胡 峰

（徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221111）

在天體物理和實(shí)驗(yàn)室物理中，已經(jīng)觀測(cè)到了類Mg離子的光譜，特別是其中的互組合線對(duì)于了解星際和實(shí)驗(yàn)室等離子體密度的變化和基本過(guò)程有重要的意義.為了解釋觀測(cè)到的現(xiàn)象，就要得到精確的類Mg離子的參數(shù)，例如躍遷能量、振子強(qiáng)度、躍遷幾率等.近些年來(lái)，人們對(duì)類Mg離子已經(jīng)做了大量的實(shí)驗(yàn)和理論研究，例如：在實(shí)驗(yàn)方面，F(xiàn)awcett用激光產(chǎn)生的等離子體研究了低Z類 Mg離子［1］，而Sugar、Churilov以及Litezén等［2－4］完成了高Z 類 Mg離子的研究.在理論方面，F(xiàn)roese Fisher等利用多組態(tài) Hatree－Fock（MCHF）方法研究了Z＝12～92類Mg離子的特性［5］，Huang等用多組態(tài)相關(guān)任意相位近似（MCRRPA）研究了Z＝12～22類Mg離子的激發(fā)能和振子強(qiáng)度［6］，Bulter等利用R矩陣方法研究了選定的類Mg離子的能量（Z＝12～14，16，18，20，26，28）［7－8］，Chen等用組態(tài)相互作用（CI）研究了類 Mg離子的能級(jí)以及光電離截面［9］，Tayal等用基于 CI方法的CIV3程序計(jì)算了（Z＝20，24，29）類 Mg離子的能級(jí)和躍遷特性［10－12］，Kang等利用多組態(tài)Dirac－Hartree－Fock方法研究了3s3p（3P0）能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)［13］，青波等利用構(gòu)建全相對(duì)論的準(zhǔn)完備基方法計(jì)算了Mg的能級(jí)，獲得了很好的結(jié)果［14］.最近Massacrier等利用FAC程序研究了Sc的相關(guān)類Mg離子的特性［15］.但是，我們注意到很多理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的差距，以及部分結(jié)果是以圖的形式出現(xiàn)的，并不能夠獲取準(zhǔn)確的數(shù)據(jù).本文選取類Mg的Z＝20～24的離子為研究對(duì)象，這些離子研究數(shù)據(jù)較少［5－6］，且存在上述提到的2個(gè)原因，因此利用多組態(tài)Dirac－Fock（MCDF）方法，通過(guò)考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)，去獲得更加精確的數(shù)據(jù)和理解差距產(chǎn)生的原因.

所謂電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)，就是指價(jià)電子與原子實(shí)內(nèi)的電子之間的相互作用.國(guó)外已經(jīng)有大量的文獻(xiàn)報(bào)道［6，16－17］，我們小組也做了相應(yīng)的工作［18－20］.研究表明，電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)于原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)和躍遷特性有很大的影響，考慮了電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后能夠獲得更加精確的數(shù)據(jù).本文主要研究類Mg離子的特性，這些離子閉殼層外有2個(gè)價(jià)電子，是典型電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)研究的對(duì)象.和先前工作一樣，我們選取基于多組態(tài)Dirac－Fock方法的GRASPVU程序包來(lái)進(jìn)行計(jì)算.

1 理論計(jì)算方法

1.1 波函數(shù)和能級(jí)的計(jì)算

多組態(tài)Dirac－Fock理論方法在文獻(xiàn)［21］中已有詳細(xì)描述，這里僅作扼要的介紹.在多組態(tài)Dirac－Fock理論中，一個(gè)核電荷數(shù)為Z、具有N個(gè)電子的原子或離子體系的Dirac－Coulomb哈密頓量（原子單位）為

這里的＾Hi是第i個(gè)電子的Dirac哈密頓量，可表示為

其中Vnuc（）是核勢(shì)場(chǎng)和β分別是Dirac矢量和標(biāo)量矩陣是第i個(gè)電子的動(dòng)量算符，c是真空中光速.在中心場(chǎng)近似下單電子的旋軌波函數(shù)［22］可表示為

式中k為Dirac量子數(shù)，Pnk（r）和Qnk（r）分別為相對(duì)論徑向波函數(shù)的大小分量，χkm為自旋函數(shù).

N電子體系的組態(tài)波函數(shù)｜Γr（PJM）〉是所有單電子旋軌波函數(shù)組成的N階Slater行列式波函數(shù)｜Ψp〉的線性組合，即

在MCDF方法中，任一原子態(tài)α的波函數(shù)｜α（PJM）〉由具有相同P，J和M 量子數(shù)的組態(tài)波函數(shù)｜Γr（PJM）〉線性組合而成，即

式中nc是組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù)，Cr（α）為組態(tài)混合系數(shù).

