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二次函數(shù)最值問題及其解決方法

2014-11-21 14:04:18楊寒英
關(guān)鍵詞:值域對稱軸端點(diǎn)

楊寒英

學(xué)生在初中階段接觸最多的,而且覺得比較難以理解的函數(shù)便是二次函數(shù).為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)的單調(diào)性的作用,筆者補(bǔ)充了一節(jié)關(guān)于求二次函數(shù)最值問題的探究性的課.這節(jié)課一方面起到了擴(kuò)充知識(shí)的作用,提高學(xué)生對知識(shí)的應(yīng)用能力;另一方面培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區(qū)間定問題

【例1】 求二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在以下區(qū)間上的最值.

(1)x∈[-2,0];(2)x∈[0,3];(3)x∈[2,4].

分析: f(x)=(x-1)2-4.

①若對稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)或左側(cè),此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最大值和最小值分別在區(qū)間端點(diǎn)處取得,比如本題的(1)(3)小題;

②若對稱軸穿過區(qū)間,此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上先減后增,最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點(diǎn)處取得.此時(shí)只需計(jì)算哪個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值較大即可,或比較哪個(gè)端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)(端點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越大)即可,比如本題的(2)小題;

③函數(shù)的最大、最小值只在區(qū)間的端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取得.

2.軸定區(qū)間變問題

【例2】 求二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[t,t+2]上的值域.

分析:隨著區(qū)間位置的改變,對稱軸和區(qū)間的相對位置對函數(shù)值域的影響便一目了然了.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即t≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上為增函數(shù),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(t)≤f(x)≤f(t+2);

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即t≤1≤t+1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上是先減后增,右端點(diǎn)t+2距離對稱軸較遠(yuǎn),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(1)≤f(x)≤f(t+2);

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間,即t+1≤1≤t+2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上也是先減后增,此時(shí)是左端點(diǎn)t距離對稱軸較遠(yuǎn),所以f(x)的取值范圍是f(1)≤f(x)≤f(t);

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè),即t+2≤1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上為減函數(shù),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(t+2)≤f(x)≤f(t).

部分學(xué)生可能只討論了三種情況,將②③合并,這是出錯(cuò)的主要原因.

3.軸變區(qū)間定問題

【例3】 求函數(shù)f(x)=x2-2mx+2在區(qū)間[-1,1]上的值域.

分析:對稱軸x=m可改變,對稱軸與區(qū)間[-1,1]的相對位置也是變化的,仿照例2可以求出函數(shù)的值域.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即m≤-1時(shí),有f(-1)≤f(x)≤f(1);

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即-1≤m≤0時(shí),有f(m)≤f(x)≤f(1);

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間,即0≤m≤1時(shí),有f(m)≤f(x)≤f(-1);

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè),即m≥1時(shí),有f(1)≤f(x)≤f(-1).

4.軸變區(qū)間變問題

【例4】 求函數(shù)f(x)=x2-2mx+2在區(qū)間[a,b]上的值域.

分析:還是同前面的例子相同的討論.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即當(dāng)m

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即a≤m≤

學(xué)生在初中階段接觸最多的,而且覺得比較難以理解的函數(shù)便是二次函數(shù).為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)的單調(diào)性的作用,筆者補(bǔ)充了一節(jié)關(guān)于求二次函數(shù)最值問題的探究性的課.這節(jié)課一方面起到了擴(kuò)充知識(shí)的作用,提高學(xué)生對知識(shí)的應(yīng)用能力;另一方面培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區(qū)間定問題

【例1】 求二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在以下區(qū)間上的最值.

(1)x∈[-2,0];(2)x∈[0,3];(3)x∈[2,4].

分析: f(x)=(x-1)2-4.

①若對稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)或左側(cè),此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最大值和最小值分別在區(qū)間端點(diǎn)處取得,比如本題的(1)(3)小題;

②若對稱軸穿過區(qū)間,此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上先減后增,最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點(diǎn)處取得.此時(shí)只需計(jì)算哪個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值較大即可,或比較哪個(gè)端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)(端點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越大)即可,比如本題的(2)小題;

③函數(shù)的最大、最小值只在區(qū)間的端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取得.

2.軸定區(qū)間變問題

【例2】 求二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[t,t+2]上的值域.

