呂學(xué)柱

一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識(shí)結(jié)構(gòu)的局限，從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢(shì)，取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項(xiàng)目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐介紹幾個(gè)主要切入點(diǎn)，以供參考.

一、拓展

對(duì)教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.

【案例1】過點(diǎn)P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC面積最小時(shí)，求直線l的方程.

討論解法后發(fā)現(xiàn)，面積最小的三角形恰好以點(diǎn)P為斜邊的中點(diǎn)，這是否具有一般性？這個(gè)問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內(nèi)一定點(diǎn)的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時(shí)，定點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結(jié)論如何？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.

推廣2： 過已知角內(nèi)一定點(diǎn)的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時(shí)，定點(diǎn)為其所在邊的中點(diǎn).

證：已知∠XOY=α，其內(nèi)部定點(diǎn)M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點(diǎn)，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時(shí)M為AB邊的中點(diǎn). （還可用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點(diǎn)O為的三面角，其內(nèi)部一定點(diǎn)M. 過點(diǎn)M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點(diǎn)分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時(shí)，點(diǎn)M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材，推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材（也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時(shí)作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實(shí)施過程中，課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系，由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅(jiān)持漸進(jìn)性原則，力避后置內(nèi)容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時(shí)，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器計(jì)算k=tanα（給定α）來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.

這個(gè)問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外，還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點(diǎn)，直線上取兩點(diǎn)O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結(jié)論.

綜上可知，當(dāng)0°≤α≤90°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)90°<α<180°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點(diǎn)和不足作為切入點(diǎn).而教材編寫中科學(xué)性錯(cuò)誤是極少的.對(duì)教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動(dòng)中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因?yàn)閍是集合{a}的元素.對(duì)這個(gè)答案師生中的爭(zhēng)執(zhí)主要在a是集合時(shí)，集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.

分析：

當(dāng)a為實(shí)數(shù)（或者僅為“英文字母”）時(shí)，填“∈”正確；

當(dāng)S為非空集合時(shí)，{a}為一個(gè)集合組成的集合，填“”正確；

當(dāng)a=時(shí)，填“∈”正確，填“”也正確（因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?

當(dāng)然，a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學(xué)術(shù)”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言，即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習(xí)，編者一定不會(huì)讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形，這個(gè)練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭(zhēng)”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對(duì)問題應(yīng)有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識(shí)，輕易說“不可能”，那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.

四、爭(zhēng)議

日常的教學(xué)活動(dòng)中，時(shí)常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對(duì)某個(gè)問題爭(zhēng)論的現(xiàn)象.爭(zhēng)議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對(duì)爭(zhēng)議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個(gè)主要切入點(diǎn).

【案例4】教材中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實(shí)數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是f（x）=0的實(shí)數(shù)根，也就是y=f（x）函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c，設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x1=x2，二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點(diǎn)（x1，0）.

分析：根據(jù)教材的界定，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時(shí)的零點(diǎn)問題，說成有兩個(gè)相等的零點(diǎn)或者說成有唯一的零點(diǎn)都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點(diǎn)”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系，同時(shí)還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡(jiǎn)潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時(shí)的零點(diǎn)”這個(gè)問題上不光沒有使表述更簡(jiǎn)潔，反而產(chǎn)生明顯的爭(zhēng)議.

建議：在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭(zhēng)議問題，因?yàn)檫@種爭(zhēng)議對(duì)學(xué)生來說是沒有價(jià)值的.

教材在此應(yīng)予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發(fā)出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學(xué)實(shí)踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關(guān)于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.

這種編寫產(chǎn)生兩個(gè)問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習(xí)全是數(shù)集，是不是描述法只能表示數(shù)集呀？

對(duì)于這一內(nèi)容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法，學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡(jiǎn)潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.

一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識(shí)結(jié)構(gòu)的局限，從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢(shì)，取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項(xiàng)目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐介紹幾個(gè)主要切入點(diǎn)，以供參考.

一、拓展

對(duì)教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.

【案例1】過點(diǎn)P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC面積最小時(shí)，求直線l的方程.

討論解法后發(fā)現(xiàn)，面積最小的三角形恰好以點(diǎn)P為斜邊的中點(diǎn)，這是否具有一般性？這個(gè)問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內(nèi)一定點(diǎn)的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時(shí)，定點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結(jié)論如何？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.

推廣2： 過已知角內(nèi)一定點(diǎn)的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時(shí)，定點(diǎn)為其所在邊的中點(diǎn).

證：已知∠XOY=α，其內(nèi)部定點(diǎn)M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點(diǎn)，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時(shí)M為AB邊的中點(diǎn). （還可用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點(diǎn)O為的三面角，其內(nèi)部一定點(diǎn)M. 過點(diǎn)M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點(diǎn)分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時(shí)，點(diǎn)M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材，推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材（也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時(shí)作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實(shí)施過程中，課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系，由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅(jiān)持漸進(jìn)性原則，力避后置內(nèi)容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時(shí)，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器計(jì)算k=tanα（給定α）來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.

這個(gè)問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外，還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點(diǎn)，直線上取兩點(diǎn)O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結(jié)論.

綜上可知，當(dāng)0°≤α≤90°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)90°<α<180°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點(diǎn)和不足作為切入點(diǎn).而教材編寫中科學(xué)性錯(cuò)誤是極少的.對(duì)教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動(dòng)中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因?yàn)閍是集合{a}的元素.對(duì)這個(gè)答案師生中的爭(zhēng)執(zhí)主要在a是集合時(shí)，集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.