對(duì)角化由原子波函數(shù)（1）式構(gòu)造的哈密頓矩陣，則可得到相關(guān)原子態(tài)的能量和組態(tài)混合系數(shù).對(duì)于其它高階效應(yīng)，如Breit修正和主要的量子電動(dòng)力學(xué)QED效應(yīng)，可作為微擾處理.

1.2 電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)

在具體計(jì)算過(guò)程中，主要是通過(guò)逐漸增加基矢數(shù)目來(lái)考慮更多的組態(tài)相互作用，直至得到收斂的結(jié)果.可以把組態(tài)相互作用分為兩類：

VV關(guān)聯(lián)（valence－valence correlation） 價(jià)電子之間的相互作用.

CV關(guān)聯(lián)（core－valence correlation） 原子實(shí)內(nèi)的電子與價(jià)電子之間的相互作用.實(shí)際上描述的是原子實(shí)的極化效應(yīng).

一般來(lái)說(shuō)，只考慮VV關(guān)聯(lián)就能得到比較精確的結(jié)果，但是對(duì)于電子數(shù)目比較多的體系，如果要得到更精確的結(jié)構(gòu)，則CV關(guān)聯(lián)是必須考慮的.在本文的計(jì)算中，這2種關(guān)聯(lián)都進(jìn)行了考慮.

1.3 計(jì)算步驟

文獻(xiàn)［17－21］已經(jīng)詳細(xì)介紹了電子關(guān)聯(lián)作用，這里只作簡(jiǎn)單介紹.計(jì)算中考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的2個(gè)步驟如下：

1）運(yùn)行Dirac－Fock，初步得到1s22s22p63s2的徑向波函數(shù).在這一步里，選用Thomas－Fermi模型勢(shì)作為計(jì)算的初始波函數(shù).在自洽場(chǎng)計(jì)算中，對(duì)所有的軌道都進(jìn)行了優(yōu)化.

2）讓n＝1～2為閉殼層，也就是說(shuō)主量子數(shù)為1和2的軌道上的電子是封閉的，既不允許這些電子向其它軌道躍遷也不允許其它軌道的電子躍遷到這2個(gè)軌道.允許n＝3的軌道上一個(gè)電子可以躍遷到n＝4，5，6，7軌道上，且任意分布，這樣就考慮了VV關(guān)聯(lián)，其擴(kuò)展的軌道形式為1s22s22p6nln′l′.而對(duì)于CV關(guān)聯(lián)來(lái)說(shuō)，我們考慮2種情況，一種是2p軌道上一個(gè)電子不受限制，另一種是2s上一個(gè)電子不受限制.此時(shí)我們要求對(duì)于一個(gè)雙激發(fā)，一個(gè)電子必須來(lái)自原子實(shí)中的2p（2s）軌道，另一個(gè)電子必須來(lái)自價(jià)電子.這樣原子實(shí)n＝2軌道電子和價(jià)電子之間的CV關(guān)聯(lián)作用就考慮進(jìn)去了，其擴(kuò)展的軌道形式為1s22snl2p6n′l′n″l″和1s22s22p5nln′l′n″l″.

2 結(jié)果與討論

2.1 能級(jí)

表1給出了基于MCDF方法的VV和CV 2種模型下類 Mg離子3s3p（3P0，1，2，1P1）的能級(jí)，結(jié)果包含了量子電動(dòng)力學(xué)效應(yīng)和特殊質(zhì)量位移，其中量子電動(dòng)力學(xué)效應(yīng)考慮了2種修正：自能和真空極化.表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)自于NIST［23］.考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后，組態(tài)波函數(shù)急劇增加，這對(duì)于計(jì)算的收斂性和程序本身的計(jì)算能力、計(jì)算時(shí)間要求相對(duì)提高很多，因此在保證計(jì)算精度的條件下，有必要對(duì)擴(kuò)展的主量子數(shù)進(jìn)行限制.對(duì)于VV模型，主量子數(shù)限定在n≤7，其對(duì)應(yīng)的最大波函數(shù)數(shù)目為698；CV模型n≤6，其波函數(shù)數(shù)為13 069.盡管對(duì)主量子數(shù)進(jìn)行了限制，計(jì)算的結(jié)果仍然可信，這是因?yàn)楸疚牡慕Y(jié)果正是建立在增加波函數(shù)基矢數(shù)目的基礎(chǔ)上來(lái)考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的.

