在近兩年的各種高考調(diào)研卷、模擬卷中經(jīng)常出現(xiàn)一類與三角形外心有關的向量問題，解決此類問題一般可分為兩種思路：一種是利用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化來優(yōu)化計算，二是通過建立坐標系，用平面向量的坐標來解決.但用思路一有時出現(xiàn)的向量較多，不知怎么轉(zhuǎn)化，解題缺乏方向性；用思路二有時不好建系.本文就針對這類問題提出如何應用三角形外心的一個向量性質(zhì)來有效、快速破解問題.

一、引例聯(lián)想

（2012浙江調(diào)研）如圖，在圓O中，若弦AB=3，弦AC=5，則AO·BC的值是（）

A. -8B. -1C. 1D. 8

一般解法：取BC的中點D，連接AD，OD，則有OD⊥BC，

AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，

AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC

=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，

所以正確答案選D.

本題求解的關鍵和難點是向量之間的線性轉(zhuǎn)化，解題的策略是將兩個無關聯(lián)的向量轉(zhuǎn)化為兩個目標基向量，通過數(shù)量積運算得到結果.

在解法中我們可以發(fā)現(xiàn)AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）

=AO·AC-AO·AB，則AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是從結構形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2發(fā)生，從而猜想性質(zhì)：已知O是△ABC外心，則AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

二、性質(zhì)證明

證明：如圖，過O作OD⊥AB于點D，則AD=12AB且AB·DO=0，過O作OE⊥AC于點E，則AE=12AC且AC·EO=0，

AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，

同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

該性質(zhì)結構對稱，記憶方便，而且看到這種結構能立刻條件反射，聯(lián)想到用該性質(zhì)，從而啟發(fā)解題手段，例如引例可聯(lián)想用性質(zhì)解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，顯然方便快捷.

三、應用舉例

例1如圖，在圓O中，若△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，且AB=4，M是BC邊BC的中點，AO·AM=5，則AC=.

解：聯(lián)想性質(zhì)AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，則14×42+14AC2=5，解得AC=2.

評注：原答案提供的解法為：過O作OD⊥AB于點D，則AD=12AB且AB·DO=0，過O作OE⊥AC于點E，則AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.顯然用性質(zhì)解題方向明確，過程簡捷，運算迅速.

例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，則cosA=.

解：因為O是△ABC外心，AB=AC，由對稱性可知3m=-n又9m-3n=4，

則m=29，從AO=23AB+23AC，聯(lián)想性質(zhì)得AO·AB=23AB2+23AC·AB

即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.

評注：原答案采用的是性質(zhì)證明過程中所用方法，比較繁瑣，顯然先用對稱性求出m，n，再聯(lián)想性質(zhì)構造數(shù)量積，得到方程，容易達到解題目的.

例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，則x+y的最小值為.

解：由AO=xAB+yAC，聯(lián)想性質(zhì)得

AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，

得方程組4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程組得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即當a=1時，x+y取得最小值2.

評注：本題亦可以A為原點，以AC邊所在的直線為x軸，建立直角坐標系，則C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性質(zhì)構造構造數(shù)量積，得到方程組，解出x，y后再利用基本不等式求解，顯然該法解題方向明確，方法固化，容易入手.

四、類題演練

演練1設點O是△ABC三邊的垂直平分線的交點，且AC2-2AC+AB2=0，則BC·AO的取值范圍是.

解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，則0

演練2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），則三角形ABC的邊BC長為.

解析：聯(lián)想性質(zhì)，將等式AO=xAB+4-x8AC兩邊同時與AC數(shù)量積，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案為2.

演練3已知O是銳角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，則m=（用θ表示）.

解析：聯(lián)想性質(zhì)，將等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO兩邊同時與AB數(shù)量積，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案為sinθ.

由以上幾例可知，用三角形外心的這個向量性質(zhì)解題的本質(zhì)是構造數(shù)量積，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，將問題轉(zhuǎn)化到三角形的邊.同時題目條件本身就能預示解題方向，啟發(fā)解題手段，在以后的解題中同學們應多加嘗試.

