李桂花，李高峰

（1.中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051；2.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715；3.新疆農(nóng)二師庫爾勒醫(yī)院，新疆 庫爾勒 841000）

0 引言

寄生蟲依靠宿主而生活，它對(duì)宿主的影響是多方面的，它或者攝取宿主的營養(yǎng)，對(duì)附著組織產(chǎn)生損害，從而影響宿主的生長；或者改變宿主的行為，增加發(fā)病率，使宿主易于被捕食者捕食；或者使宿主不能獲得充分的生存資源.在種群水平上就是對(duì)宿主種群的內(nèi)稟增長率產(chǎn)生影響，這種影響與寄生蟲的感染豐度和頻率分布密切相關(guān).

寄生蟲從一個(gè)宿主傳播到另外一個(gè)宿主通常是通過自由生活的感染期而取得的.在這種情況下，潛在的宿主和感染期的寄生蟲遭遇的機(jī)會(huì)無疑會(huì)受到宿主和寄生蟲密度以及它們的空間分布的影 響［1-2］.R.M.Anderson，P.J.Whitefied 和A.P.Dobson［3］研究了寄生在體表的復(fù)殖吸蟲感染期密度對(duì)該寄生蟲的傳播動(dòng)態(tài)的影響.R.M.Anderson［4］研究了穿透表皮的寄生蟲感染期的密度對(duì)傳播動(dòng)態(tài)的影響.A.E.Keymer，R.M.Anderson［5］和A.E.Keymer［6］研究了通過消化道而獲得感染的寄生蟲的傳播過程，其研究表明感染期的寄生蟲的密度和空間分布、宿主密度、宿主和寄生蟲接觸的長短等因素都影響著寄生蟲的傳播過程.

A.E.Keymer［7］在實(shí)驗(yàn)條件下證實(shí)了Hymenolepis Diminuta 的囊尾蚴有調(diào)節(jié)Tribolium Confusum 種群密度的作用.R.M.Anderson和J.Crombie［8］證實(shí)了曼氏血吸蟲Schistosoma Mansoni的幼蟲階段具有調(diào)節(jié)中間宿主種群的作用.R.M.Anderson，P.J.Whitefield和C.A.Mills［9］在實(shí)驗(yàn)室條件下研究了外寄生蟲吸蟲的種群動(dòng)態(tài)，對(duì)于各種種群參數(shù)都進(jìn)行了詳細(xì)的研究，其中大量的種群過程是密度制約的.

R.M.Anderson在文獻(xiàn)［10］中提出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，考慮宿主染病是與自由寄生蟲v的接觸有關(guān)，這里易感者宿主的疾病發(fā)生率是雙線性的，但是許多實(shí)驗(yàn)表明這個(gè)疾病的發(fā)生率是與寄生蟲的劑量有關(guān)的，且常常是具有S形的非線性函數(shù)，于是R.R.Regoes等［11］建立了下面的模型：

式中：A0表示易感者宿主的輸入量；d表示宿主的自然死亡率；β為染病的比例系數(shù)；ε為因寄生蟲引起的死亡率；c為染病宿主體內(nèi)自由病毒的釋放率；u為寄生蟲的死亡率；g（v）是寄生蟲濃度v的S形函數(shù)，且

這里β＝α＝1／mk，m表示染病的劑量；k為S形曲線在點(diǎn)m處的傾角.表明系統(tǒng)（2）在閾值條件下存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)，且一個(gè)是不穩(wěn)定的，另一個(gè)是穩(wěn)定的.當(dāng)k連續(xù)變化時(shí)，Li Guihua等［12］發(fā)現(xiàn)會(huì)有更有趣的更復(fù)雜的性態(tài)發(fā)生（見文獻(xiàn)［12］）.假設(shè)寄生蟲的動(dòng)力學(xué)行為比染病者宿主的動(dòng)力學(xué)行為快的多，即u?δ.令V＝uv，則模型（2）為

本文將考慮k＝1和k＝2時(shí)空間效應(yīng)對(duì)模型（3）性態(tài)的影響，模型如下：

式中：D1，D2分別為易感者宿主S與染病者宿主I的擴(kuò)散系數(shù).