表1 類Mg的離子的3s3p能級(jí)Tab.1 The energies of Mg－like 3s3p levels cm－1

從表1可以看出，CV的結(jié)果更加接近于實(shí)驗(yàn)值.若不考慮1P1能級(jí)，VV的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的偏差在0.21%～0.76%之間，而CV的偏差在0.001%～0.040%之間.CV模型下的1P1能級(jí)與實(shí)驗(yàn)值的偏差則在0.01%～0.31%之間，但是如果沒(méi)有考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)，1P1的能級(jí)與實(shí)驗(yàn)值偏差在0.89%～0.99%之間，因此可認(rèn)為，考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后，CV計(jì)算的能級(jí)與實(shí)驗(yàn)值符合得很好.為了更好地說(shuō)明電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)1P1能級(jí)的影響，圖1給出了隨擴(kuò)展主量子數(shù)變化的VV，CV與實(shí)驗(yàn)值的偏差（ΔE＝E計(jì)算值－E實(shí)驗(yàn)值）.

總之，對(duì)于2種模型來(lái)說(shuō)，隨著主量子數(shù)的擴(kuò)大，2種模型的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值更加接近，但是對(duì)于VV模型來(lái)說(shuō)，n＝6與n＝7的結(jié)果最大偏差只有22cm－1，也就是說(shuō)n＝7的軌道對(duì)于3s2和3s3p能級(jí)的影響相當(dāng)小，也從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了當(dāng)前計(jì)算對(duì)于主量子數(shù)的限制是可行的.同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，高n層的旁觀電子對(duì)于計(jì)算的結(jié)果有很大的影響，CV模型更為明顯，這點(diǎn)在我們先前的文章中也有類似的結(jié)論［18－20］.

圖1 電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)1 P1能級(jí)的影響Fig.1 The electron correlation on 1 P1energy level

為了說(shuō)明當(dāng)前計(jì)算結(jié)果是可信的，在表2中比較了不同方法計(jì)算出的類Mg離子的CaⅨ能級(jí)值.其中CIV3的計(jì)算結(jié)果是由Tayal等［10］由基于組態(tài)相互作用的CIV3程序給出的，SST的結(jié)果來(lái)自Tayal［24］，BCF的結(jié)果是Fawcett［1］利用Cowan程序給出的，而 MCHF的結(jié)果則是由Tachieve等［5］給出的.從表2可以看出，CV的計(jì)算值要優(yōu)于CIV3，SST，MCHF的，大部分優(yōu)于BCF的；同時(shí)，我們注意到，對(duì)于1P1能級(jí)而言，除了BCF結(jié)果外，其它理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值偏差都有點(diǎn)大.總之，考慮了電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后，CV值要優(yōu)于其它理論計(jì)算值.

表2 CaⅨ能級(jí)的實(shí)驗(yàn)值和理論計(jì)算值Tab.2 The experimental and theoretical results of CaⅨ cm－1

2.2 波長(zhǎng)

分析低密度等離子體中發(fā)射的自旋禁戒譜線的信息是診斷等離子體溫度和密度的很好手段之一，因此，準(zhǔn)確的波長(zhǎng)對(duì)于研究等離子體的狀態(tài)是必不可少的.為了驗(yàn)證當(dāng)前計(jì)算的可信性，表3給出了Z＝20～24的類Mg離子的理論值和實(shí)驗(yàn)值，其中實(shí)驗(yàn)值來(lái)自文獻(xiàn)［23，25－26］，MCHF來(lái)自［5］.從表3可以看出，2種模型和MCHF方法給出的CaⅨ～CrⅩⅢ離子1S0－3P1躍遷波長(zhǎng)都比實(shí)驗(yàn)值偏高，其中 VV 偏高在0.116 1～0.332 2nm 之間，CV偏高在0.001 4～0.030 5nm之間，而 MCHF偏高在0.148 0～0.235 8nm之間.CV與實(shí)驗(yàn)值的最大偏差為0.034nm，明顯好于MCHF和VV的計(jì)算值，因此認(rèn)為考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后，提高了波長(zhǎng)的精度.

表3 類Mg離子（CaⅨ～CrⅩⅢ）的波長(zhǎng)Tab.3 The wavelengths of Mg－like ions（CaⅨ～CrⅩⅢ） nm

2.3 振子強(qiáng)度

從i態(tài)到j(luò)態(tài)躍遷的振子強(qiáng)度和躍遷幾率的關(guān)系公式［27］如下：

其中m和e分別是電子質(zhì)量和電荷，c是光速，λji是躍遷波長(zhǎng)（nm），ωi和ωj分別是下能級(jí)i和上能級(jí)j的權(quán)重（簡(jiǎn)并度）.對(duì)于電偶極躍遷（E1）來(lái)說(shuō)，躍遷幾率和振子強(qiáng)度可以給出如下的形式：

其中S是線強(qiáng)度，單位為原子單位（au）.