（作者：劉正祥，江蘇省阜寧中學）

在近兩年的各種高考調(diào)研卷、模擬卷中經(jīng)常出現(xiàn)一類與三角形外心有關的向量問題，解決此類問題一般可分為兩種思路：一種是利用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化來優(yōu)化計算，二是通過建立坐標系，用平面向量的坐標來解決.但用思路一有時出現(xiàn)的向量較多，不知怎么轉(zhuǎn)化，解題缺乏方向性；用思路二有時不好建系.本文就針對這類問題提出如何應用三角形外心的一個向量性質(zhì)來有效、快速破解問題.

一、引例聯(lián)想

（2012浙江調(diào)研）如圖，在圓O中，若弦AB=3，弦AC=5，則AO·BC的值是（）

A. -8B. -1C. 1D. 8

一般解法：取BC的中點D，連接AD，OD，則有OD⊥BC，

AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，

AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC

=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，

所以正確答案選D.

本題求解的關鍵和難點是向量之間的線性轉(zhuǎn)化，解題的策略是將兩個無關聯(lián)的向量轉(zhuǎn)化為兩個目標基向量，通過數(shù)量積運算得到結果.

在解法中我們可以發(fā)現(xiàn)AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）

=AO·AC-AO·AB，則AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是從結構形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2發(fā)生，從而猜想性質(zhì)：已知O是△ABC外心，則AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

二、性質(zhì)證明

證明：如圖，過O作OD⊥AB于點D，則AD=12AB且AB·DO=0，過O作OE⊥AC于點E，則AE=12AC且AC·EO=0，

AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，

同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

該性質(zhì)結構對稱，記憶方便，而且看到這種結構能立刻條件反射，聯(lián)想到用該性質(zhì)，從而啟發(fā)解題手段，例如引例可聯(lián)想用性質(zhì)解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，顯然方便快捷.

三、應用舉例

例1如圖，在圓O中，若△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，且AB=4，M是BC邊BC的中點，AO·AM=5，則AC=.

解：聯(lián)想性質(zhì)AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，則14×42+14AC2=5，解得AC=2.

評注：原答案提供的解法為：過O作OD⊥AB于點D，則AD=12AB且AB·DO=0，過O作OE⊥AC于點E，則AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.顯然用性質(zhì)解題方向明確，過程簡捷，運算迅速.

例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，則cosA=.

解：因為O是△ABC外心，AB=AC，由對稱性可知3m=-n又9m-3n=4，

則m=29，從AO=23AB+23AC，聯(lián)想性質(zhì)得AO·AB=23AB2+23AC·AB

即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.

評注：原答案采用的是性質(zhì)證明過程中所用方法，比較繁瑣，顯然先用對稱性求出m，n，再聯(lián)想性質(zhì)構造數(shù)量積，得到方程，容易達到解題目的.

例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，則x+y的最小值為.

解：由AO=xAB+yAC，聯(lián)想性質(zhì)得

AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，

得方程組4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程組得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即當a=1時，x+y取得最小值2.

評注：本題亦可以A為原點，以AC邊所在的直線為x軸，建立直角坐標系，則C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性質(zhì)構造構造數(shù)量積，得到方程組，解出x，y后再利用基本不等式求解，顯然該法解題方向明確，方法固化，容易入手.

四、類題演練

演練1設點O是△ABC三邊的垂直平分線的交點，且AC2-2AC+AB2=0，則BC·AO的取值范圍是.

解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，則0

演練2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），則三角形ABC的邊BC長為.

解析：聯(lián)想性質(zhì)，將等式AO=xAB+4-x8AC兩邊同時與AC數(shù)量積，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案為2.

演練3已知O是銳角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，則m=（用θ表示）.

解析：聯(lián)想性質(zhì)，將等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO兩邊同時與AB數(shù)量積，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案為sinθ.

由以上幾例可知，用三角形外心的這個向量性質(zhì)解題的本質(zhì)是構造數(shù)量積，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，將問題轉(zhuǎn)化到三角形的邊.同時題目條件本身就能預示解題方向，啟發(fā)解題手段，在以后的解題中同學們應多加嘗試.

