黃林峰

摘 要：針對(duì)投資組合中收益和風(fēng)險(xiǎn)均需考慮的因素，將其抽象為一個(gè)多目標(biāo)0/1背包問(wèn)題并使用SPEA2算法進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，多目標(biāo)優(yōu)化來(lái)求解投資組合問(wèn)題能更好的揭示出收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，為投資者提供更好的決策依據(jù)。

關(guān)鍵詞：投資組合；多目標(biāo)優(yōu)化；多目標(biāo)背包

0 引言

1952年，Harry.M.Markowitz發(fā)表了著名的論文"Portfolio Selection"[1]，標(biāo)志了華爾街第一次數(shù)學(xué)革命的開(kāi)始，這是一篇里程碑式的論文，被公認(rèn)為"現(xiàn)代投資學(xué)"的開(kāi)端。Markowitz提出，投資者不僅要求"高收益率"，還要求"收益率是可以確定的"。這意味著尋求最大預(yù)期收益和最小不確定性（即風(fēng)險(xiǎn)）的投資者進(jìn)行決策時(shí)，有一對(duì)相互矛盾的目標(biāo)必須得到平衡。

多目標(biāo)優(yōu)化是科學(xué)研究和工程實(shí)踐中非常重要的研究課題。與單目標(biāo)優(yōu)化每次只能得到一個(gè)解相比，多目標(biāo)優(yōu)化算法能在一次運(yùn)行中得到一組解[2]。因此，利用多目標(biāo)0/1背包來(lái)求解投資組合問(wèn)題時(shí)，將收益和風(fēng)險(xiǎn)同時(shí)作為兩個(gè)目標(biāo)，每次運(yùn)行都可以得到一個(gè)非支配解集，更有利于發(fā)現(xiàn)收益和風(fēng)險(xiǎn)二者之間的關(guān)系，為決策者提供更好的依據(jù)。

本文將投資組合抽象為多目標(biāo)0/1背包問(wèn)題，并用SPEA2算法進(jìn)行求解。結(jié)果表明，求得的非支配解集中往往包含最優(yōu)解或者接近最優(yōu)解。

1 相關(guān)知識(shí)

投資組合是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會(huì)中的一個(gè)重要問(wèn)題。人們進(jìn)行投資，本質(zhì)上是在不確定性的收益和風(fēng)險(xiǎn)中進(jìn)行選擇。以某銀行發(fā)行信用卡為例，假設(shè)將總量為C的信用額度來(lái)分配給一組顧客。收到一組編號(hào)為1…n的信用額度申請(qǐng)，每個(gè)的信用額度大小為cj， 風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)為gj，其值越高，風(fēng)險(xiǎn)越低。此外，每個(gè)申請(qǐng)的預(yù)期收益為pj，當(dāng)然，其大小與cj和gj有關(guān)。目標(biāo)是收益最大化，這個(gè)問(wèn)題就可以看作是一個(gè)簡(jiǎn)單的2維背包問(wèn)題，決定是否批準(zhǔn)顧客j的信用額度申請(qǐng)。有兩個(gè)約束條件，第一個(gè)就是所有的信用額度之和不能大于C，第2個(gè)是將所有總的風(fēng)險(xiǎn)和作為約束條件，使它在一個(gè)可接受的水平L之內(nèi)。

顯然，如果將風(fēng)險(xiǎn)總和也作為目標(biāo)的話，該問(wèn)題就變?yōu)橐粋€(gè)多目標(biāo)背包問(wèn)題。這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的模型，而現(xiàn)實(shí)中的投資問(wèn)題往往會(huì)有多個(gè)約束條件。

2 算法描述

SPEA2[3]、NSGA2、PAES是目前最具有代表性的多目標(biāo)進(jìn)化算法。其中，SPEA2算法是目前公認(rèn)的求解多目標(biāo)組合優(yōu)化問(wèn)題的最有效算法之一。按照第2節(jié)中所述，對(duì)于投資組合問(wèn)題，將收益和風(fēng)險(xiǎn)作為兩個(gè)目標(biāo)來(lái)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，這樣，投資組合問(wèn)題就被抽象成為多目標(biāo)0/1背包問(wèn)題。與單目標(biāo)0/1背包問(wèn)題相比，多目標(biāo)0/1背包問(wèn)題能在一次求解中得到一組解，可以很好的揭示出收益和風(fēng)險(xiǎn)兩者之間的關(guān)系，為投資者提供更準(zhǔn)確的依據(jù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)從[4]獲得，算法在VC++6.0上編譯執(zhí)行。為了更好的接近現(xiàn)實(shí)中的投資組合問(wèn)題，將背包問(wèn)題中的利潤(rùn)作為收益，而所有約束的和作為風(fēng)險(xiǎn)，優(yōu)化的目標(biāo)就是使收益盡可能大而風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，當(dāng)然也要滿足數(shù)據(jù)中的所有約束，可能不止一個(gè)。

對(duì)每個(gè)測(cè)試用例，算法均獨(dú)立運(yùn)行 30 次，在這些樣本數(shù)據(jù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的SPEA2算法在大多數(shù)樣本上能找到最優(yōu)解。也就是說(shuō)，原來(lái)單目標(biāo)的最優(yōu)解被包含在SPEA2算法求得的Pareto解集中。并且，這些結(jié)果充分的展示出投資組合問(wèn)題中收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，為投資者提供了更好的決策依據(jù)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先介紹了投資組合問(wèn)題并分析了用單目標(biāo)背包問(wèn)題求解的不足，然后提出用多目標(biāo)背包問(wèn)題求解的思路。用SPEA2算法求解多個(gè)樣本的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，用多目標(biāo)背包來(lái)求解投資組合問(wèn)題可以很好的揭示出收益和風(fēng)險(xiǎn)兩者之間的關(guān)系，為投資者提供更準(zhǔn)確的依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1] Harry Markowitz. Portfolio Selection [ J ] . Journal of Finance ，March 1952 ：77-91.

[2] 謝濤，陳火旺，康立山. 多目標(biāo)優(yōu)化的演化算法.計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)， 2003 ， 26（8） ： 997-1003.

[3] Zitzler E， Laumanns M， and Thiele L. SPEA2： Improving the strength Pareto evolutionary algorithm. TIK-Report 103， Computer Engineering and Networks Laboratory （TIK）， Swiss Federal Institute of Technology， May 2001.

[4] J.E.Beasley . OR-Library. Distributing Test Problems by Electronic Mail. Journal of Operational Research Society. Vol 41， No.11 （1990） 545-552.