鄭 凱

（中航工業(yè)沈陽發(fā)動機(jī)設(shè)計研究所，沈陽110015）

0 引言

磁懸浮軸承是利用可控磁場力提供無接觸支承而使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮于空間的1種高性能軸承，具有高轉(zhuǎn)速、無需潤滑、工作溫度范圍廣及可測可控性好等諸多優(yōu)點[1]，目前在空間技術(shù)、物理學(xué)、機(jī)械加工、振動控制、機(jī)器人、離心機(jī)、膨脹機(jī)等諸多工業(yè)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[2-4]，且作為新一代多電航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子的主要支承方式，引起世界各國研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者的高度關(guān)注[5-13]。磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速、超高速下運(yùn)行時，會受到結(jié)構(gòu)材料強(qiáng)度、動力時滯、錐型渦動、電壓電流鉗制等諸多因素的影響和限制，其中時滯的影響最不可忽略。機(jī)電控制系統(tǒng)中的時滯在數(shù)值上很小，一般只有幾十微秒，在系統(tǒng)相對簡單、時滯環(huán)節(jié)不多且對于系統(tǒng)動力行為無嚴(yán)格限制的情況下，忽略其產(chǎn)生的效應(yīng)并沒有什么不妥。但對于工作在苛刻條件下的復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)，考慮到航空發(fā)動機(jī)等重要設(shè)備的高可靠性要求，其設(shè)計技術(shù)和控制理論研究必須構(gòu)筑在更加嚴(yán)密的體系框架基礎(chǔ)上，必須認(rèn)真考慮時滯的作用。特別對于在高速環(huán)境下運(yùn)轉(zhuǎn)的磁懸浮軸承系統(tǒng)而言，即使是數(shù)字控制系統(tǒng)中的微小時滯，與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動周期在數(shù)量級上也已經(jīng)相當(dāng)接近，因此有可能對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能產(chǎn)生很大影響，必須加以細(xì)致研究。目前，對于磁懸浮軸承時滯問題的研究已經(jīng)引起了一些關(guān)注[14-19]，但大都僅限于簡單的單自由度系統(tǒng)的動力學(xué)問題，且在高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制的問題上卻很少考慮時滯的影響。

本文建立了時滯反饋下的5自由度磁懸浮軸承機(jī)電耦合的動力學(xué)模型，對時滯影響下的磁懸浮軸承系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制律進(jìn)行研究。

1 系統(tǒng)時滯動力學(xué)建模

在實際中，磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以視作1個5自由度剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖1所示。其徑向由2個徑向磁軸承支承，軸向由1個推力軸承支承。

圖1 5自由度磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

圖2 轉(zhuǎn)子受力情況

轉(zhuǎn)子受軸承電磁力情況如圖2所示。轉(zhuǎn)子徑向2支點a、b 之間的跨度為l，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O 距左右支點的距離分別為la、lb。設(shè)轉(zhuǎn)子在2個支點處的廣義坐標(biāo)qB=[xayaxbybzc]T，則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可寫作[20]

其中

式中：m 為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Jox、Joy為轉(zhuǎn)子的赤道轉(zhuǎn)動慣量；Joz為轉(zhuǎn)子的極轉(zhuǎn)動慣量；Joxz、Joyz為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量積；ω 為轉(zhuǎn)子的角速度；f 為不平衡擾動項；Qo為磁懸浮軸承所提供的動態(tài)力和力矩。

將上式線性化可得

式中：IB為控制電流；KB和KIB的數(shù)學(xué)表達(dá)在文獻(xiàn)[1]中給出，在此不作贅述。

上述運(yùn)動方程都是不封閉的，電流IB需要由反饋控制系統(tǒng)提供。反饋控制系統(tǒng)主要由傳感器、控制器和功率放大器等組成，由傳感器檢測獲得轉(zhuǎn)子的位移信息后送入控制器，在控制器中經(jīng)過控制運(yùn)算得到控制信號后送入功率放大器，功率放大器根據(jù)控制信號產(chǎn)生相應(yīng)的控制電流電磁鐵形成電磁力，使轉(zhuǎn)子保持在平衡位置。反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖3所示。

圖3 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制傳遞函數(shù)

在圖3中，Gs（S）為傳感器傳遞函數(shù)，可視作1階環(huán)節(jié)