表4給出了類 Mg離子的3s2－3s3p（3P1，1P1）躍遷的振子強(qiáng)度，同時(shí)也給出了來(lái)自 MCHF［5］、Safronova等［28］以及 Huang等［6］的結(jié)果.

表4 類 Mg離子3s2－3s3p（3 P1，1 P1）躍遷的振子強(qiáng)度（表中數(shù)據(jù)a（b）為a×10b 的縮寫）Tab.4 The oscillator strengths of 3s2－3s3p（3 P1，1 P1）transitions of Mg－like ions

可以看出，類Mg離子1S0－1P1躍遷的振子強(qiáng)度隨元素序數(shù)的增加而減少.MBPT的計(jì)算值要低于其它所有理論的計(jì)算值，但是隨著元素序數(shù)的增加，偏差也在逐漸縮小.VV，CV，MCHF以及Huang的結(jié)果大體在一個(gè)數(shù)量級(jí)上，彼此之間的偏差不超過(guò)10%.NIST給出的CaⅨ，ScⅩ以及TiⅪ1S0－1P1躍遷的振子強(qiáng)度分別為1.10，1.05和0.993，這些值與CV給出的結(jié)果符合得很好（小于1.44%）.Huang等的結(jié)果與NIST給出的結(jié)果相差也小于1%，因此可以通過(guò)比較CV與Huang等的結(jié)果來(lái)確保當(dāng)前計(jì)算的可信性.可以看出，CV的計(jì)算值與Huang等的結(jié)果數(shù)值上很接近，因此認(rèn)為當(dāng)前的計(jì)算是可信而且準(zhǔn)確的.

2.4 能級(jí)壽命

算的準(zhǔn)確性.因此在表5和表6分別給出了3s3p（3P1和1P1）的能級(jí)壽命，其中，表格中的擬合值為Curtis在1991年根據(jù)當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)值和一些理論結(jié)果擬合產(chǎn)生的［29］.對(duì)于3P1，VV的計(jì)算結(jié)果與擬合值偏差為1.89%～8.89%，CV 與擬合值的偏差為1.09%～2.23%，MCHF與擬合值的偏差為3.83%～11.0%，而MBPT與擬合值的偏差為4.73%～25.4%.可以看出，考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后，CV的計(jì)算值與擬合值更加接近.對(duì)于CrⅫ，如果考慮NIST［23］給出的5.55×10－8s，則CV與實(shí)驗(yàn)值的偏差僅為0.36%.

表5 類Mg離子3 P1的能級(jí)壽命Tab.5 The lifetimes of Mg－like ions 3 P1energy levels

表6 類Mg離子1 P1的能級(jí)壽命Tab.6 The lifetimes of Mg－like ions 1 P1energy level 10－11 s

對(duì)于類Mg離子1P1的能級(jí)壽命而言，我們發(fā)現(xiàn)理論值與擬合值的符合要比3P1的情況要好，VV的計(jì)算結(jié)果與擬合值偏差為1.50%～6.68%，CV與擬合值的偏差為0.29%～0.56%，MBPT與擬合值的偏差為7.48%～12.3%，MCHF與擬合值的偏差為4.77%～8.83%.同時(shí)注意到表5和表6中NIST給出的實(shí)驗(yàn)值與擬合值有0.29%～6.94%的偏差，我們認(rèn)為有2個(gè)原因，一是NIST給出的實(shí)驗(yàn)值，其自身的不確定度就在20%；二是當(dāng)時(shí)擬合時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，因而擬合點(diǎn)少造成擬合公式不是很精確.如果考慮這2個(gè)因素，我們認(rèn)為考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后，CV的值是可信的.但是由于類Mg的實(shí)驗(yàn)大多是在1980年代完成的，受制于當(dāng)時(shí)條件，造成實(shí)驗(yàn)精度不是很高，因此，能級(jí)壽命的測(cè)量需要更加精確的實(shí)驗(yàn)來(lái)完成.

3 結(jié)語(yǔ)

本文在MCDF方法的基礎(chǔ)上，考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)，詳細(xì)計(jì)算了類Mg離子的能級(jí)、波長(zhǎng)、振子強(qiáng)度和能級(jí)壽命，結(jié)果表明考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)后，當(dāng)前CV的結(jié)果與已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及理論結(jié)果符合很好.這些結(jié)果對(duì)于理解類Mg離子的不同效應(yīng)有重要的意義，同時(shí)對(duì)于分析已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和指導(dǎo)未來(lái)的實(shí)驗(yàn)也有重要的意義.然而，需要指出的是當(dāng)前計(jì)算結(jié)果是在重點(diǎn)考慮3s2和3s3p組態(tài)基礎(chǔ)上給出的，因此，可以看出本文的一些計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值仍有一定的差距，在今后的計(jì)算中，需要更多的組態(tài)以獲得更好的結(jié)果.

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