分析:隨著區(qū)間位置的改變,對稱軸和區(qū)間的相對位置對函數(shù)值域的影響便一目了然了.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即t≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上為增函數(shù),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(t)≤f(x)≤f(t+2);

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即t≤1≤t+1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上是先減后增,右端點(diǎn)t+2距離對稱軸較遠(yuǎn),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(1)≤f(x)≤f(t+2);

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間,即t+1≤1≤t+2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上也是先減后增,此時(shí)是左端點(diǎn)t距離對稱軸較遠(yuǎn),所以f(x)的取值范圍是f(1)≤f(x)≤f(t);

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè),即t+2≤1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上為減函數(shù),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(t+2)≤f(x)≤f(t).

部分學(xué)生可能只討論了三種情況,將②③合并,這是出錯(cuò)的主要原因.

3.軸變區(qū)間定問題

【例3】 求函數(shù)f(x)=x2-2mx+2在區(qū)間[-1,1]上的值域.

分析:對稱軸x=m可改變,對稱軸與區(qū)間[-1,1]的相對位置也是變化的,仿照例2可以求出函數(shù)的值域.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即m≤-1時(shí),有f(-1)≤f(x)≤f(1);

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即-1≤m≤0時(shí),有f(m)≤f(x)≤f(1);

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間,即0≤m≤1時(shí),有f(m)≤f(x)≤f(-1);

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè),即m≥1時(shí),有f(1)≤f(x)≤f(-1).

4.軸變區(qū)間變問題

【例4】 求函數(shù)f(x)=x2-2mx+2在區(qū)間[a,b]上的值域.

分析:還是同前面的例子相同的討論.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即當(dāng)m

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即a≤m≤

學(xué)生在初中階段接觸最多的,而且覺得比較難以理解的函數(shù)便是二次函數(shù).為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)的單調(diào)性的作用,筆者補(bǔ)充了一節(jié)關(guān)于求二次函數(shù)最值問題的探究性的課.這節(jié)課一方面起到了擴(kuò)充知識(shí)的作用,提高學(xué)生對知識(shí)的應(yīng)用能力;另一方面培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區(qū)間定問題

【例1】 求二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在以下區(qū)間上的最值.

(1)x∈[-2,0];(2)x∈[0,3];(3)x∈[2,4].

分析: f(x)=(x-1)2-4.

①若對稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)或左側(cè),此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最大值和最小值分別在區(qū)間端點(diǎn)處取得,比如本題的(1)(3)小題;

②若對稱軸穿過區(qū)間,此時(shí)函數(shù)在該區(qū)間上先減后增,最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點(diǎn)處取得.此時(shí)只需計(jì)算哪個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值較大即可,或比較哪個(gè)端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)(端點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越大)即可,比如本題的(2)小題;

③函數(shù)的最大、最小值只在區(qū)間的端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取得.

2.軸定區(qū)間變問題

【例2】 求二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[t,t+2]上的值域.

分析:隨著區(qū)間位置的改變,對稱軸和區(qū)間的相對位置對函數(shù)值域的影響便一目了然了.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即t≥1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上為增函數(shù),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(t)≤f(x)≤f(t+2);

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即t≤1≤t+1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上是先減后增,右端點(diǎn)t+2距離對稱軸較遠(yuǎn),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(1)≤f(x)≤f(t+2);

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間,即t+1≤1≤t+2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上也是先減后增,此時(shí)是左端點(diǎn)t距離對稱軸較遠(yuǎn),所以f(x)的取值范圍是f(1)≤f(x)≤f(t);

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè),即t+2≤1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上為減函數(shù),此時(shí)f(x)的取值范圍是f(t+2)≤f(x)≤f(t).

部分學(xué)生可能只討論了三種情況,將②③合并,這是出錯(cuò)的主要原因.

3.軸變區(qū)間定問題

【例3】 求函數(shù)f(x)=x2-2mx+2在區(qū)間[-1,1]上的值域.

分析:對稱軸x=m可改變,對稱軸與區(qū)間[-1,1]的相對位置也是變化的,仿照例2可以求出函數(shù)的值域.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即m≤-1時(shí),有f(-1)≤f(x)≤f(1);

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即-1≤m≤0時(shí),有f(m)≤f(x)≤f(1);

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間,即0≤m≤1時(shí),有f(m)≤f(x)≤f(-1);

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè),即m≥1時(shí),有f(1)≤f(x)≤f(-1).

4.軸變區(qū)間變問題

【例4】 求函數(shù)f(x)=x2-2mx+2在區(qū)間[a,b]上的值域.

分析:還是同前面的例子相同的討論.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè),即當(dāng)m

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間,即a≤m≤

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