幅可以抑制渦旋孤子的相互作用.

［1］Towers I，Malomed B A.Stable（2+1）-dimensional solitons in a layered medium with sign-alternating Kerr nonlinearity［J］.J.Opt.Soc.Am.B，2002，19：537-543.

［2］Zhao Xuesong，Li Lu，Xu Zhiyong.Dark-soliton stripes on a paraboloidal background in a bulk nonlinear medium［J］.Phys.Rev.A，2009，79：043827.

［3］Li L，Zhao X，Xu Z Y.Dark solitons on an intense parabolic background in nonlinear waveguides［J］.Phys.Rev.A，2008，78：063833.

［4］李海蓮，楊德興，任小元，等.體全息產(chǎn)生光學(xué)渦旋的實(shí)驗(yàn)研究［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（2）：503-507.Li Hailian，Yang Dexing，Ren Xiaoyuan，et al.Experimental investigation of optical vortex Generated by volume holography［J］.Acta Optica Sinica，2010，30（2）：503-507.（in Chinese）

［5］何德，閆紅衛(wèi)，呂百達(dá).厄米高斯渦旋光束形成的合成光渦旋及演化［J］.中國(guó)激光，2009，36（8）：2023-2029.He De，Yan Hongwei，Lv Baida.Evolution and composite optical cortices of Hermite Gaussian vortex beams［J］.Chinese J.Lasers，2009，36（8）：2023-2029.（in Chinese）

［6］Rao Lianzhou，Pu Jixiong.Generation of partially coherent vortex bottle beams［J］Chin.Opt.Lett.，2007，5（7）：379-382.

［7］張解放.非均勻非線性波導(dǎo)中渦旋光孤子的相互作用傳播［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2013，33（4）：0419001-1-8.Zhang Jiefang.Interaction propagation of optical vortex solitons in inhomogeneous nonlinear waveguides［J］.Acta.Optica sinica，2013，33（4）：0419001-1-8.（in Chinese）

［8］歐陽(yáng)世根.自散焦非局域非線性材料中的光學(xué)渦旋孤子［J］.物理學(xué)報(bào)，2013，62（4）：040504-1.Ouyang Shigen.Optical vortex solitons in self-defocusing Kerr-type nonlocal medium［J］.Acta Phys.Sin.，2013，62（4）：040504-1.（in Chinese）

［9］Agrawal G P.Nonlinear Fiber Optics［M］.3rd ed.Academic，San Diego，CA，2001：56.

［10］Caplan R M，Hoqb Q E，Carretero-Gonzalez R，et al.Azimuthal modulation instability of vorieces in the nonlinear Schrodinger equation［J］.Opt.Commun.，2009，282：1399-1405.

［11］Desyatnikov A S，Kivshar Y S.Necklace-ring vector solitons［J］.Phys.Rev.Lett.，2001，87（3）：033901.