分析：

當(dāng)a為實(shí)數(shù)（或者僅為“英文字母”）時(shí)，填“∈”正確；

當(dāng)S為非空集合時(shí)，{a}為一個(gè)集合組成的集合，填“”正確；

當(dāng)a=時(shí)，填“∈”正確，填“”也正確（因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?

當(dāng)然，a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學(xué)術(shù)”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言，即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習(xí)，編者一定不會(huì)讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形，這個(gè)練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭(zhēng)”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對(duì)問題應(yīng)有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識(shí)，輕易說“不可能”，那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.

四、爭(zhēng)議

日常的教學(xué)活動(dòng)中，時(shí)常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對(duì)某個(gè)問題爭(zhēng)論的現(xiàn)象.爭(zhēng)議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對(duì)爭(zhēng)議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個(gè)主要切入點(diǎn).

【案例4】教材中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實(shí)數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是f（x）=0的實(shí)數(shù)根，也就是y=f（x）函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c，設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x1=x2，二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點(diǎn)（x1，0）.

分析：根據(jù)教材的界定，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時(shí)的零點(diǎn)問題，說成有兩個(gè)相等的零點(diǎn)或者說成有唯一的零點(diǎn)都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點(diǎn)”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系，同時(shí)還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡(jiǎn)潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時(shí)的零點(diǎn)”這個(gè)問題上不光沒有使表述更簡(jiǎn)潔，反而產(chǎn)生明顯的爭(zhēng)議.

建議：在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭(zhēng)議問題，因?yàn)檫@種爭(zhēng)議對(duì)學(xué)生來說是沒有價(jià)值的.

教材在此應(yīng)予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發(fā)出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學(xué)實(shí)踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關(guān)于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.

這種編寫產(chǎn)生兩個(gè)問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習(xí)全是數(shù)集，是不是描述法只能表示數(shù)集呀？

對(duì)于這一內(nèi)容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法，學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡(jiǎn)潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.

一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識(shí)結(jié)構(gòu)的局限，從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢(shì)，取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項(xiàng)目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐介紹幾個(gè)主要切入點(diǎn)，以供參考.

一、拓展

對(duì)教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.

【案例1】過點(diǎn)P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC面積最小時(shí)，求直線l的方程.

討論解法后發(fā)現(xiàn)，面積最小的三角形恰好以點(diǎn)P為斜邊的中點(diǎn)，這是否具有一般性？這個(gè)問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內(nèi)一定點(diǎn)的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時(shí)，定點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結(jié)論如何？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.

推廣2： 過已知角內(nèi)一定點(diǎn)的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時(shí)，定點(diǎn)為其所在邊的中點(diǎn).

證：已知∠XOY=α，其內(nèi)部定點(diǎn)M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點(diǎn)，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時(shí)M為AB邊的中點(diǎn). （還可用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點(diǎn)O為的三面角，其內(nèi)部一定點(diǎn)M. 過點(diǎn)M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點(diǎn)分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時(shí)，點(diǎn)M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材，推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材（也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時(shí)作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實(shí)施過程中，課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系，由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅(jiān)持漸進(jìn)性原則，力避后置內(nèi)容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時(shí)，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器計(jì)算k=tanα（給定α）來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.

這個(gè)問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外，還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點(diǎn)，直線上取兩點(diǎn)O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結(jié)論.

綜上可知，當(dāng)0°≤α≤90°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)90°<α<180°時(shí)，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點(diǎn)和不足作為切入點(diǎn).而教材編寫中科學(xué)性錯(cuò)誤是極少的.對(duì)教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動(dòng)中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因?yàn)閍是集合{a}的元素.對(duì)這個(gè)答案師生中的爭(zhēng)執(zhí)主要在a是集合時(shí)，集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.

分析：

當(dāng)a為實(shí)數(shù)（或者僅為“英文字母”）時(shí)，填“∈”正確；

當(dāng)S為非空集合時(shí)，{a}為一個(gè)集合組成的集合，填“”正確；

當(dāng)a=時(shí)，填“∈”正確，填“”也正確（因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?

當(dāng)然，a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學(xué)術(shù)”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言，即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習(xí)，編者一定不會(huì)讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形，這個(gè)練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭(zhēng)”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對(duì)問題應(yīng)有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識(shí)，輕易說“不可能”，那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.

四、爭(zhēng)議

日常的教學(xué)活動(dòng)中，時(shí)常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對(duì)某個(gè)問題爭(zhēng)論的現(xiàn)象.爭(zhēng)議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對(duì)爭(zhēng)議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個(gè)主要切入點(diǎn).

【案例4】教材中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實(shí)數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是f（x）=0的實(shí)數(shù)根，也就是y=f（x）函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c，設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x1=x2，二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點(diǎn)（x1，0）.

分析：根據(jù)教材的界定，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時(shí)的零點(diǎn)問題，說成有兩個(gè)相等的零點(diǎn)或者說成有唯一的零點(diǎn)都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點(diǎn)”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系，同時(shí)還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡(jiǎn)潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時(shí)的零點(diǎn)”這個(gè)問題上不光沒有使表述更簡(jiǎn)潔，反而產(chǎn)生明顯的爭(zhēng)議.

建議：在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭(zhēng)議問題，因?yàn)檫@種爭(zhēng)議對(duì)學(xué)生來說是沒有價(jià)值的.

教材在此應(yīng)予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發(fā)出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學(xué)實(shí)踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關(guān)于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.

這種編寫產(chǎn)生兩個(gè)問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習(xí)全是數(shù)集，是不是描述法只能表示數(shù)集呀？

對(duì)于這一內(nèi)容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法，學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡(jiǎn)潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.