（作者：劉正祥，江蘇省阜寧中學）

在近兩年的各種高考調(diào)研卷、模擬卷中經(jīng)常出現(xiàn)一類與三角形外心有關的向量問題，解決此類問題一般可分為兩種思路：一種是利用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化來優(yōu)化計算，二是通過建立坐標系，用平面向量的坐標來解決.但用思路一有時出現(xiàn)的向量較多，不知怎么轉(zhuǎn)化，解題缺乏方向性；用思路二有時不好建系.本文就針對這類問題提出如何應用三角形外心的一個向量性質(zhì)來有效、快速破解問題.

一、引例聯(lián)想

（2012浙江調(diào)研）如圖，在圓O中，若弦AB=3，弦AC=5，則AO·BC的值是（）

A. -8B. -1C. 1D. 8

一般解法：取BC的中點D，連接AD，OD，則有OD⊥BC，

AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，

AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC

=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，

所以正確答案選D.

本題求解的關鍵和難點是向量之間的線性轉(zhuǎn)化，解題的策略是將兩個無關聯(lián)的向量轉(zhuǎn)化為兩個目標基向量，通過數(shù)量積運算得到結果.

在解法中我們可以發(fā)現(xiàn)AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）

=AO·AC-AO·AB，則AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是從結構形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2發(fā)生，從而猜想性質(zhì)：已知O是△ABC外心，則AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

二、性質(zhì)證明

證明：如圖，過O作OD⊥AB于點D，則AD=12AB且AB·DO=0，過O作OE⊥AC于點E，則AE=12AC且AC·EO=0，

AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，

同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

該性質(zhì)結構對稱，記憶方便，而且看到這種結構能立刻條件反射，聯(lián)想到用該性質(zhì)，從而啟發(fā)解題手段，例如引例可聯(lián)想用性質(zhì)解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，顯然方便快捷.

三、應用舉例

例1如圖，在圓O中，若△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，且AB=4，M是BC邊BC的中點，AO·AM=5，則AC=.

解：聯(lián)想性質(zhì)AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，則14×42+14AC2=5，解得AC=2.

評注：原答案提供的解法為：過O作OD⊥AB于點D，則AD=12AB且AB·DO=0，過O作OE⊥AC于點E，則AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.顯然用性質(zhì)解題方向明確，過程簡捷，運算迅速.

例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，則cosA=.

解：因為O是△ABC外心，AB=AC，由對稱性可知3m=-n又9m-3n=4，

則m=29，從AO=23AB+23AC，聯(lián)想性質(zhì)得AO·AB=23AB2+23AC·AB

即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.

評注：原答案采用的是性質(zhì)證明過程中所用方法，比較繁瑣，顯然先用對稱性求出m，n，再聯(lián)想性質(zhì)構造數(shù)量積，得到方程，容易達到解題目的.

例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，則x+y的最小值為.

解：由AO=xAB+yAC，聯(lián)想性質(zhì)得

AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，

得方程組4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程組得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即當a=1時，x+y取得最小值2.

評注：本題亦可以A為原點，以AC邊所在的直線為x軸，建立直角坐標系，則C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性質(zhì)構造構造數(shù)量積，得到方程組，解出x，y后再利用基本不等式求解，顯然該法解題方向明確，方法固化，容易入手.

四、類題演練

演練1設點O是△ABC三邊的垂直平分線的交點，且AC2-2AC+AB2=0，則BC·AO的取值范圍是.

解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，則0

演練2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），則三角形ABC的邊BC長為.

解析：聯(lián)想性質(zhì)，將等式AO=xAB+4-x8AC兩邊同時與AC數(shù)量積，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案為2.

演練3已知O是銳角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，則m=（用θ表示）.

解析：聯(lián)想性質(zhì)，將等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO兩邊同時與AB數(shù)量積，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案為sinθ.

由以上幾例可知，用三角形外心的這個向量性質(zhì)解題的本質(zhì)是構造數(shù)量積，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，將問題轉(zhuǎn)化到三角形的邊.同時題目條件本身就能預示解題方向，啟發(fā)解題手段，在以后的解題中同學們應多加嘗試.

（作者：劉正祥，江蘇省阜寧中學）