式中：As為傳感器的增益系數(shù)；Ts為傳感器的衰減時間常數(shù)。Gc（s）為控制器傳遞函數(shù)，以PD控制器為例，則有

式中：kp，kd分別為控制器的比例系數(shù)和微分系數(shù)。

功放環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)Gc（s）也可視作1階環(huán)節(jié)

式中：αa為功率放大器的增益系數(shù)；Ta為功率放大器電路的衰減時間常數(shù)。

以往對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究，大多在同一時間的參考系下展開，而實際上反饋回路中各環(huán)節(jié)的工作，如傳感器中位移信號采集、處理與轉(zhuǎn)換以及控制器中控制算法的運(yùn)算等，都不可避免要消耗一定的時間；此外，執(zhí)行單元中功率放大器的飽和效應(yīng)和電磁鐵線圈中的渦流損耗和磁滯特性，也可能造成一定的遲滯效應(yīng)[14]。將控制系統(tǒng)各部分的時滯考慮在內(nèi)，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖4所示。在圖4中所加入時滯的來源見表1。

圖4 計入時滯后的磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制傳遞函數(shù)

表1 各部分時滯的來源

取控制的參考輸入為U0=0，將式（3）~（5）分別寫成微分方程形式，與式（2）聯(lián)立可以得到考慮時滯反饋磁懸浮軸承系統(tǒng)的機(jī)電耦合微分方程組

式中：Kp，Kd為控制器增益矩陣。

Kp，Kd可根據(jù)需要設(shè)計。若選用式（4）中PD控制器，則Kp，Kd皆為對角陣，可表示為

矩陣中的系數(shù)為對應(yīng)自由度上的比例和微分系數(shù)。下面將給出考慮反饋時滯后控制增益陣的確定方法。

2 鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，假定其傳感器和功率放大器均工作在線性區(qū)域，取Ta=0，Ts=0，τ=τa+τc+τs+τm，則式（6）可簡化為

寫成狀態(tài)方程為

磁懸浮軸承系統(tǒng)屬于高速動態(tài)系統(tǒng)，反饋回路中的各時滯項都是隨時間變化的，因此，本文將時滯τ用有界時變函數(shù)表示為

τ0和σ 都為常數(shù)，可通過對反饋回路中時滯進(jìn)行測算來確定，則有τ（t）∈[τ0-σ，τ0+σ]。對于系統(tǒng)方程式（8），采用Lyapunov直接法可以推導(dǎo)出以下命題。

假設(shè)τ0，σ 和μ 為給定正參量，且滿足τ0>σ，μ>0，如果存在矩陣使得下列線性矩陣不等式成立

系統(tǒng)在反饋時滯滿足τ（t）∈[τ0-σ，τ0+σ]的情況下可由控制輸入u=Kx（t-τ）鎮(zhèn)定，控制增益為

假定存在矩陣Q>0，R1>0，R2>0，N=[N1N2]，P=

將式（8）寫作描述子系統(tǒng)

構(gòu)造Lypunov函數(shù)

對V（t）求導(dǎo)，并利用以下2個不等式[21-22]放大。

（1） 對 于 任 意a∈?n，b∈?2n，N∈?2n×n，R∈?n×n，Y∈?n×2n，Z∈?2n×2n，則有

其中

（2）對于任意向量a，b 和正定對稱矩陣Λ，則有

得到不等式

其中ξT=[xT（t），yT（t），xT（t-τ0）]

由Lyapunov定律可知，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件為

對式（19）應(yīng)用Schur補(bǔ)性質(zhì)[17]進(jìn)行矩陣變換后，令左乘和右乘diag{X X X X}，并引入變量變換則可以得到式（10）。同樣對式（16）采取相似變換可以得到式（11）。前文命題得證。

定理將系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題，利用內(nèi)點法[21]求解式（11）和（12），可以確定時滯相關(guān)的狀態(tài)反饋控制器的增益陣K。

3 仿真分析

選取一實際的磁懸浮軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對象，其參數(shù)值見表2、3。