1 線性穩(wěn)定性分析

為了簡便，將系統(tǒng)（4）作無量綱變換，令

并用t代替τ，得到系統(tǒng)（4）的等價(jià)系統(tǒng)

這里：

首先考慮最簡單的形式，即k＝1時(shí)系統(tǒng)（5）的動(dòng)力學(xué)性態(tài).當(dāng)d1＝d2＝0時(shí)，系統(tǒng)（5）的正平衡點(diǎn)存在性及穩(wěn)定性如下：

定理1 若A＞c，則系統(tǒng)（5）存在惟一正均勻定態(tài)解

由文獻(xiàn)［12］可知，正平衡點(diǎn)只要存在，就一定是全局漸近穩(wěn)定的.為了分析圖靈不穩(wěn)定的條件，首先計(jì)算微擾方程的系數(shù)

由于a11，a22始終是小于0，很顯然a11d2+a22d1＜0.這樣由特征方程很容易知道，系統(tǒng)的特征值始終為負(fù)，即系統(tǒng)（5）的正均勻定態(tài)解是穩(wěn)定的，不存在圖靈分岔.

接著考慮k＝2時(shí)系統(tǒng)（5）的動(dòng)力學(xué)性態(tài).當(dāng)d1＝d2＝0時(shí)，系統(tǒng)（5）的正平衡點(diǎn)存在性及穩(wěn)定性如下：

定理2（a）若A2＝4c（1+cm），則系統(tǒng)（5）有惟一正均勻定態(tài)解，E＊＝（x＊，y＊）.

（b）若A2＞4c（1+cm），則系統(tǒng)（5）存在兩個(gè)正均勻定態(tài)解，E1＝（x1，y1），E2＝（x2，y2），且y1＜y＊＜y2.

這里

很容易計(jì)算當(dāng)系統(tǒng)存在惟一的均勻定態(tài)解時(shí)，此均勻定態(tài)解為非雙曲奇點(diǎn)，其穩(wěn)定性的計(jì)算非常復(fù)雜，在這里暫不討論，僅討論兩個(gè)均勻定態(tài)解的情形.由文獻(xiàn)［12］可知道E1為鞍點(diǎn)，E2為結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn)，因此只需要考慮E2附近的微擾分析即可.為了計(jì)算上的方便，用a表示a2.

定理3 假定d1＝d2＝0，且系統(tǒng)（5）存在兩個(gè)正均勻定態(tài)解，則如果下面兩個(gè)條件之一滿足，E2就為漸近穩(wěn)定的.

（b）1-2c-2c2m＞0，且A2（1-c）（1+m+cm）＞1+2cm.

系統(tǒng)（5）微擾方程的系數(shù)為

因此給出圖靈分岔的必要條件為

由微擾方程的系數(shù)可知a11的值是恒小于零的，根據(jù)上面的條件可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：如果圖靈分岔發(fā)生，則一定有a22＞0.這意味著易感者宿主對(duì)系統(tǒng)起著阻滯子的作用，染病者宿主對(duì)系統(tǒng)起著活化子的作用.

Hopf分岔的必要條件為

下面分析圖靈分岔的穩(wěn)定性.

2 圖靈斑圖的穩(wěn)定性

首先來分析當(dāng)取定一組具體參數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生分岔的區(qū)域.設(shè)m為分支參數(shù)，令d2＝1，A＝1.2，c＝0.2.借助Maple軟件計(jì)算可以得到當(dāng)m＜4時(shí)正均勻定態(tài)解存在.圖靈分岔發(fā)生的首要條件是系統(tǒng)對(duì)均勻微擾必須是穩(wěn)定的，由前面可以知道Δ0＞0.只需要計(jì)算tr0＜0時(shí)，m滿足的條件即可.通過計(jì)算可以知道0 ＜m＜3.884 558 064.當(dāng)m＝3.884 558 064 時(shí)，tr0＝0，系統(tǒng)存在Hopf分岔.圖靈分岔滿足的另一個(gè)條件是系統(tǒng)對(duì)于某些模數(shù)的微擾是不穩(wěn)定的，會(huì)出現(xiàn)鞍結(jié)點(diǎn)分岔.即系統(tǒng)滿足條件

通過分析計(jì)算條件，給出了參數(shù)m與擴(kuò)散系數(shù)d1的示意圖（見圖1）.參數(shù)只有在區(qū)域Ⅰ才會(huì)出現(xiàn)圖靈分岔，在區(qū)域Ⅱ與Ⅲ中，圖靈分岔?xiàng)l件不滿足，但系統(tǒng)穩(wěn)定與否需要進(jìn)一步確定.如果固定d1或m，穩(wěn)定性如何變化，即特征值正負(fù)如何呢？若取定d1＝15，經(jīng)計(jì)算可以得到m的臨界值有兩個(gè)，分別為m1c＝3.322，m2c＝0.572 4.當(dāng)0≤m≤0.572 4或3.322＜m＜3.884 6時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)圖靈不穩(wěn)定.從圖2 可以看到，當(dāng)m＜0.572 4時(shí)，隨著m的增加圖靈斑圖區(qū)域逐漸減?。ㄒ妶D2的實(shí)線部分）；當(dāng)m＞3.322時(shí)，隨著m的增加，圖靈斑圖區(qū)域逐漸增大（見圖2的虛線部分）.同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)m＞3.323 的波是m＜0.572 4時(shí)的波向左平移.