表2 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)（轉(zhuǎn)子部分）

表3 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)（軸承部分）

3.1 時滯對系統(tǒng)的影響

首先選用式（3）未考慮時滯的PD控制器進(jìn)行仿真，在xa、ya、xb、yb自由度上分別采用獨立的PD控制，其控制參數(shù)為

設(shè)轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速為20000r/min，為研究時滯對系統(tǒng)的影響，對式（6）在以下2種情況下進(jìn)行仿真計算。

加入時滯前后轉(zhuǎn)子a側(cè)與軸向的振動情況分別如圖5、6所示。

從圖5、6中可見，PD控制器在假定系統(tǒng)不存在時滯的情況下時可以保持轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定，且控制性能尚可；但在反饋回路中計入總計60μs時滯后，系統(tǒng)出現(xiàn)劇烈振蕩，并最終失穩(wěn)。這表明在控制反饋回路中即使存在微秒級的微小時滯，但已經(jīng)對高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響，使得動態(tài)性能變差，甚至出現(xiàn)失穩(wěn)。

圖5 無時滯，PD控制器仿真結(jié)果

圖6 計入時滯后，PD控制器仿真結(jié)果

3.2 鎮(zhèn)定控制算法驗證

將表1、2中的參數(shù)代入狀態(tài)方程式（8），依據(jù)定理，取μ=0.1，可以求得滿足式（10）和（11）的控制增益

其中

將Kp、Kd代入式（9）后，與3.1節(jié)中對PD控制器的仿真研究相同，依然在假定系統(tǒng)無時滯和計入時滯2種情況下進(jìn)行仿真運(yùn)算，計入時滯前后轉(zhuǎn)子的振動情況如圖7、8所示。

圖7 無時滯，本文設(shè)計的控制器仿真結(jié)果

圖8 計入時滯后，本文設(shè)計的控制器仿真結(jié)果

經(jīng)過鎮(zhèn)定算法可以看出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在計入反饋時滯后，沒有出現(xiàn)類似PD控制器一樣失穩(wěn)的狀況，動態(tài)性能并未發(fā)生明顯變化，依然可以穩(wěn)定運(yùn)行，控制算法的有效性得到驗證。

4 結(jié)論

（1）由于在機(jī)電系統(tǒng)中微秒級的時滯已經(jīng)可以影響到高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性。因此在該系統(tǒng)動力學(xué)和控制研究時，應(yīng)該考慮時滯效果。

（2）通過適當(dāng)?shù)目刂品椒?，可以有效地抑制時滯對系統(tǒng)的負(fù)面效果，保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。

（3）對高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論方法和數(shù)值計算方法的研究除時滯外，應(yīng)將其他多種非線性因素（如不平衡擾動，電磁線圈的渦流影響）等考慮在內(nèi)，研究多種因素對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性的綜合影響。

（4）研究能夠較為精確的測量實際機(jī)電系統(tǒng)中時滯的方法，為系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制設(shè)計提供有力的支撐和依據(jù)。

（5）對時滯控制理論研究，需要進(jìn)一步降低控制器設(shè)計中的保守性，并提高控制器對于模型不確定性和擾動的魯棒性。

[1]虞烈.可控磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社，2003：2-3.YU Lie.Controlled magnetic levitation system [M].Beijing:Science Press,2003：2-3.（in Chinese）

[2]Schweitzer G,Bleuler H,Traxler A,et al.Active magnetic bearings:theory,design,and application to rotating machinery[M].Heidelberg:Springer-Verlag,2009：2-10.

[3]Dussaux M.The industrial applications of the active magnetic bearing technology [C]//Proceeding of 1st International Symposium on Magnetic Bearings.Tokyo Japan：NISSEI Eblo,1990:33-38.

[4]Brunet M.Practical applications of the active magnetic bearings to the industrial world [C]//Proceeding of 3rd International Symposium on Magnetic Bearings.ETH Zurich：Springer,1988:225-244.