事件，涉及的內(nèi)容廣泛，幾乎涵蓋了我們生活的方方面面。將事件作為一種營銷工具，有具有新聞價(jià)值的事件、大型活動(dòng)、慶典、節(jié)事活動(dòng)等。我們可以將事件營銷從規(guī)模和類型上進(jìn)行分類。

圖1 參數(shù)m隨參數(shù)d1的變化圖Fig.1 Region graph of parameter mwith d1

圖2 參數(shù)m與特征值實(shí)部的變化圖Fig.2 Graph of parameter mand real part of eigenvalues

3 時(shí)空斑圖分析

當(dāng)d1＝d2＝0時(shí)，即常微分（ODE）系統(tǒng)在一定條件下存在兩個(gè)平衡點(diǎn)，其中染病者宿主密度較小的為鞍點(diǎn)，較大的為結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn).當(dāng)存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)時(shí)，ODE 系統(tǒng)性態(tài)可能有下面幾種：平衡點(diǎn)穩(wěn)定，但不存在極限環(huán)；平衡點(diǎn)穩(wěn)定，存在不穩(wěn)定的極限環(huán)；平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，但不存在極限環(huán)；平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，存在穩(wěn)定的極限環(huán).當(dāng)d1，d2≠0時(shí)，即偏微分（PDE）系統(tǒng)性態(tài)比較復(fù)雜，只考慮穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩種情形.下面取一組固定的值來分析ODE 系統(tǒng)與PDE 系統(tǒng)的可能組合.取d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，具體組合見表1.在此的穩(wěn)定性指正均勻穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性.

作者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取上面這組值時(shí)，有些組合還沒有，因此取另一組值d2，A，c不變，d1＝3，具體組合見表2.由表1 和 表2 發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的極限環(huán)的幾種形式還不包含，在此不再列出.原因是當(dāng)ODE系統(tǒng)存在穩(wěn)定的極限環(huán)時(shí)，相應(yīng)的PDE系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)一般的圖靈斑圖，沒有什么新的現(xiàn)象發(fā)生.

下面分別對(duì)上面幾種情形進(jìn)行模擬，看m處在不同區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)如何，性態(tài)是否有規(guī)律可循.從表1 直觀分析系統(tǒng)的性態(tài)，可以得到情形1 和情形3 都屬于ODE 系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定且不存在極限環(huán)，而相應(yīng)的PDE 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因此可以知道系統(tǒng)滿足圖靈不穩(wěn)定的條件.在這幾種情形下圖靈斑圖發(fā)生，圖靈斑圖究竟是什么形狀呢？下面利用第2部分的有限差分方程的方法來進(jìn)行數(shù)值模擬.對(duì)于表1 中的情形1，分別取m＝0，0.1，0.3，0.5進(jìn)行模擬.

表1 當(dāng)d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2時(shí)，ODE與PDE系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性態(tài)分類Tab.1 The different dynamic behaviors of ODE and PDE systems when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2

表2 當(dāng)d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2時(shí)，ODE與PDE系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性態(tài)分類Tab.2 The different dynamic behaviors of ODE and PDE systems when d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2

從圖3（a）可以看到，當(dāng)m＝0時(shí)，系統(tǒng)的圖靈斑圖完全是點(diǎn)狀的；當(dāng)m＝0.1時(shí)，系統(tǒng)基本上是條狀斑圖.因此可以很自然地想到，m在0與0.1之間連續(xù)變化時(shí)系統(tǒng)的斑圖是逐漸由點(diǎn)狀過渡到條狀斑圖的；當(dāng)m＝0.3時(shí)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的圖靈斑圖是點(diǎn)條共存的，但是這種斑圖與圖3（b）的點(diǎn)條共存正好是相反的（見圖3（c）；當(dāng)m＝0.5時(shí)，系統(tǒng)的圖靈斑圖變?yōu)辄c(diǎn)狀的，這種點(diǎn)狀斑圖與圖3（a）的點(diǎn)狀也是正好相反的（見圖3（d）），被稱為缺口狀斑圖.因此有m在0.1與0.572 4之間連續(xù)變化時(shí)，系統(tǒng)由前一種的條狀圖靈斑圖逐步變?yōu)楹笠环N的條狀圖靈斑圖，然后由條狀逐漸變?yōu)楹笠环N點(diǎn)狀圖靈斑圖.換句話說，隨著染病者劑量m∈（0，0.572 4）由小到大變化，染病者宿主的密度分布由疏到密.

表1 的情形2，對(duì)于ODE 與PDE 系統(tǒng)的正均勻平衡解均穩(wěn)定，這種情形不是本文考慮的重點(diǎn).對(duì)于表1的情形3和情形4，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，m在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的圖靈斑圖類似（盡管情形4 中ODE系統(tǒng)存在極限環(huán)）.分別給出m＝3.6與m＝3.8 時(shí)，系統(tǒng)的斑圖（見圖4），可以看到圖4（b）是缺口狀斑圖到迷宮斑圖的過渡.

圖3 d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0，2時(shí)，系統(tǒng)（5）的圖靈斑圖Fig.3 Turing pattern of system（5）when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2

圖4 d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2時(shí)，系統(tǒng)（5）的斑圖Fig.4 Spatial pattern of system（5）when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2

對(duì)于表1 的最后一種情形，取m在這個(gè)區(qū)間的一個(gè)值3.95，其它參數(shù)不變.用同樣的方法進(jìn)行數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，反應(yīng)擴(kuò)散方程出現(xiàn)迷宮斑圖，如圖5 所示.由文獻(xiàn)［13］知道迷宮斑圖的形成需要兩個(gè)必要條件：①系統(tǒng)經(jīng)歷橫向失穩(wěn)；②當(dāng)兩個(gè)波峰互相靠近時(shí)，它們之間會(huì)產(chǎn)生相互排斥作用.這種排斥作用能夠使波峰靠近的速度放慢以至最后停止.也就是說，兩個(gè)波峰不會(huì)因合并而湮滅.在此，我們想是不是由于極限環(huán)的存在，引起圖靈斑圖失穩(wěn)而引起波峰的變化，從而產(chǎn)生迷宮斑圖.

圖5 d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95時(shí)，系統(tǒng)（5）的迷宮斑圖Fig.5 Labyrinth patterns of system（5）when d1＝15，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95

進(jìn)一步，對(duì)表2中的幾種情形分別進(jìn)行了討論.第1種情形不做討論，首先從第2種情形來討論.對(duì)于情形2，與情形1的區(qū)別是存在一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán)，就由于這點(diǎn)區(qū)別，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)發(fā)生了很大的改變.取m＝3.8，利用有限差分的方法進(jìn)行數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：在這組參數(shù)值下，系統(tǒng)（5）有螺旋波發(fā)生（如圖6 所示）.

圖6 d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.8時(shí)，系統(tǒng)（5）的螺旋波斑圖Fig.6 Spiral waves pattern of system（5）when d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.8

對(duì)于表2的情形3，發(fā)現(xiàn)盡管不存在極限環(huán)，但在這個(gè)區(qū)間上會(huì)由共振形成一種靜態(tài)波，如圖7 所示.另外，給出了變量y隨時(shí)間t的變化圖（如圖7（b）），發(fā)現(xiàn)隨著時(shí)間的增加，變量y最終趨于一穩(wěn)態(tài).

圖7 d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.9時(shí)，系統(tǒng)（5）的斑圖與變量y隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖Fig.7 Spatial patterns of system（5）and relationship diagram of variable y and time twhen d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.9

對(duì)于情形4，發(fā)現(xiàn)在這個(gè)區(qū)間上會(huì)出現(xiàn)迷宮斑圖，給出了m＝3.95時(shí)分別取空間步長為1，時(shí)間步長為0.05，運(yùn)行1萬次和10萬次時(shí)斑圖的變化情況（見圖8）.由圖8 可以發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的增加，染病者宿主的分布逐漸變得稀疏.另外，從表2 的這幾種情形分析，將宿主的擴(kuò)散率固定在某一數(shù)值時(shí)，隨著染病者劑量函數(shù)m的由小變大，系統(tǒng)（5）的斑圖由行波、靜態(tài)波到迷宮斑圖.