[5]汪希平,謝建華，朱禮進(jìn).電磁軸承在航空發(fā)動機(jī)應(yīng)用中的設(shè)計問題分析[J].航空發(fā)動機(jī),2002（1）:4-8.WANG Xiping,XIE Jianhua，ZHU Lijin.Analysis in design problems of AMB applied in aircraft engines[J].Aeroengine，2002（1）:4-8.（in Chinese）

[6]常春江，楊榮.電磁軸承及其應(yīng)用（第一部）：分電磁軸承的發(fā)展及其應(yīng)用前景[[J].航空發(fā)動機(jī),2003,29（1）：46-49.CHANG Chunjiang,YANG Rong.Application of AMB,Part I:development and prospects of active magnetic bearing in aeroengine[J].Aeroengine,2003,29（1）:46-49.（in Chinese）

[7]常春江，楊榮.電磁軸承及其應(yīng)用（第二部分）：電磁軸承工作原理和設(shè)計要點[J].航空發(fā)動機(jī),2003,29（2）：44-50.CHANG Chunjiang,YANG Rong.Application of AMB,PartⅡ:fundamentals and design of active magnetic bearing in aeroengine[J].Aeroengine.2003,29（2）:44-50.（in Chinese）

[8]楊榮，常春江，龔學(xué)耕.電磁軸承系統(tǒng)的試驗研究[J].航空發(fā)動機(jī),2001（4）:15-19.YANG Rong, CHANG Chunjiang, GONG Xuegeng.Experimental and design of active magnetic bearing in aeroengine[J].Aeroengine,2001（4）:15-19.（in Chinese）

[9]張鋼，汪希平.實驗用航空發(fā)動機(jī)磁懸浮軸承樣機(jī)的穩(wěn)定性分析[J].航空發(fā)動機(jī),2002（2）：1-5.ZHANG Gang,WANG Xiping.Stability analysis of experimental AMB prototype for aircraft engine [J].Aeroengine,2002（2）:1-5.（in Chinese）

[10]XU L,WANG L,Schweitzer G.Development of magnetic bearings for high temperature suspension[C]//Proceeding of 3rd International Symposium on Magnetic Bearings.ETH Zurich：Taylor&Francis Group,2000:117-122.

[11]Mekhiche M,Nichols S,Oleksy J,et al.50 KRPM,1100°F Magnetic Bearings for Jet Turbine Engines[C]//Proceeding of 3rd International Symposium on Magnetic Bearings.ETH Zurich：Taylor&Francis Group,2000:123-128.

[12]Kelleher W P,Kondoleon A S.A magnetic bearing suspension system for high temperature gas turbine applications[C]//Industrial Conference and Exhibition on Magnetic Bearings.Virginia:Technomic Pub.Co,1997:15-24.

[13]Storace AF.Integration of magnetic bearings in the design of advanced gas turbine engines[J].Journal of Engineering for Gas Turbines and Power,1995,117:655-665.

[14]Inoue T,Ishida Y.Nonlinear forced oscillation in a magnetically levitated system:the effect of the time delay of the electro-magnetic force[J].Nonlinear Dynamics,2008，52(Compendex):103-113.

[15]JIANG W,WANG H,WEI J.A study of singularities for magnetic bearing systems with time delays[J].Chaos,Solitons and Fractals,2008,36(Compendex):715-719.

[16]WANG H,LIU J.Stability and bifurcation analysis in a magnetic bearing system with time delays[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,26(Compendex):813-825.

[17]Wang H,Jiang W.Multiple stabilities analysis in a magnetic bearing system with time delays[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,27(Compendex):789-799.

[18]JI J C.Stability and hop bifurcation of a magnetic bearing system with time delays[J].Journal of Sound and Vibration,2003,259（4）:845-856.

[19]JI J C.Dynamics of a Jeffcott rotor-magnetic bearing system with time delays[J].International Journal of NonLinear Mechanics,2003,38（9）:1387-1401.

[20]張鋼,李松生,張建生，等.磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的機(jī)電耦合動力學(xué)模型[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2003（增刊1）:46-49.ZHANG Gang,LI Songsheng，ZHANG Jiansheng，et al.Coupled electrome-chanical dynamic model of rotor-magnetic bearings system [J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering,2003（S1）:46-49.（in Chinese）

[21]Moon Y S,Park P,Kwon W H,et al.Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems [J].International Journal of Control,2001,74（14）:1447-1455.

[22]CAO Y Y,SUN Y X,Lam J.Delay-dependent robust H∞control for uncertain systems with time-varying delays[J].IEE Proceedings:Control Theory and Applications,1998,145（3）:338-344.

[23]Boyd S,Ghaoui L E,Feron E,et al.Linear matrix inequalities in system and control theory[M].Society for Industrial and Applied Mathematics,1994:115-130.