圖8 d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95時(shí)，系統(tǒng)（5）的迷宮斑圖Fig.8 Labyrinth patterns of system（5）when d1＝3，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.95

通過上面的數(shù)值模擬可以發(fā)現(xiàn)，螺旋波的出現(xiàn)是由于擴(kuò)散率的變化引起的，因此考慮擴(kuò)散率的變化對(duì)系統(tǒng)斑圖的變化是非常自然的事情.固定m＝3.8來分析擴(kuò)散系數(shù)d1的變化，動(dòng)力學(xué)性態(tài)會(huì)有什么改變.當(dāng)m＝3.8，A＝1.2，c＝0.2，d2＝1時(shí)，常微分系統(tǒng)始終存在一不穩(wěn)定的極限環(huán).分別取d1＝0.1，0.5，1，3，3.5，4，利用有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬（如圖9），其中（a）～（e）為典型的螺旋波斑圖，（f）為混沌斑圖.

由圖9 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)d1＝0.1，1，3.5時(shí)，系統(tǒng)中的缺陷數(shù)目有多個(gè)；當(dāng)d1＝0.5，3時(shí)，系統(tǒng)中的缺陷數(shù)目只有一個(gè)；當(dāng)d1＝4時(shí)，發(fā)現(xiàn)螺旋波失穩(wěn)導(dǎo)致時(shí)空混沌（見圖9（f））；繼續(xù)增大d1，化為表1的第4種情形.我們知道螺旋波是由缺陷為中心自組織形成的一類特殊的行波，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的螺旋波斑圖態(tài)，系統(tǒng)中的缺陷（或缺陷密度）很少，并且他們的數(shù)目不隨時(shí)間變化.但是，如果系統(tǒng)中的控制變量超過某些臨界值時(shí)，螺旋波會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生出新的缺陷，而每個(gè)缺陷都趨向于產(chǎn)生新的螺旋波.因此，系統(tǒng)中的缺陷數(shù)目會(huì)隨著時(shí)間以指數(shù)的形式增加，直到系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)飽和的缺陷密度.此時(shí)系統(tǒng)中被缺陷充滿，它的長期有序現(xiàn)象不復(fù)存在，系統(tǒng)進(jìn)入時(shí)空混沌態(tài).

圖9 不同d1，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.8 時(shí)，系統(tǒng)（5）螺旋波的不同斑圖Fig.9 Different spiral waves patterns of system（5）when different d1，d2＝1，A＝1.2，c＝0.2，m＝3.8

4 討論

討論了當(dāng)k＝1 和k＝2 時(shí)系統(tǒng)（5）的時(shí)空斑圖.當(dāng)k＝1時(shí)，系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的，不會(huì)發(fā)生圖靈斑圖；當(dāng)k＝2時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性及極限環(huán)的存在性進(jìn)行了分類.發(fā)現(xiàn)一些非常有趣的現(xiàn)象，當(dāng)ODE系統(tǒng)穩(wěn)定，且不存在極限環(huán)相應(yīng)的PDE系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，則PDE 系統(tǒng)出現(xiàn)圖靈斑圖，且圖靈斑圖可能有兩種形式，每種形式包括點(diǎn)狀與條狀斑圖.若ODE系統(tǒng)存在一不穩(wěn)定的極限環(huán)，而PDE系統(tǒng)是穩(wěn)定的話，出現(xiàn)螺旋波.若ODE 系統(tǒng)盡管不存在極限環(huán)，但平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，而PDE系統(tǒng)是穩(wěn)定的時(shí)，系統(tǒng)同樣會(huì)出現(xiàn)行波，但這種行波是靜態(tài)的.若ODE 系統(tǒng)不存在極限環(huán)，但平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，而PDE 系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的時(shí)，則系統(tǒng)出現(xiàn)迷宮斑圖.通過數(shù)值模擬猜測這種規(guī)律是可循的.在本文中，由于時(shí)間的關(guān)系，僅考慮了一種特殊形式的系統(tǒng)的性態(tài)，即k＝2.若對(duì)于k取更大的值，PDE系統(tǒng)的性態(tài)可能更復(fù)雜，詳細(xì)分析可以查閱文獻(xiàn)［14］.

關(guān)于考慮空間因素的傳染病模型的研究，已有一些文獻(xiàn)，有考慮一般傳染病模型（見文獻(xiàn)［15-16］），有考慮具體疾病的模型（見文獻(xiàn)［17-18］）.若考慮空間因素還可以應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，比如生態(tài)環(huán)境等（見文獻(xiàn)［19］）.另外，考慮反應(yīng)擴(kuò)散的傳染病模型還有很多文獻(xiàn)，在此不一一列出.

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